Тригонометрические формулы - список всех формул: sin, cos, tg, ctg

О чем статья

Основные тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы – это самые незаменимые математические выражения, необходимые для тригонометрических функций. Они выполняются для всех значений аргумента.

Для начала напомним, что синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg) – неразрывно связаны с понятием угла.

Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следуя из этого правило, легко запомнить, что косинус угла – отношение близкого катета (прилежащего) к гипотенузе.

А вот тангенс отличается от первых двух понятиях. Это отношение дальнего к близкому катету. Котангенс с точностью да наоборот от тангенса. Котангенс – отношение близкого к дальнему катету.

Теперь перейдём непосредственно к самим формулам. Эти формулы связывают синус, косинус, тангенс, котангенс одного угла. Каждая из них является следствием каких-то определений.

Основные формулы

$sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ ;

${tg\alpha} = {{sin\alpha}\over{cos\alpha}}$ ;

${ctg\alpha} = {{cos\alpha}\over{sin\alpha}}$ ;

$tg\alpha * ctg\alpha = 1$ ;

$tg^2\alpha + 1 = {1\over{cos^2\alpha}$ ;

$1 + ctg^2\alpha = {1\over{sin^2\alpha}$ .

У вышеперечисленных тождеств соотношение между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла. Благодаря им можно выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Формулы приведения

Формулы приведения – это формулы, при помощи которых значения тригонометрических функций аргументов выражаются через значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Формулы приведения

$sin(\pi - \alpha) = sin{\alpha}$ , $cos(\pi - \alpha) = -cos{\alpha}$ .

$sin(\pi + \alpha) = -sin{\alpha}$ , $cos(\pi + \alpha) = -cos{\alpha}$ .

$sin({{\pi}\over{2}}- \alpha)} = cos{\alpha}$ , $cos({{\pi}\over{2}} - \alpha)} = sin{\alpha}$ .

$sin({{\pi}\over{2}} + \alpha)}= cos{\alpha}$ , $cos({{\pi}\over{2}} + \alpha) = -sin{\alpha}$ .

$sin({{3\pi\over{2}} - \alpha) = - cos{\alpha}$ , $cos({{3\pi}\over{2}} - \alpha) = -sin{\alpha}$ .

$sin({{3\pi\over{2}} + \alpha) = - cos{\alpha}$ , $cos({{3\pi\over{2}} - \alpha) = sin{\alpha}$ .

$sin(2\pi - \alpha) = -sin{\alpha}$ , $cos(2\pi - \alpha) = cos{\alpha}$ .

Любая из семи формул приведения может быть записана и для градусной меры угла. Чтобы использовать эти формулы, не заучивая их, нужно помнить всего лишь два правила формул приведения:

Правило знака: с правой части формулы ставится тот знак, который имеет значение выражения в левой части при условии, что угол $\alpha$ принадлежит I четверти.
Правило названий: это тогда, когда в левой части формулы угол равен ${\pi\over{2}}\pm\alpha$ или ${3\pi\over{2}}\pm\alpha$ . В этом случае синус меняется на косинус, а тангенс на котангенс. Так же и наоборот. Когда же угол равен $\pi\pm\alpha$ или $2{\pi} - \alpha$ , тогда названия выражения сохраняется.

Формулы сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Формулы сложения нужны для того, чтобы выражать функции разности или же суммы двух углов при помощи тригонометрических функций этих углов.

Формулы сложения

Синус суммы – $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha * cos\beta + cos\alpha * sin\beta$ .

Синус разности двух углов – $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha * cos\beta - cos\alpha * sin\beta$ .

Косинус суммы – $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha * cos\beta - sin\alpha * sin\beta$ .

Косинус разности – $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha * cos\beta + sin\alpha * sin\beta$ .

Тангенс суммы – ${tg(\alpha + \beta)} = {tg\alpha + tg\beta\over{1- tg\alpha * tg\beta}$ .

Тангенс разности – ${tg(\alpha - \beta)} = {tg\alpha - tg\beta\over{1+ tg\alpha * tg\beta}$ .

Котангенс суммы – ${ctg(\alpha + \beta)} = {-1 + ctg\alpha * ctg\beta\over{ctg\alpha + tg\beta}$ .

Котангенс разности – ${ctg(\alpha - \beta)} = {-1 - ctg\alpha * ctg\beta\over{ctg\alpha - tg\beta}$

Благодаря тригонометрическим формулам сложения мы можем понять, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов.

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла – это такие формулы, которые связывают тригонометрические функции угла $2\alpha$ (синус, косинус, тангенс, котангенс) с тригонометрическими функциями угла $\alpha$ .

Формулы двойного угла

$sin2\alpha = 2 sin\alpha cos\alpha$

$cos2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$

${tg2\alpha} = {2tg\alpha\over{1 - tg^2\alpha}}$

${ctg2\alpha} = {ctg^2\alpha - 1\over{2ctg\alpha}$

Из формулы сложения для синуса $sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta$ при $\beta = \alpha$ получим $sin(\alpha + \alpha) = sin\alpha cos\alpha + cos\alpha sin\alpha$ и после приведения подобных слагаемых получается первое тождество $sin2\alpha = 2 sin\alpha cos\alpha$ . Второе тождество получается аналогичным путём. Что касается двух последних тождеств (3 и 4), они получаются при $\beta = \alpha$ , соответственно из формул:

${tg(\alpha + \beta)} = {tg\alpha + tg\beta\over{1 + tg\alphatg\beta}}$

${ctg(\alpha + \beta)} = {ctg\alpha ctg\beta - 1\over{ctg\alpha + ctg\beta}$

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла даны для квадратов тригонометрических функций.

Формулы половинного угла

$sin^2{\alpha\over{2}} = {1 - cos\alpha\over{2}}$

$cos^2{\alpha\over{2}} = {1 + cos\alpha\over{2}}$

$tg^2{\alpha\over{2}} = {1 - cos\alpha\over{1 + co\alpha}}$

$ctg^2{\alpha\over{2}} = {1 + cos\alpha\over{1 - cos\alpha}}$

Первые две формулы (синус и косинус) справедливы любому углу $\alpha$ . Третья формула (тангенс) предназначается для любых углов $\alpha$ , при которых определён ${tg}{\alpha\over{2}}$ . И четвёртая, формула котангенса половинного угла справедлива для всех углов альфа, но при которых определён котангенс половинного угла ( $\alpha\neq{2\pi * z})$

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени – это такие тригонометрические формулы, которые позволяют перейти от степеней тригонометрических функций к функциям первой степени. Однако от кратного аргумента.

Формулы понижения степени

${sin^2\alpha} = {1 - cos2\alpha\over{2}}$

${cos^2\alpha} = {1 + cos2\alpha\over{2}}$

${sin^3\alpha} = {3 * sin\alpha - sin3\alpha\over{4}}$

${cos^3\alpha} = {3 * cos\alpha + cos3\alpha\over{4}}$

${sin^4\alpha} = {3 - 4 * cos2\alpha + cos4\alpha\over{8}}$

${cos^4\alpha} = {3 + 4 * cos2\alpha + cos4\alpha\over{8}}$

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Благодаря формулам суммы и разности можно легко упрощать тригонометрические выражения. Кроме того, они часто используются при решении тригонометрических уравнений. Рассмотрим формулы суммы и разности.

Формулы суммы и разности

${sin\alpha + sin\beta} = {2 * sin{\alpha + \beta\over{2}} * cos {\alpha - \beta\over{2}}$

${sin\alpha - sin\beta} = {2 * sin{\alpha - \beta\over{2}} * cos {\alpha + \beta\over{2}}$

${cos\alpha + cos\beta} = {2 * cos{\alpha + \beta\over{2}} * cos {\alpha - \beta\over{2}}$

${cos\alpha - cos\beta} = {-2 * sin{\alpha + \beta\over{2}} * sin {\alpha - \beta\over{2}}$ или

${cos\alpha - cos\beta} = {2 * sin{\alpha + \beta\over{2}} * sin {\beta - \alpha\over{2}}$

Формулы произведения косинусов, синусов и синуса на косинуса

При помощи этих формул можно перейти от произведения тригонометрических функций к разности или сумме.

Формулы произведения

${sin\alpha * sin\beta} = {1\over{2}} * (cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$

${cos\alpha * cos\beta} = {1\over{2}} * (cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta))$

${sin\alpha * cos\beta} = {1\over{2}} * (sin(\alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta))$

Все формулы, которые переходят от произведения к сумме или разности осуществляется при помощи вышеописанных формул произведения косинусов, синусов и синус на косинус.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Основные тригонометрические формулы завершаются такими формулами, которые выражают функции тригонометрии через тангенс половинного угла.Такая замена называется – универсальная тригонометрическая подстановка. Она очень удобно тем, что любая тригонометрическая функция выражается рационально через тангенс половинного угла без корней.

Универсальная тригонометрическая подстановка

${sin\alpha} ={{2 * tg{\alpha\over{2}}}\over{1 + tg^2{\alpha\over{2}}}}$

${cos\alpha} ={{1 - tg^2{\alpha\over{2}}}\over{1 + tg^2{\alpha\over{2}}}}$

${tg\alpha} ={{2 * tg{\alpha\over{2}}}\over{1 - tg^2{\alpha\over{2}}}}$

${ctg\alpha} ={{1 - tg^2{\alpha\over{2}}}\over{2 * tg{\alpha\over{2}}}}$

Эти формулы выражаются через тангенс половинного угла.

Итак, мы написали самые простые и самые основные формулы, которые необходимо знать каждому учащемуся. Ведь именно при их помощи изучается тригонометрия. Кроме того, многие формулы необходимо знать для более эффективной подготовки к ЕГЭ.

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Тагир С.

Редактор.

Экономист-математик, специалист в области маркетинга, автор научных публикаций в Киберленинка (РИНЦ).

Добавить комментарий Отменить ответ

Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная
АЛЕКСЕЙ РЫБАКОВ на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаДавно в интернете задаю вопрос и не получаю ответа : Учёные бьются над созданием роботов копирующих людей . (проблемы ,
Торгын на Язык газеты: особенности и стиль в сравнении с другими СМИСпасибо, очень полезная статья, спасибо автору.

Тригонометрические формулы: полезные советы и рекомендации

Основные тригонометрические формулы

Формулы приведения

Формулы сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Формулы двойного угла

Формулы половинного угла

Формулы понижения степени

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Формулы произведения косинусов, синусов и синуса на косинуса

Универсальная тригонометрическая подстановка