Статистическое определение вероятности

Рассмотрим статистическое определение вероятности, чтобы понимать статистический подход к численному определению вероятности. Данный подход очень важен тогда, когда из теоретических соображений подобный к соображению симметрии, значение вероятности событий наперёд невозможно установить.

К примеру, если у партии из 100 случайно отобранных для контроля товара, обнаружено 2 нестандартных, тогда утверждение, что соотношение 2\over{100} (его называют относительной частотой), можно считать вероятностью появления нестандартного товара, не может быть убедительным. Этот пример в схему случаев не вписывается. Теоретически вероятность такого события установить невозможно. Однако, выход есть, если много раз повторить выборки.(при одинаковых условиях) и проследить за значением относительных частот событий, то есть, воспользоваться статистическими методами.

Определение

Относительной частотой случайного события называется отношение m, числа испытаний, в которых это событие появилось, к общему числу n, проведённых испытаний, и обозначается:

{W(A)} = {m\over{n}}

Между относительной частотой и вероятностью событий A есть определённая связь: если каким-то образом установлено, что вероятность случайного события равняется числу P (P(A) = P), тогда при больших версиях испытаний и неизменных условиях частота события A приблизительно равняется вероятности, то есть:

W(A) \approx{P(A).

Для подтверждения этого равенства подбросим n раз монеты. В данном случае “герб” появлялся m раз, m\over{n} – относительная частота выпадания “герба”.

Статистические закономерности

 В литературе по теории вероятностей эксперименты проводились несколькими учёными, о которых остались записи. Давайте их вспомним:

Автор экспериментаnm\over{n}
Бюффон (1707-1788) – французский естествоиспытатель, натуралист, биолог, математик40400,507
Де Морган (1806-1871) – шотландский математик, логик40900,5005
Джевонс (1835-1882) – английский экономист и философ20 4800,5068
Романовский В. И. (1879-1954) – советский математик80 6400,4933
Пирсон К. (1857-1936) – английский математик-статистик, биолог, философ.24 0000,5005
Феллер У. (1906-1970) – американский математик.10 0000,4979

Вышеперечисленные результаты испытаний (экспериментов) полностью согласовываются с теоретическим значением вероятности, которая равняется 0,5 и получена предположительно равной возможности “герба” и “числа”, то есть симметричной монеты. При помощи специальных вероятных методов за данными испытаниями можно установить, что выпадания “герба” или “числа” в отдельных случаях не одинаково вероятно, то есть монета не симметрична.

Ряд статистических закономерностей были обнаружены в конце XIX и в начале XX столетия в физике, химии, биологии, экономике и других науках. Было установлено, что если опыты проводятся при неизменных условиях, в каждом из которых число испытаний n достаточно большое, тогда число m испытаний, при которых данное событие A появилось, то есть частота событий m\over{n}, как правило, мало отличается от вероятности P(A) появления событий A. И чем большее количество испытаний, тем реже встречаются частоты m\over{n}, которые значительно отклоняются от вероятности P)A).

Как видите, при многоразовых испытаниях, относительная частота, которая еле меняется, колеблется вокруг некоторого числа, которое есть вероятностью событий. Согласно статистическому определению за вероятность событий принимается относительная частота или число, близкое к ней.

Примеры по теме “Статистическое определение вероятности”

Пример 1

Задача

Статистическая вероятность попадания в цель при 84 выстрелах равна 0,9. Сколько всего было попаданий?

Решение

Так как у нас есть формула {W(A)} = {m\over{n}}, где m – число попаданий, n – число выстрелов, тогда m = W(A) * n. Подставляя исходные данные, у нас получается:

m = 0.9 * 84 = 75,6

Ответ

Итого попаданий – 75,6.

Пример 2

Задача

Швейная фабрика заказала 3500 пуговиц, чтобы пошить школьную форму. Когда проверяли партию на 700 пуговиц, оказалось, что из них 15 пуговиц бракованных. Какое наименьшее количество запасных пуговиц необходимо еще заказать, чтобы исключить брак?

Решение

Статистическая частота брака составляет 15\over{700}, тогда среди 3500 пуговиц, бракованных {3500} * {{15}\over{700}} = 75. Значит, необходимо заказать наименьшее количество запасных пуговиц 75 шт.

Ответ

Чтобы исключить брак, нужно заказать минимум 75 шт. запасных пуговиц.