Теорема Виета помогает решать квадратные уравнения путём подбора. В этой статье даны определения, доказательства, формулы и примеры решений квадратных уравнений для чайников.

Что такое теорема Виета

Франсуа Виет (1540-1603 гг) – математика, создатель знаменитых формул Виета

Теорема Виета нужна для быстрого решения квадратных уравнений (простыми словами).

Если более подробно, то теорема Виета – это сумма корней данного квадратного уравнения равняется второму коэффициенту, который взят с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Это свойство обладает любым приведённым квадратным уравнением, у которого есть корни.

При помощи теоремы Виета можно легко решать квадратные уравнения путём подбора, поэтому скажем “спасибо” этому математику с мечем в руках за наш счастливый 7 класс.

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Доказательство теоремы Виета

Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться известными формулами корней, благодаря которым составим сумму и произведение корней квадратного уравнения. Только после этого мы сможем убедиться, что они равны ${-b}/a$ и, соответственно, $c/a$ .

Допустим у нас есть уравнение: $x^2 + px + q = 0$ . У этого уравнения есть такие корни: $x_1$ и $x_2$ . Докажем, что $x_1 + x_2 = -p$ , $x_1 * x_2 = q$ .

По формулам корней квадратного уравнения:

${x_1} = {-p + \sqrt{D}\over{2a}}$ , ${x_2} = {p - \sqrt{D}\over{2a}}$ .

1. Найдём сумму корней:

${x_1 + x_2} = {-p + \sqrt{D}\over{2a}} + {-p - \sqrt{D}\over{2a}} = {-p + \sqrt{D} - p - \sqrt{D}\over{2a}} = -p$ .

Разберём это уравнение, как оно у нас получилось именно таким:

$x_1 + x_2$ = ${{-p + \sqrt{D}}\over{2a}} + {{-p - \sqrt{D}}\over{2a}}$ .

Шаг 1. Приводим дроби к общему знаменателю, получается:

$x_1 + x_2$ = ${{-p + \sqrt{D}\over{2a}} + {{-p - \sqrt{D}}\over{2a}}$ = ${-p + \sqrt{D} + (-p - \sqrt{D})\over{2a}}$ .

Шаг 2. У нас получилась дробь, где нужно раскрыть скобки:

${-p + \sqrt{D} + (-p - \sqrt{D})\over{2a}}$ = ${-p + \sqrt{D} - p - \sqrt{D}\over{2a}}$ = ${-2b}\over{2a}$ . Сокращаем дробь на 2 и получаем:

${{-p}\over{a}} = -{{p\over{a}}$ .

Мы доказали соотношение для суммы корней квадратного уравнения по теореме Виета.

2. Найдём произведение корней:

${x_1 * x_2} = {-p + \sqrt{D}\over{2}} * {-p - \sqrt{D}\over{2}} = {(-p + \sqrt{D}) * (-p - \sqrt{D})\over{4}}$ =

= ${(p - \sqrt{D})(p + \sqrt{D})\over{4}}$ = ${p^2 - D}\over{4}}$ = ${{p^2 - (p^2 - 4q)}\over{4}}$ = ${p^2 - p^2 + 4q}\over{4}}$ = ${q}$ .

Докажем это уравнение:

${x_1 * x_2} = {-p + \sqrt{D}\over{2a}} * {-p - \sqrt{D}\over{2a}}$ .

Шаг 1. Есть правило умножение дробей, по которому мы и умножаем данное уравнение:

${(-p + \sqrt{D}) * (-p - \sqrt{D})\over{4a^2}}$ .

Шаг 2. Далее выполняется умножение скобку на скобку (в числителе). Можно воспользоваться формулой сокращённого умножения (ФСУ) – формула разности, откуда получается:

${(-p + \sqrt{D} * (-p - \sqrt{D})\over{4a^2}} = {{(-p)^2 - (\sqrt{D})^2}\over{4a^2}}$ .

Теперь вспоминаем определение квадратного корня и считаем:

${{(-p){^2} - (\sqrt{D})^2}\over{4a^2}}$ = ${p^2 - D\over{4a^2}}$ .

Шаг 3. Вспоминаем дискриминант квадратного уравнения: $D - b^2 - 4ac$ . Поэтому в последнюю дробь вместо D (дискриминанта) мы подставляем $b^2 - 4ac$ , тогда получается:

${b^2 - D}\over{4a^2}$ = ${b^2 - (b^2 - 4 * a * c)}\over{4a^2}$ .

Шаг 4. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые к дроби:

${4 * a * c\over{4 * a^2}}$ .

Шаг 5. Сокращаем «4a» и получаем $3\over{a}$ .

Вот мы и доказали соотношение для произведения корней по теореме Виета.

ВАЖНО! Если дискриминант равняется нулю, тогда у квадратного уравнения всего один корень.

Теорема, обратная теореме Виета

По теореме, обратной теореме Виета можно проверять, правильно ли решено наше уравнение. Чтобы понять саму теорему, нужно более подробно её рассмотреть.

Если числа $x_1$ и $x_2$ такие:

$x_1 + x_2 = -p$ и $x-1 * x_2 = q$ , тогда они и есть корнями квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ .

Доказательство обратной теоремы Виета

Шаг 1. Подставим в уравнение $x^2 + px + q = 0$ выражения для его коэффициентов:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_{1} * x_{2} = 0$

Шаг 2. Преобразуем левую часть уравнения:

$x^2 - x_1 * x - x_2 * x + x_{1} * x_{2} = 0$ ;

$(x - x_1)(x - x_2) = 0$ .

Шаг 3. Найдём Корни уравнения $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ , а для этого используем свойство о равенстве произведения нулю:

$x - x_1 = 0$ или $x - x_2 = 0$ . Откуда и получается: $x = x_1$ или $x = x_2$ .

Примеры с решениями по теореме Виета

Пример 1

Задание

Найдите сумму, произведение и сумму квадратов корней квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ , не находя корней уравнения.

Решение

Шаг 1. Вспомним формулу дискриминанта $D = b^2 - 4 * a * c$ . Подставляем наши цифры под буквы. То есть, $b^2 = (-7)^2$ , $a = 1^2$ – это заменяет $x^2$ , а $c = 12$ . Отсюда следует:

$D = (-7)^2 - 4 * 1^2 * 12$ . Получается:

$D = 49 - 48 = 1 > 0$ . Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма $x_1 + x_2 = 7$ , а произведение $x_1 * x_2 = 12$ .

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:

$x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 7^2 - 2 * 12 = 49 - 24 = 25$ .

Ответ

7; 12; 25.

Пример 2

Задание

Решите уравнение $x^2 - 4x - 5 = 0$ . При этом не применяйте формулы квадратного уравнения.

Решение

У данного уравнения есть корни, которые по дискриминанту (D) больше нуля. Соответственно, по теореме Виета сумма корней этого уравнения равна 4, а произведение – 5. Сначала определяем делители числа $5$ , сумма которых равняется 4. Это числа «5» и «-1». Их произведение равно – 5, а сумма – 4. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного уравнения.

Ответ

$5$ и $1$

Пример 3

Задание

Найдите, если это возможно, сумму и произведение корней уравнения:

$x^2 - 3x + 6 = 0$

Решение

$D = 9 - 24 < 0$ . Так как дискриминант меньше нуля, значит у уравнения нет корней.

Ответ

Нет корней.

Пример 4

Задание

Составьте уравнение, каждый корень которого в два раза больше соответствующего корня уравнения:

$x^2 - 12x + 7 = 0$

Решение

По теореме Виета сумма корней данного уравнения равна 12, а произведение = 7. Значит, два корня положительны.

Сумма корней нового уравнения будет равна:

$2 * 12 = 24$ , а произведение $4 * 7 = 28$ .

По теореме, обратной теореме Виета, новое уравнение имеет вид:

$x^2 - 24x + 28 = 0$

Ответ

Получилось уравнение, каждый корень которого в два раза больше: $x^2 - 24x + 28 = 0$

Итак, мы рассмотрели, как решать уравнение при помощи теоремы Виета. Очень удобно пользоваться данной теоремой, если решаются задания, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. То есть, если в формуле $x^2 + px + q$ свободный член $q$ – число положительное, и если в квадратном уравнении имеются действительные корни, тогда они оба могут быть либо отрицательными, либо положительными.

А если свободный член – отрицательное число, и если в квадратном уравнении есть действительные корни, тогда оба знака будут разными. То есть, если один корень положительный, тогда другой корень будет только отрицательный.

Полезные источники:

Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2016 – 318 с.
Рубин А. Г., Чулков П. В. – учебник Алгебра 8 класс:Москва “Баласс”, 2015 – 237 с.
Никольский С. М., Потопав М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2014 – 300

Igor:

06 марта 2021 в 20:01

Русский язык “подтяните”, дружок.
Цитаты из вашей “речи”:
“Это свойство обладает любым приведённым квадратным уравнением, у которого есть корни.”
“…этому математику с мечем в руках…”

Ответить
- Тагир:
  
  09 марта 2021 в 19:23
  
  Спасибо за критику, данную статью действительно писал нерусскоязычный автор)

Теорема Виета, обратная формула Виета и примеры с решением для чайников

Что такое теорема Виета

Доказательство теоремы Виета

Теорема, обратная теореме Виета

Доказательство обратной теоремы Виета

Примеры с решениями по теореме Виета