Тригонометрические формулы

В этой статье приведены все тригонометрические формулы и тождества (сложения, приведения, двойного угла, половинного угла, разности функций и др.), при помощи которых решается наибольшая часть задач по тригонометрии. Сгруппируем эти формулы по назначению.

Основные тригонометрические формулы

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости

Тригонометрические формулы – это самые незаменимые математические выражения, необходимые для тригонометрических функций. Они выполняются для всех значений аргумента.

Для начала напомним, что синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg) – неразрывно связаны с понятием угла.

Синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следуя из этого правило, легко запомнить, что косинус угла – отношение близкого катета (прилежащего) к гипотенузе.

А вот тангенс отличается от первых двух понятиях. Это отношение дальнего к близкому катету. Котангенс с точностью да наоборот от тангенса. Котангенс – отношение близкого к дальнему катету.

Теперь перейдём непосредственно к самим формулам. Эти формулы связывают синус, косинус, тангенс, котангенс одного угла. Каждая из них является следствием каких-то определений.

Основные формулы

sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1;

{tg\alpha} = {{sin\alpha}\over{cos\alpha}};

{ctg\alpha} = {{cos\alpha}\over{sin\alpha}};

tg\alpha * ctg\alpha = 1;

tg^2\alpha + 1 = {1\over{cos^2\alpha};

1 + ctg^2\alpha = {1\over{sin^2\alpha}.

У вышеперечисленных тождеств соотношение между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла. Благодаря им можно выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Формулы приведения

Формулы приведения – это формулы, при помощи которых значения тригонометрических функций аргументов выражаются через значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Формулы приведения

sin(\pi - \alpha) = sin{\alpha}, cos(\pi - \alpha) = -cos{\alpha}.

sin(\pi + \alpha) = -sin{\alpha}, cos(\pi + \alpha) = -cos{\alpha}.

sin({{\pi}\over{2}}- \alpha)} = cos{\alpha}, cos({{\pi}\over{2}} - \alpha)} = sin{\alpha}.

sin({{\pi}\over{2}} + \alpha)}= cos{\alpha}, cos({{\pi}\over{2}} + \alpha) = -sin{\alpha}.

sin({{3\pi\over{2}} - \alpha) = - cos{\alpha}, cos({{3\pi}\over{2}} - \alpha) = -sin{\alpha}.

sin({{3\pi\over{2}} + \alpha) = - cos{\alpha}, cos({{3\pi\over{2}} - \alpha) = sin{\alpha}.

sin(2\pi - \alpha) = -sin{\alpha}, cos(2\pi - \alpha) = cos{\alpha}.

Любая из семи формул приведения может быть записана и для градусной меры угла. Чтобы использовать эти формулы, не заучивая их, нужно помнить всего лишь два правила формул приведения:

  1. Правило знака: с правой части формулы ставится тот знак, который имеет значение выражения в левой части при условии, что угол \alpha принадлежит I четверти.
  2. Правило названий: это тогда, когда в левой части формулы угол равен {\pi\over{2}}\pm\alpha или {3\pi\over{2}}\pm\alpha. В этом случае синус меняется на косинус, а тангенс на котангенс. Так же и наоборот. Когда же угол равен \pi\pm\alpha или 2{\pi} - \alpha, тогда названия выражения сохраняется.

Формулы сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой, обратитесь за помощью к профессионалам. Работу могут написать преподаватели, доцены вузов

Стоимость и сроки

Формулы сложения нужны для того, чтобы выражать функции разности или же суммы двух углов при помощи тригонометрических функций этих углов.

Формулы сложения

Синус суммы – sin(\alpha + \beta) = sin\alpha * cos\beta + cos\alpha * sin\beta.

Синус разности двух углов – sin(\alpha - \beta) = sin\alpha * cos\beta - cos\alpha * sin\beta.

Косинус суммы – cos(\alpha + \beta) = cos\alpha * cos\beta - sin\alpha * sin\beta.

Косинус разности – cos(\alpha - \beta) = cos\alpha * cos\beta + sin\alpha * sin\beta.

Тангенс суммы – {tg(\alpha + \beta)} = {tg\alpha + tg\beta\over{1- tg\alpha * tg\beta}.

Тангенс разности – {tg(\alpha - \beta)} = {tg\alpha - tg\beta\over{1+ tg\alpha * tg\beta}.

Котангенс суммы – {ctg(\alpha + \beta)} = {-1 + ctg\alpha * ctg\beta\over{ctg\alpha + tg\beta}.

Котангенс разности – {ctg(\alpha - \beta)} = {-1 - ctg\alpha * ctg\beta\over{ctg\alpha - tg\beta}

Благодаря тригонометрическим формулам сложения мы можем понять, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов.

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла – это такие формулы, которые связывают тригонометрические функции угла 2\alpha (синус, косинус, тангенс, котангенс) с тригонометрическими функциями угла \alpha.

Формулы двойного угла

sin2\alpha = 2 sin\alpha cos\alpha

cos2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha

{tg2\alpha} = {2tg\alpha\over{1 - tg^2\alpha}}

{ctg2\alpha} = {ctg^2\alpha - 1\over{2ctg\alpha}

Из формулы сложения для синуса sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta при \beta = \alpha получим sin(\alpha + \alpha) = sin\alpha cos\alpha + cos\alpha sin\alpha и после приведения подобных слагаемых получается первое тождество sin2\alpha = 2 sin\alpha cos\alpha. Второе тождество получается аналогичным путём. Что касается двух последних тождеств (3 и 4), они получаются при \beta = \alpha, соответственно из формул:

{tg(\alpha + \beta)} = {tg\alpha + tg\beta\over{1 + tg\alphatg\beta}}

{ctg(\alpha + \beta)} = {ctg\alpha ctg\beta - 1\over{ctg\alpha + ctg\beta}

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла даны для квадратов тригонометрических функций.

Формулы половинного угла

sin^2{\alpha\over{2}} = {1 - cos\alpha\over{2}}

cos^2{\alpha\over{2}} = {1 + cos\alpha\over{2}}

tg^2{\alpha\over{2}} = {1 - cos\alpha\over{1 + co\alpha}}

ctg^2{\alpha\over{2}} = {1 + cos\alpha\over{1 - cos\alpha}}

Первые две формулы (синус и косинус) справедливы любому углу \alpha. Третья формула (тангенс) предназначается для любых углов \alpha, при которых определён {tg}{\alpha\over{2}}. И четвёртая, формула котангенса половинного угла справедлива для всех углов альфа, но при которых определён котангенс половинного угла (\alpha\neq{2\pi * z})

Формулы понижения степени

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость

Формулы понижения степени – это такие тригонометрические формулы, которые позволяют перейти от степеней тригонометрических функций к функциям первой степени. Однако от кратного аргумента.

Формулы понижения степени

{sin^2\alpha} = {1 - cos2\alpha\over{2}}

{cos^2\alpha} = {1 + cos2\alpha\over{2}}

{sin^3\alpha} = {3 *  sin\alpha - sin3\alpha\over{4}}

{cos^3\alpha} = {3 *  cos\alpha + cos3\alpha\over{4}}

{sin^4\alpha} = {3 - 4 *  cos2\alpha + cos4\alpha\over{8}}

{cos^4\alpha} = {3 + 4 *  cos2\alpha + cos4\alpha\over{8}}

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Благодаря формулам суммы и разности можно легко упрощать тригонометрические выражения. Кроме того, они часто используются при решении тригонометрических уравнений. Рассмотрим формулы суммы и разности.

Формулы суммы и разности

{sin\alpha + sin\beta} = {2 * sin{\alpha + \beta\over{2}} * cos {\alpha - \beta\over{2}}

{sin\alpha - sin\beta} = {2 * sin{\alpha - \beta\over{2}} * cos {\alpha + \beta\over{2}}

{cos\alpha + cos\beta} = {2 * cos{\alpha + \beta\over{2}} * cos {\alpha - \beta\over{2}}

{cos\alpha - cos\beta} = {-2 * sin{\alpha + \beta\over{2}} * sin {\alpha - \beta\over{2}} или

{cos\alpha - cos\beta} = {2 * sin{\alpha + \beta\over{2}} * sin {\beta - \alpha\over{2}}

Формулы произведения косинусов, синусов и синуса на косинуса

При помощи этих формул можно перейти от произведения тригонометрических функций к разности или сумме.

Формулы произведения

{sin\alpha * sin\beta} = {1\over{2}} * (cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))

{cos\alpha * cos\beta} = {1\over{2}} * (cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta))

{sin\alpha * cos\beta} = {1\over{2}} * (sin(\alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta))

Все формулы, которые переходят от произведения к сумме или разности осуществляется при помощи вышеописанных формул произведения косинусов, синусов и синус на косинус.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Основные тригонометрические формулы завершаются такими формулами, которые выражают функции тригонометрии через тангенс половинного угла.Такая замена называется – универсальная тригонометрическая подстановка. Она очень удобно тем, что любая тригонометрическая функция выражается рационально через тангенс половинного угла без корней.

Универсальная тригонометрическая подстановка

{sin\alpha} ={{2 * tg{\alpha\over{2}}}\over{1 + tg^2{\alpha\over{2}}}}

{cos\alpha} ={{1 - tg^2{\alpha\over{2}}}\over{1 + tg^2{\alpha\over{2}}}}

{tg\alpha} ={{2 * tg{\alpha\over{2}}}\over{1 - tg^2{\alpha\over{2}}}}

{ctg\alpha} ={{1 - tg^2{\alpha\over{2}}}\over{2 * tg{\alpha\over{2}}}}

Эти формулы выражаются через тангенс половинного угла.

Итак, мы написали самые простые и самые основные формулы, которые необходимо знать каждому учащемуся. Ведь именно при их помощи изучается тригонометрия. Кроме того, многие формулы необходимо знать для более эффективной подготовки к ЕГЭ.

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

3023

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *