Теорема Виета помогает решать квадратные уравнения путём подбора. В этой статье даны определения, доказательства, формулы и примеры решений квадратных уравнений для чайников.

Что такое теорема Виета

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости

Франсуа Виет (1540-1603 гг) - математика, создатель знаменитых формул Виета

Франсуа Виет (1540-1603 гг) – математика, создатель знаменитых формул Виета

Теорема Виета нужна для быстрого решения квадратных уравнений (простыми словами).

Если более подробно, то теорема Виета – это сумма корней данного квадратного уравнения равняется второму коэффициенту, который взят с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Это свойство обладает любым приведённым квадратным уравнением, у которого есть корни.

При помощи теоремы Виета можно легко решать квадратные уравнения путём подбора, поэтому скажем “спасибо” этому математику с мечем в руках за наш счастливый 7 класс.

Доказательство теоремы Виета

Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться известными формулами корней, благодаря которым составим сумму и произведение корней квадратного уравнения. Только после этого мы сможем убедиться, что они равны {-b}/a и, соответственно, c/a.

Допустим у нас есть уравнение: x^2 + px + q = 0. У этого уравнения есть такие корни: x_1 и x_2. Докажем, что x_1 + x_2 = -p, x_1 * x_2 = q.

По формулам корней квадратного уравнения:

{x_1} = {-p + \sqrt{D}\over{2a}}, {x_2} = {p - \sqrt{D}\over{2a}}.

1. Найдём сумму корней:

{x_1 + x_2} = {-p + \sqrt{D}\over{2a}} + {-p - \sqrt{D}\over{2a}} = {-p + \sqrt{D} - p - \sqrt{D}\over{2a}} = -p.

Разберём это уравнение, как оно у нас получилось именно таким:

x_1 + x_2 = {{-p + \sqrt{D}}\over{2a}} + {{-p - \sqrt{D}}\over{2a}}.

Шаг 1. Приводим дроби к общему знаменателю, получается:

x_1 + x_2 = {{-p + \sqrt{D}\over{2a}} + {{-p - \sqrt{D}}\over{2a}} = {-p + \sqrt{D} + (-p - \sqrt{D})\over{2a}}.

Шаг 2. У нас получилась дробь, где нужно раскрыть скобки:

{-p + \sqrt{D} + (-p - \sqrt{D})\over{2a}} = {-p + \sqrt{D} - p - \sqrt{D}\over{2a}} = {-2b}\over{2a}. Сокращаем дробь на 2 и получаем:

{{-p}\over{a}} = -{{p\over{a}}.

Мы доказали соотношение для суммы корней квадратного уравнения по теореме Виета.

2. Найдём произведение корней:

{x_1 * x_2} = {-p + \sqrt{D}\over{2}} * {-p - \sqrt{D}\over{2}} = {(-p + \sqrt{D}) * (-p - \sqrt{D})\over{4}} =

= {(p - \sqrt{D})(p + \sqrt{D})\over{4}} = {p^2 - D}\over{4}} = {{p^2 - (p^2 - 4q)}\over{4}} = {p^2 - p^2 + 4q}\over{4}} = {q}.

Докажем это уравнение:

{x_1 * x_2} = {-p + \sqrt{D}\over{2a}} * {-p - \sqrt{D}\over{2a}}.

Шаг 1. Есть правило умножение дробей, по которому мы и умножаем данное уравнение:

{(-p + \sqrt{D}) * (-p - \sqrt{D})\over{4a^2}}.

Шаг 2. Далее выполняется умножение скобку на скобку (в числителе). Можно воспользоваться формулой сокращённого умножения (ФСУ) – формула разности, откуда получается:

{(-p + \sqrt{D} * (-p - \sqrt{D})\over{4a^2}} = {{(-p)^2 - (\sqrt{D})^2}\over{4a^2}}.

Теперь вспоминаем определение квадратного корня и считаем:

{{(-p){^2} - (\sqrt{D})^2}\over{4a^2}} = {p^2 - D\over{4a^2}}.

Шаг 3. Вспоминаем дискриминант квадратного уравнения: D - b^2 - 4ac. Поэтому в последнюю дробь вместо D (дискриминанта) мы подставляем b^2 - 4ac, тогда получается:

{b^2 - D}\over{4a^2} = {b^2 - (b^2 - 4 * a * c)}\over{4a^2}.

Шаг 4. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые к дроби:

{4 * a * c\over{4 * a^2}}.

Шаг 5. Сокращаем «4a» и получаем 3\over{a}.

Вот мы и доказали соотношение для произведения корней по теореме Виета.

ВАЖНО! Если дискриминант равняется нулю, тогда у квадратного уравнения всего один корень.

Теорема, обратная теореме Виета

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой, обратитесь за помощью к профессионалам. Работу могут написать преподаватели, доцены вузов

Стоимость и сроки

По теореме, обратной теореме Виета можно проверять, правильно ли решено наше уравнение. Чтобы понять саму теорему, нужно более подробно её рассмотреть.

Если числа x_1 и x_2 такие:

x_1 + x_2 = -p и x-1 * x_2 = q, тогда они и есть корнями квадратного уравнения x^2 + px + q = 0.

Доказательство обратной теоремы Виета

Шаг 1. Подставим в уравнение x^2 + px + q = 0 выражения для его коэффициентов:

x^2 - (x_1 + x_2)x + x_{1} * x_{2} = 0

Шаг 2. Преобразуем левую часть уравнения:

x^2 - x_1 * x - x_2 * x + x_{1} * x_{2} = 0;

(x - x_1)(x - x_2) = 0.

Шаг 3. Найдём Корни уравнения (x - x_1)(x - x_2) = 0, а для этого используем свойство о равенстве произведения нулю:

x - x_1 = 0 или x - x_2 = 0. Откуда и получается: x = x_1 или x = x_2.

Примеры с решениями по теореме Виета

Пример 1

Задание

Найдите сумму, произведение и сумму квадратов корней квадратного уравнения x^2 - 7x + 12 = 0, не находя корней уравнения.

Решение

Шаг 1. Вспомним формулу дискриминанта D = b^2 - 4 * a * c. Подставляем наши цифры под буквы. То есть, b^2 = (-7)^2, a = 1^2 – это заменяет x^2, а c = 12. Отсюда следует:

D = (-7)^2 - 4 * 1^2 * 12. Получается:

D = 49 - 48 = 1 > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма x_1 + x_2 = 7, а произведение x_1 * x_2 = 12.

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:

x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 7^2 - 2 * 12 = 49 - 24 = 25.

Ответ

7; 12; 25.

Пример 2

Задание

Решите уравнение x^2 - 4x - 5 = 0. При этом не применяйте формулы квадратного уравнения.

Решение

У данного уравнения есть корни, которые по дискриминанту (D) больше нуля. Соответственно, по теореме Виета сумма корней этого уравнения равна 4, а произведение – 5. Сначала определяем делители числа 5, сумма которых равняется 4. Это числа «5» и «-1». Их произведение равно – 5, а сумма – 4. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного уравнения.

Ответ

5 и 1

Пример 3

Задание

Найдите, если это возможно, сумму и произведение корней уравнения:

x^2 - 3x + 6 = 0

Решение

D = 9 - 24 < 0. Так как дискриминант меньше нуля, значит у уравнения нет корней.

Ответ

Нет корней.

Пример 4

Задание

Составьте уравнение, каждый корень которого в два раза больше соответствующего корня уравнения:

x^2 - 12x + 7 = 0

Решение

По теореме Виета сумма корней данного уравнения равна 12, а произведение = 7. Значит, два корня положительны.

Сумма корней нового уравнения будет равна:

2 * 12 = 24, а произведение 4 * 7 = 28.

По теореме, обратной теореме Виета, новое уравнение имеет вид:

x^2 - 24x + 28 = 0

Ответ

Получилось уравнение, каждый корень которого в два раза больше: x^2 - 24x + 28 = 0

Итак, мы рассмотрели, как решать уравнение при помощи теоремы Виета. Очень удобно пользоваться данной теоремой, если решаются задания, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. То есть, если в формуле x^2 + px + q свободный член q – число положительное, и если в квадратном уравнении имеются действительные корни, тогда они оба могут быть либо отрицательными, либо положительными.

А если свободный член – отрицательное число, и если в квадратном уравнении есть действительные корни, тогда оба знака будут разными. То есть, если один корень положительный, тогда другой корень будет только отрицательный.

Полезные источники:

  1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2016 – 318 с.
  2. Рубин А. Г., Чулков П. В. – учебник Алгебра 8 класс:Москва “Баласс”, 2015 – 237 с.
  3. Никольский С. М., Потопав М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2014 – 300

Средняя оценка 2.5 / 5. Количество оценок: 2

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

15671

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Комментарии

  1. Русский язык “подтяните”, дружок.
    Цитаты из вашей “речи”:
    “Это свойство обладает любым приведённым квадратным уравнением, у которого есть корни.”
    “…этому математику с мечем в руках…”

    • Спасибо за критику, данную статью действительно писал нерусскоязычный автор)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *