О чем статья
Основные тригонометрические формулы
Тригонометрические формулы – это самые незаменимые математические выражения, необходимые для тригонометрических функций. Они выполняются для всех значений аргумента.
Для начала напомним, что синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg) – неразрывно связаны с понятием угла.
Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следуя из этого правило, легко запомнить, что косинус угла – отношение близкого катета (прилежащего) к гипотенузе.
А вот тангенс отличается от первых двух понятиях. Это отношение дальнего к близкому катету. Котангенс с точностью да наоборот от тангенса. Котангенс – отношение близкого к дальнему катету.
Теперь перейдём непосредственно к самим формулам. Эти формулы связывают синус, косинус, тангенс, котангенс одного угла. Каждая из них является следствием каких-то определений.
;
;
;
;
;
.
У вышеперечисленных тождеств соотношение между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла. Благодаря им можно выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.
Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Формулы приведения
Формулы приведения – это формулы, при помощи которых значения тригонометрических функций аргументов выражаются через значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
Любая из семи формул приведения может быть записана и для градусной меры угла. Чтобы использовать эти формулы, не заучивая их, нужно помнить всего лишь два правила формул приведения:
- Правило знака: с правой части формулы ставится тот знак, который имеет значение выражения в левой части при условии, что угол
принадлежит I четверти.
- Правило названий: это тогда, когда в левой части формулы угол равен
или
. В этом случае синус меняется на косинус, а тангенс на котангенс. Так же и наоборот. Когда же угол равен
или
, тогда названия выражения сохраняется.
Формулы сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Формулы сложения нужны для того, чтобы выражать функции разности или же суммы двух углов при помощи тригонометрических функций этих углов.
Синус суммы – .
Синус разности двух углов – .
Косинус суммы – .
Косинус разности – .
Тангенс суммы – .
Тангенс разности – .
Котангенс суммы – .
Котангенс разности –
Благодаря тригонометрическим формулам сложения мы можем понять, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов.
Формулы двойного угла
Формулы двойного угла – это такие формулы, которые связывают тригонометрические функции угла (синус, косинус, тангенс, котангенс) с тригонометрическими функциями угла
.
Из формулы сложения для синуса при
получим
и после приведения подобных слагаемых получается первое тождество
. Второе тождество получается аналогичным путём. Что касается двух последних тождеств (3 и 4), они получаются при
, соответственно из формул:
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла даны для квадратов тригонометрических функций.
Первые две формулы (синус и косинус) справедливы любому углу . Третья формула (тангенс) предназначается для любых углов
, при которых определён
. И четвёртая, формула котангенса половинного угла справедлива для всех углов альфа, но при которых определён котангенс половинного угла (
Формулы понижения степени
Формулы понижения степени – это такие тригонометрические формулы, которые позволяют перейти от степеней тригонометрических функций к функциям первой степени. Однако от кратного аргумента.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Благодаря формулам суммы и разности можно легко упрощать тригонометрические выражения. Кроме того, они часто используются при решении тригонометрических уравнений. Рассмотрим формулы суммы и разности.
или
Формулы произведения косинусов, синусов и синуса на косинуса
При помощи этих формул можно перейти от произведения тригонометрических функций к разности или сумме.
Все формулы, которые переходят от произведения к сумме или разности осуществляется при помощи вышеописанных формул произведения косинусов, синусов и синус на косинус.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Основные тригонометрические формулы завершаются такими формулами, которые выражают функции тригонометрии через тангенс половинного угла.Такая замена называется – универсальная тригонометрическая подстановка. Она очень удобно тем, что любая тригонометрическая функция выражается рационально через тангенс половинного угла без корней.
Эти формулы выражаются через тангенс половинного угла.
Итак, мы написали самые простые и самые основные формулы, которые необходимо знать каждому учащемуся. Ведь именно при их помощи изучается тригонометрия. Кроме того, многие формулы необходимо знать для более эффективной подготовки к ЕГЭ.