Теорема Виета и обратная формула Виета для чайников

Содержание

1 Что такое теорема Виета
2 Доказательство теоремы Виета
3 Теорема, обратная теореме Виета
4 Доказательство обратной теоремы Виета
5 Примеры с решениями по теореме Виета

Что такое теорема Виета

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Франсуа Виет (1540-1603 гг) – математика, создатель знаменитых формул Виета

Теорема Виета нужна для быстрого решения квадратных уравнений (простыми словами).

Если более подробно, то теорема Виета – это сумма корней данного квадратного уравнения равняется второму коэффициенту, который взят с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Это свойство обладает любым приведённым квадратным уравнением, у которого есть корни.

При помощи теоремы Виета можно легко решать квадратные уравнения путём подбора, поэтому скажем “спасибо” этому математику с мечем в руках за наш счастливый 7 класс.

Доказательство теоремы Виета

Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться известными формулами корней, благодаря которым составим сумму и произведение корней квадратного уравнения. Только после этого мы сможем убедиться, что они равны ${-b}/a$ и, соответственно, $c/a$ .

Допустим у нас есть уравнение: $x^2 + px + q = 0$ . У этого уравнения есть такие корни: $x_1$ и $x_2$ . Докажем, что $x_1 + x_2 = -p$ , $x_1 * x_2 = q$ .

По формулам корней квадратного уравнения:

${x_1} = {-p + \sqrt{D}\over{2a}}$ , ${x_2} = {p - \sqrt{D}\over{2a}}$ .

1. Найдём сумму корней:

${x_1 + x_2} = {-p + \sqrt{D}\over{2a}} + {-p - \sqrt{D}\over{2a}} = {-p + \sqrt{D} - p - \sqrt{D}\over{2a}} = -p$ .

Разберём это уравнение, как оно у нас получилось именно таким:

$x_1 + x_2$ = ${{-p + \sqrt{D}}\over{2a}} + {{-p - \sqrt{D}}\over{2a}}$ .

Шаг 1. Приводим дроби к общему знаменателю, получается:

$x_1 + x_2$ = ${{-p + \sqrt{D}\over{2a}} + {{-p - \sqrt{D}}\over{2a}}$ = ${-p + \sqrt{D} + (-p - \sqrt{D})\over{2a}}$ .

Шаг 2. У нас получилась дробь, где нужно раскрыть скобки:

${-p + \sqrt{D} + (-p - \sqrt{D})\over{2a}}$ = ${-p + \sqrt{D} - p - \sqrt{D}\over{2a}}$ = ${-2b}\over{2a}$ . Сокращаем дробь на 2 и получаем:

${{-p}\over{a}} = -{{p\over{a}}$ .

Мы доказали соотношение для суммы корней квадратного уравнения по теореме Виета.

2. Найдём произведение корней:

${x_1 * x_2} = {-p + \sqrt{D}\over{2}} * {-p - \sqrt{D}\over{2}} = {(-p + \sqrt{D}) * (-p - \sqrt{D})\over{4}}$ =

= ${(p - \sqrt{D})(p + \sqrt{D})\over{4}}$ = ${p^2 - D}\over{4}}$ = ${{p^2 - (p^2 - 4q)}\over{4}}$ = ${p^2 - p^2 + 4q}\over{4}}$ = ${q}$ .

Докажем это уравнение:

${x_1 * x_2} = {-p + \sqrt{D}\over{2a}} * {-p - \sqrt{D}\over{2a}}$ .

Шаг 1. Есть правило умножение дробей, по которому мы и умножаем данное уравнение:

${(-p + \sqrt{D}) * (-p - \sqrt{D})\over{4a^2}}$ .

Шаг 2. Далее выполняется умножение скобку на скобку (в числителе). Можно воспользоваться формулой сокращённого умножения (ФСУ) – формула разности, откуда получается:

${(-p + \sqrt{D} * (-p - \sqrt{D})\over{4a^2}} = {{(-p)^2 - (\sqrt{D})^2}\over{4a^2}}$ .

Теперь вспоминаем определение квадратного корня и считаем:

${{(-p){^2} - (\sqrt{D})^2}\over{4a^2}}$ = ${p^2 - D\over{4a^2}}$ .

Шаг 3. Вспоминаем дискриминант квадратного уравнения: $D - b^2 - 4ac$ . Поэтому в последнюю дробь вместо D (дискриминанта) мы подставляем $b^2 - 4ac$ , тогда получается:

${b^2 - D}\over{4a^2}$ = ${b^2 - (b^2 - 4 * a * c)}\over{4a^2}$ .

Шаг 4. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые к дроби:

${4 * a * c\over{4 * a^2}}$ .

Шаг 5. Сокращаем «4a» и получаем $3\over{a}$ .

Вот мы и доказали соотношение для произведения корней по теореме Виета.

ВАЖНО! Если дискриминант равняется нулю, тогда у квадратного уравнения всего один корень.

Теорема, обратная теореме Виета

Важно!
Если вы не уверены, что справитесь с работой, обратитесь за помощью к профессионалам. Работу могут написать преподаватели, доцены вузов
Стоимость и сроки

По теореме, обратной теореме Виета можно проверять, правильно ли решено наше уравнение. Чтобы понять саму теорему, нужно более подробно её рассмотреть.

Если числа $x_1$ и $x_2$ такие:

$x_1 + x_2 = -p$ и $x-1 * x_2 = q$ , тогда они и есть корнями квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ .

Доказательство обратной теоремы Виета

Шаг 1. Подставим в уравнение $x^2 + px + q = 0$ выражения для его коэффициентов:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_{1} * x_{2} = 0$

Шаг 2. Преобразуем левую часть уравнения:

$x^2 - x_1 * x - x_2 * x + x_{1} * x_{2} = 0$ ;

$(x - x_1)(x - x_2) = 0$ .

Шаг 3. Найдём Корни уравнения $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ , а для этого используем свойство о равенстве произведения нулю:

$x - x_1 = 0$ или $x - x_2 = 0$ . Откуда и получается: $x = x_1$ или $x = x_2$ .

Примеры с решениями по теореме Виета

Пример 1

Задание

Найдите сумму, произведение и сумму квадратов корней квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ , не находя корней уравнения.

Решение

Шаг 1. Вспомним формулу дискриминанта $D = b^2 - 4 * a * c$ . Подставляем наши цифры под буквы. То есть, $b^2 = (-7)^2$ , $a = 1^2$ – это заменяет $x^2$ , а $c = 12$ . Отсюда следует:

$D = (-7)^2 - 4 * 1^2 * 12$ . Получается:

$D = 49 - 48 = 1 > 0$ . Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма $x_1 + x_2 = 7$ , а произведение $x_1 * x_2 = 12$ .

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:

$x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 7^2 - 2 * 12 = 49 - 24 = 25$ .

Ответ

7; 12; 25.

Пример 2

Задание

Решите уравнение $x^2 - 4x - 5 = 0$ . При этом не применяйте формулы квадратного уравнения.

Решение

У данного уравнения есть корни, которые по дискриминанту (D) больше нуля. Соответственно, по теореме Виета сумма корней этого уравнения равна 4, а произведение – 5. Сначала определяем делители числа $5$ , сумма которых равняется 4. Это числа «5» и «-1». Их произведение равно – 5, а сумма – 4. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного уравнения.

Ответ

$5$ и $1$

Пример 3

Задание

Найдите, если это возможно, сумму и произведение корней уравнения:

$x^2 - 3x + 6 = 0$

Решение

$D = 9 - 24 < 0$ . Так как дискриминант меньше нуля, значит у уравнения нет корней.

Ответ

Нет корней.

Пример 4

Задание

Составьте уравнение, каждый корень которого в два раза больше соответствующего корня уравнения:

$x^2 - 12x + 7 = 0$

Решение

По теореме Виета сумма корней данного уравнения равна 12, а произведение = 7. Значит, два корня положительны.

Сумма корней нового уравнения будет равна:

$2 * 12 = 24$ , а произведение $4 * 7 = 28$ .

По теореме, обратной теореме Виета, новое уравнение имеет вид:

$x^2 - 24x + 28 = 0$

Ответ

Получилось уравнение, каждый корень которого в два раза больше: $x^2 - 24x + 28 = 0$

Итак, мы рассмотрели, как решать уравнение при помощи теоремы Виета. Очень удобно пользоваться данной теоремой, если решаются задания, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. То есть, если в формуле $x^2 + px + q$ свободный член $q$ – число положительное, и если в квадратном уравнении имеются действительные корни, тогда они оба могут быть либо отрицательными, либо положительными.

А если свободный член – отрицательное число, и если в квадратном уравнении есть действительные корни, тогда оба знака будут разными. То есть, если один корень положительный, тогда другой корень будет только отрицательный.

Полезные источники:

Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2016 – 318 с.
Рубин А. Г., Чулков П. В. – учебник Алгебра 8 класс:Москва “Баласс”, 2015 – 237 с.
Никольский С. М., Потопав М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2014 – 300