Теорема Пифагора

Теорема Пифагора – в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Вы узнаете, как доказать теорему, формула Пифагора и как решать задачи.

История теоремы

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости

Однако название получено в честь учёного только по той причине, что он первый и, даже единственный человек, который смог доказать теорему.

Немецкий историк математики Кантор утверждал, что о теореме было известно ещё египтянами приблизительно в 2300 году до н. э. Он считал, раньше строили прямые углы благодаря прямоугольным треугольникам со сторонами 3, 4 и 5.

Известный учёный Кеплер говорил, что у геометрии есть незаменимое сокровище – это теорема Пифагора, благодаря которой можно вывести большинство теорем в геометрии.

Раньше теорему Пифагора называли “теоремой невесты” или “теоремой нимфы”. А всё дело в том, что её чертёж был очень похож на бабочку или нимфу. Арабы же, когда переводили текст теоремы, решили, что нимфа означает невеста. Так и появилось интересное название у теоремы.

Теорема Пифагора, формула

Теорема

Треугольник

Теорема Пифагора – в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов (a,b) равна квадрату гипотенузы (c). Это одна из основополагающих теорем эвклидовой геометрии.

Формула: a^2 + b^2 = c^2

Как уже говорилось, есть много разнообразных доказательств теоремы с разносторонними математическими подходами. Однако, более часто используют теоремы, связанные с площадями.

Построим на треугольнике квадраты (синий, зеленый, красный)

К треугольнику дочертили квадраты

То есть сумма площадей квадратов, построенных на катетах равняется площади квадрата, построенном на гипотенузе. Соответственно, площади этих квадратов равны – a^2, b^2, c^2. Это и есть геометрическое объяснение Пифагора.

Доказательство теоремы методом площадей: 1 способ

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой, обратитесь за помощью к профессионалам. Работу могут написать преподаватели, доцены вузов

Стоимость и сроки

Докажем, что c^2 = a^2 + b^2.

Рассмотрим всё тот же треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

  1. Достраиваем прямоугольный треугольник до квадрата. От катета “а” продолжаем линию вверх на расстояние катета “b” (красная линия).
  2. Далее ведём линию нового катета “а” вправо (зелёная линия).
  3. Два катета соединяем гипотенузой “с”.

Получается такой же треугольник, только перевёрнутый.

Два треугольника

Аналогично строим и с другой стороны: от катета “а” проводим линию катета “b” и вниз “а” и “b” А снизу от катета “b” проводим линию катета “а”. В центре от каждого катета провели гипотенузы “с”. Таким образом гипотенузы образовали квадрат в центре.

Четыре треугольника

Этот квадрат состоит из 4-х одинаковых треугольников. А площадь каждого прямоугольного треугольника = половина произведения его катетов. Соответственно, {1\over{2}}ab. А площадь квадрата в центре = c^2, так как все 4 гипотенузы со стороной c.  Стороны четырёхугольника равны, а углы прямые. Как нам доказать, что углы прямые? Очень просто. Возьмём всё тот же квадрат:

Внимание на углы треугольника

Мы знаем, что эти два угла, показаны на рисунке, являются 90 градусам. Так как треугольники равны, значит следующий угол катета “b” равен предыдущему катету “b”:

Углы треугольников равны

Сумма этих двух углов = 90 градусов. Соответственно, предыдущий угол тоже 90 градусов. Конечно же, аналогично и с другой стороны. Соответственно, у нас действительно квадрат с прямыми углами.

Сумма углов 90 градусов

Так как  острые углы прямоугольного треугольника в общей сложности равняются 90 градусам, то угол четырёхугольника так же будет равен 90 градусов, ведь 3 угла в сумме = 180 градусов.

Соответственно, площадь квадрата складывается из четырёх площадей одинаковых прямоугольных треугольников и площади квадрата, который образован гипотенузами.

Таким образом, получили квадрат со стороной a + b. Мы знаем, что площадь квадрата со стороной a + b – это будет квадрат его стороны. То есть (a + b)^2. Этот квадрат состоит из четырёх одинаковых треугольников.

  1. Запишем: (a + b)^2 = 4.
  2. Далее смотрим, что площадь прямоугольного треугольника – это половина произведения его катетов. Поэтому дальше записываем:т(a + b)^2 = 4 * {1\over{2}}
  3. Также надо прибавить площадь квадрата, который находится в центре между треугольниками со стороной “с”. И теперь получим: (a + b)^2 = 4 * {1\over{2}} + c^2
  1. Раскрываем скобки и получаем: a^2 + b^2 + 2ab = 2ab + c^2
  2. Сокращаем 2ab. Получается: a^2 + b^2 = c^2

И это значит, что мы доказали теорему Пифагора.

ВАЖНО!!! Если находим гипотенузу, тогда складываем два катета, а затем ответ выводим из корня. При нахождении одного из катетов: из квадрата длины второго катета вычитаем квадрат длины гипотенузы и находим квадратный корень.

Примеры решения задач

Пример 1

Задача

Дано: прямоугольный треугольник с катетами 4 и 5.

Найдите гипотенузу. Пока её обозначим “с”

Рисунок 1

Решение

Сумма квадратов катетов 5^2 + 4^2 равняется квадрату гипотенузы. В нашем случае – c^2.

Воспользуемся теоремой Пифагора: 5^2 + 4^2 = c^2

Итак, 5^2 = 25, а 4^2 = 16. Катеты в сумме получают 41.

Тогда 41 = c^2. То есть квадрат гипотенузы равен 41.

Квадрат числа 41 = 6,4.

Мы нашли гипотенузу.

Ответ

Гипотенуза = 6,4

Рисунок 2

Пример 2

Задача

Дано: прямоугольный треугольник, где гипотенуза = 12, один катет = 10

Найдите второй катет.

Решение

Обозначим неизвестный катет – b.

Рисунок 3

Воспользуемся теоремой Пифагора:

10^2 + b^2 = 12^2

10^2 = 100, а 12^2 = 144

Запишем:

100 + b^2 = 144

Находим b^2

b^2 = 144 - 100

b^2 = 44

Если b^2 = 44, тогда просто b = 6,6

Ответ

Второй катет (b) равен 6,6.

Заключение

Доказательство теоремы Пифагора (анимация)

Итак, мы рассмотрели теорему Пифагора, смогли привести ее доказательство и привели несколько примеров задач и их решений.

Запомните раз и навсегда: квадраты гипотенузы равен суммы квадратов катетов: a^2 + b^2 = c^2 (это вся теорема Пифагора).

Средняя оценка 4 / 5. Количество оценок: 3

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

12512

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Комментарии

  1. Даже теорему Пифагора не сумели доказать внятно и понятно. Галиматья, а не доказательство. Впрочем, такая же галиматья, как и все в интернете

    • Признаем, идеально не получилось. Мы старались, честно) Раз 5 переписывали статью. Видимо, нужно ещё раз

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *