Аргумент комплексного числа

Рассмотрим аргумент комплексного числа на примере. Пусть вектор \overline {OM} изображает комплексное число z (рис. 1). Аргументом числа z\neq{0} называется любое из значений угла наклона вектора \overline{OM} к оси OX:

Argz = \varphi + 2k\pi, где k = 0, \pm{1}, \pm{2},....

Таким образом, у аргумента комплексного числа появляется бесконечное множество значений. Аргумент z = 0 не определяется.

Аргумент комплексного числа

Рис. 1

Наименьшее за абсолютной величиной значение Argz (то есть значение с интервалом (-\pi, \pi]) называется главным значением аргумента комплексного числа и обозначается arg z, поэтому Argz = arg z + 2k\pi, (k = 0, \pm{1},...).

Вычисление аргумента

Вычисление аргумента знать необходимо, но сначала нужно отметить свойство: arctg(-a) = -arctg(a).

1) Аргумент действительного и чисто мнимого числа: если a > 0, тогда arg {a} = 0, arg (-a) = \pi, arg(ai) = \pi/2, arg(-ai) = -\pi/2.

2) Аргумент любого числа z = a + bi(a\neq{0}) можно находить по формуле:

 

\varphi = arg\quad{z} = \left\{  \begin{aligned} arctg{b\over{a}}\\ arctg{b\over{a}} + \pi\\ arctg{b\over{a}} - \pi \end{aligned} \tight

(1)

В первой формуле, если  z\in{I, IV} четверти, во второй формуле, если z\in{II четверти, а в третьей, если z\in{III} четверти.

Доведём последнюю формулу в случае, если z изображается точкой M во второй четверти (рис. 2). С \DeltaOMM_{1}\to{tg{a}} = {b\over{-a}}\to\alpha = - arctg{b\over{a}}. Так как \varphi + \alpha = \pi тогда \varphi = \pi - \alpha = \pi + arctg{b\over{a}}

Вычисление аргумента

Рис. 2

Другие случаи расположения числа z на плоскости рассматриваются аналогично.

Если не требуется высокой точности, тогда аргумент комплексных чисел можно находить графическим способом. С этой целью стоит построить комплексные числа на миллиметровом листе и измерять соответствующий угол при помощи транспортира. Этот способ иногда используют для грубой проверки вычислений.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть известны модуль |z| = r > 0 и аргумент Argz = \varphi комплексного числа z = a + bi (см. рис. 1).

r, \varphi – полярные координаты точки M (a, b), которая изображает число z( если OX – полярная ось).

Определение

В случае размещения осей OX и OY, показанному на рисунке 1 известны формулы перехода от полярных к прямоугольным координатам точки M: a = r cos\varphi, b = r sin\varphi. Добавим эти равенства, умножив вторую часть на i:

z = a + bi = r(cos\varphi + i * sin\varphi).

Последняя форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Как видим, чтобы найти тригонометрическую форму, достаточно вычислить модуль и аргумент комплексных чисел.

Показательная форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа в практике встречается реже, чем в тригонометрической форме, но всё же иногда встречается и поэтому, о ней необходимо знать хотя бы самое основное.

Пусть |z| = r > 0, Argz = \varphi. Если число z записать в тригонометрической форме z = r(cos\varphi + i\quad{sin\varphi}), а потом применить формулу Эйлера e^i^\varphi = cos\varphi + i\quad{sin\varphi}, где \varphi – любое действительное число, получим так званую показательную форму комплексного числа:

z = re^i^\varphi.

Такая форма записи чисел позволяет использовать свойства экспоненты и поэтому удобна для разных преобразований.

Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел: если

z_{1} = r_{1}e^{i\varphi_{1}}, z_{2} = r_{2}e^{i\varphi_{2}}, тогда

z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}e^{i(\varphi_{1} + \varphi_{2}), {z_1\over{z_2}} = {r_1\over{r_{2}}}e^{i(\varphi_{1} - \varphi_{2});

z^n = (re^{i\varphi})^n = r^ne^{in\varphi}, где n – целое.

Примеры решений

Пример 1

Задача

Записать в тригонометрической форме следующие числа:  1) z_{1} = -i, 2) z_{2} = -2, 3) z_{3} = -2 - 2i.

Решение

1) z_{1} = |-i| = 1, arg {z_{1}} = arg(-i) = -90^0

2) |z_{2}| = |-2| = 2, arg {z_{2}} = arg(-2) = 180^0.

3) |z_{3} = -2 - 2i| = \sqrt{8}, arg {z_{3}} = arg(-2 - 2i) = -135^0.

Ответ

1) -i = 1 * (cos(-90^0) + i {sin(-90^0))}.

2) -2 = 2(cos 180^0 + i {sin 180^0}).

3) -2 -2i = \sqrt{8}(cos(-135^0) + i {sin} - (-135^0)).

Пример 2

Задача

Используя тригонометрическую форму, вычислить произведение чисел z_{1} = 1 + i, z_{2} = {1\over{2}}i. Выяснить геометрическое содержание операции множества этих чисел.

Решение

|z_{1}| = \sqrt{2}, arg z_{1} = 45^0; |z_{2}| = {1\over{2}}, arg z_{2} = 90^0;

z_{1}z_{2} = \sqrt{2}(cos 45^0 + {i} sin 90^0) = {\sqrt{2}\over{2}}(cos 135^0 + i sin 135^0) = {1\over{2}}(-1 + i).

С геометрической точки зрения были выполнены следующие преобразования:

1) поворот вектора \overline{OM} = 1 + i на угол 90^0\to{OM} – результат поворота;

2) сжатие (без изменения направления) вектора \overline{OM}' в два раза\to\overline{OM''} – результат умножения.

При помощи рисунка 3 в данном случае легко проверить, что OM'' = -{1\over{2}} + {1\over{2}}i.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рис. 3

Ответ 

Произведение чисел z_{1}z_{2} = {1\over{2}}(- 1 + i).

Пример 3

Задача

Записать в показательной форме число z = -1 + i\sqrt{3}.

Решение

r = |z| = 2, \varphi = Arg z = \pi - arctg\sqrt{3} = \pi - \pi/3 = 2\pi/3.

Ответ 

z = 2e^{i2\pi/3}.

Пример 4

Задача

Используя показательную форму чисел z_{1} = 2 - 3i, z_{2} = -4 + 3i, z_{3} = 2 + 4i. Вычислить приблизительно W = {z_{1}z_{2}\over{z_{3}}( все вычисления выполнять с четырьмя знаками после запятой). Для контроля найти точно значение W, выполняя вычисления в алгебраической форме.

Решение

Находим квадраты модулей и аргументы (в градусах) данных чисел: |z_{1}|^2 = 13, |z_{2}|^2 = 25, |z_{3}|^2 = 20;

arg z_{1} = -arctg{3\over{2}} = -56,3099^0,

arg z_{2} = 180^0 - arctg 3/4 = 180^0 - 36,8699^0 = 143,1301^0,

arg z_{3} = arctg 2 = 63,4349^0.

Выполняя действия над числами в показательной форме, получаем:

W = \sqrt{{13 * 25\over{20}}}* e^{i(-56,3099 + 143,1301 - 63,4349)^0} = 4,0311 * e^{i * 23,3853^0}.

К алгебраической форме записи числа W переходим при помощи формулы Эйлера:

W = 4,0311(cos 23,3853^0 + i sin 23,3853^0) = 4,0311(0,9178 + i * 0.3969) = 3,7000 + i * 1,6000.

Контроль

Выполняем действия в алгебраической форме:

W = {(2 - 3i)(-4 + 3i)\over{2 + 4i}} = {-8 + 12i + 6i - 9i^2\over{2 + 4i}} = {(1 + 18i)(2 - 4i)\over{(2 + 4i)(2 - 4i)}} = {2 - 4i + 36i - 72i^2\over{4 + 16}} = {74 + 32i\over{20}} = 3,7 + i * 1,6.