Угол между векторами

Угол между векторами a и b – это тот угол, который находится между лучами и может получаться от 0 до 180 градусов. Как правило, угол находится при помощи скалярного произведения векторов или благодаря теореме косинуса для треугольника.

Угол между векторами

Рассмотрим, как получается угол между векторами. Пусть заданы ненулевые векторы $\overline{a}$ и $\overline{b}$ . Соединим эти векторы с общей точкой $O$ и в направлениях векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ проведём с точки $O$ лучи (см. рис. 1)

Рис. 1 - Графическое изображение - угол между векторами

Рис. 1

Определение

Наименьший из углов, который создан этими лучами называется – угол между 2 векторами $\overline{a}$ и $\overline{b}$ и обозначается так: $(\overline{a}$ ^ $\overline{b}).$

Угол между вектором $\overline{a}$ и нулевым вектором не обозначается.

Очевидно, что если $\overline{a}\uparrow\uparrow\overline{b}$ , тогда $(\overline{a}$ ^ $\overline{b})$ = $0$ . Если же $\overline{a}\uparrow\downarrow\overline{b}$ , тогда $(\overline{a},$ ^ $\overline{b})$ = $180^0$ .

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры нахождения угла между векторами

В теме разобрались и теперь осталось закрепить её при помощи нескольких примеров.

Пример 1

Найти угол между векторами $\overline{a}$ = $(7; 1)$ и $\overline{b}$ = $(5; 5).$

Решение:

Для начала нужно найти скалярное произведение векторов:

$\overline{a}$ x $\overline{b}$ = $7$ + $1$ x $5$ = $35 + 5 = 40/$

Следующий шаг – найти модуль вектора:

$|\overline{a}|$ = $\sqrt{7^2 + 1^2}$ = $\sqrt{49 + 1}$ = $\sqrt{50}$ = $5\sqrt{2}$

$|\overline{b}|$ = $\sqrt{5^2 + 5^2}$ = $\sqrt{25 + 25}$ = $\sqrt{50}$ = $5\sqrt{2}$

Теперь находим угол между векторами:

$cos\alpha$ = ${\overline{a} * \overline{b}}\over{\overline{|a|} * \overline{|b|}}$ = $40\over{5\sqrt{2} * {5\sqrt{2}}$ = $40\over50$ = $4\over5$ = $0.8$

Пример 2

Найти угол между векторами $\overline{a} = (3; 4; 0)$ и $\overline{b} = (4; 4; 2).$

Решение:

Находим модели векторов:

$\overline{a} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt25 = 5$

$\overline{b} = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$

Находим угол между векторами:

$cos\alpha$ = ${\overline{a} * \overline{b}}\over{\overline{|a|} * \overline{|b|}}$ = $28\over{5 * 6}$ = $14\over{15}$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Филипп Х.

Редактор.

Копирайтер, коммерческий автор, писатель, сценарист и автор-универсал в широком смысле.

Добавить комментарий Отменить ответ

Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная
АЛЕКСЕЙ РЫБАКОВ на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаДавно в интернете задаю вопрос и не получаю ответа : Учёные бьются над созданием роботов копирующих людей . (проблемы ,
Торгын на Язык газеты: особенности и стиль в сравнении с другими СМИСпасибо, очень полезная статья, спасибо автору.
валентин на Свойства пространства и времени: открываем тайны физической реальностиСкорость света это скорость течения времени и в каждой точке пространства разная. Градиент сжатия пространства по вертикали определяет скорость течения