Тогда справедлива формула Грина
.
Доказательство. 1) Назовем плоскую область D (в плоскости OXY) правильной, если любая прямая, параллельная координатной оси (OX или OY) пересекает область не более, чем в двух точках. Можно показать, что область G можно представить как объединение конечного числа правильных областей . Тогда по свойству аддитивности двойной интеграл в правой части формулы Грина равен сумме двойных интегралов по правильным областям. Криволинейный интеграл в левой части равен сумме криволинейных интегралов по границам правильных областей, так как криволинейные интегралы по общим границам любых правильных областей различны по знаку из-за различных направлений обхода границы и взаимно уничтожаются при суммировании.
Поэтому доказательство может быть проведено для правильной области G.
2) Пусть G – правильная область. Так как P, Q могут быть произвольными функциями, то формула Грина сводится двум формулам и
, каждую из которых надо доказать. Докажем первую формулу, вторая доказывается аналогично.
=
==
=
Вычисление площади области по формуле Грина.
По свойству 3 двойного интеграла площадь области D можно вычислить по формуле
. Поэтому достаточно выбрать P, Q так, чтобы
, чтобы с помощью криволинейного интеграла по формуле Грина можно было бы вычислять площадь области.
Например, можно выбрать Q=x, P=0. Тогда . Можно выбрать Q=0, P=y, тогда
. Очень полезна бывает симметричная формула при
.
Пример. Вычислить площадь эллипса с полуосями a, b
.
Полный дифференциал и его вычисление.
Теорема (о полном дифференциале). Для того чтобы выражение – было полным дифференциалом некоторой функции
– потенциала, необходимо и достаточно, чтобы в условиях формулы Грина было выполнено одно из следующих четырех условий (эквивалентных условий полного дифференциала)
-
зависит только от начальной A и конечной B точек дуги
и не зависит от формы дуги (не зависит от пути интегрирования),
-
для любого кусочно-гладкого контура
-
,
-
.
Доказательство. Схема доказательства теоремы . По этой цепочке можно последовательно добраться от любого пункта к любому другому.
Дополнительно предположим, что существуют и непрерывны вторые смешанные производные функции V. Тогда они равны.
.
. Это следует из формулы Грина.
. Пусть точки A, B соединены двумя дугами L1 и L2. Тогда из них можно составить контур
, интеграл вдоль которого по п.2 равен нулю.
=
=
–
. Поэтому
=
.
. Докажем, что
– потенциал, то есть, что
. Докажем первое соотношение, второе доказывается аналогично.
=
Заметим, что такая запись интеграла показывает, что интеграл не зависит от формы дуги. Поэтому мы можем в первом интеграле провести дугу через точку (x, y), чтобы в первом и втором интеграле сократились интегралы по дуге, соединяющей начальную точку с точкой (x, y). В первом интеграле выберем в качестве дуги, соединяющей точку (x, y) с точкой (x+x) отрезок прямой, параллельный оси OX. На этом отрезке y не изменяется, поэтому dy=0
Тогда, продолжая равенство, получим
= =
(здесь мы перешли от криволинейного интеграла к определенному, так как дуга интегрирования – отрезок, параллельный оси OX и применили теорему о среднем для определенного интеграла). Теперь используем непрерывность функции P(x, y) по переменной x.
= . Первое соотношение доказано.
Для доказательства второго соотношения варьируется переменная y, дуга, соединяющая точки (x0, y0), и (x, y+y) проводится через точку (x, y) и далее по отрезку, параллельному оси OY, соединяющему точки (x, y) и (x, y+y).
Формула Ньютона – Лейбница.
Пусть выполнены условия теоремы о полном дифференциале и пусть выражение
– полный дифференциал, а функция
– потенциал.
Тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница
, где
– потенциал.
Доказательство. В теореме о полном дифференциале доказано, что потенциал можно записать в виде . Так как интеграл не зависит от пути интегрирования, то дугу, соединяющую точки (x1, y1), (x2, y2) можно провести через точку (x0, y0). Поэтому
=
+
=
–
=
.
Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой.
Пусть дуга AB лежит на кусочно-гладкой поверхности S, пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны и имеют непрерывные частные производные на S. Тогда следующие четыре утверждения эквивалентны.
-
не зависит от формы дуги (от пути интегрирования), а зависит только от начальной и конечной точек дуги.
-
Для любого замкнутого контура
-
-
.
– полный дифференциал.
Доказательство. Доказательство аналогично двумерному случаю, схема доказательства та же: . Докажите ее самостоятельно.
проводится по теореме о смешанных производных так же как в двумерном случае.
проводится по теореме Стокса (будет сформулирована и доказана ниже).
доказательство полностью аналогично двумерному случаю.
доказательство аналогично двумерному случаю.
Замечание. Формула Ньютона-Лейбница справедлива в трехмерном случае и доказывается так же.
Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала.
Криволинейный интеграл от полного дифференциала можно вычислять двумя способами.
-
Можно выбирать удобный путь интегрирования, например, состоящий из отрезков, параллельных OX и OY. На отрезке, параллельном OX, dy=0, так как y не изменяется на этом отрезке. На отрезке, параллельном OY, dx=0, так как x не изменяется на этом отрезке. Тогда
=
+
-
Можно восстановить потенциал, как это делалось на первом курсе при решении дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и применить формулу Ньютона-Лейбница.
Пример. Вычислить интеграл .
-
=
-
.
Сравнивая две записи потенциала, получим .
=
.
Заметим, что аналогично вычисляется криволинейный интеграл от полного дифференциала по пространственной кривой.