Угол между векторами

Угол между векторами a и b – это тот угол, который находится между лучами и может получаться от 0 до 180 градусов. Как правило, угол находится при помощи скалярного произведения векторов или благодаря теореме косинуса для треугольника.

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Рассмотрим, как получается угол между векторами. Пусть заданы ненулевые векторы $\overline{a}$ и $\overline{b}$ . Соединим эти векторы с общей точкой $O$ и в направлениях векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ проведём с точки $O$ лучи (см. рис. 1)

Рис. 1 - Графическое изображение - угол между векторами

Рис. 1

Определение

Наименьший из углов, который создан этими лучами называется – угол между 2 векторами $\overline{a}$ и $\overline{b}$ и обозначается так: $(\overline{a}$ ^ $\overline{b}).$

Угол между вектором $\overline{a}$ и нулевым вектором не обозначается.

Очевидно, что если $\overline{a}\uparrow\uparrow\overline{b}$ , тогда $(\overline{a}$ ^ $\overline{b})$ = $0$ . Если же $\overline{a}\uparrow\downarrow\overline{b}$ , тогда $(\overline{a},$ ^ $\overline{b})$ = $180^0$ .

Примеры нахождения угла между векторами

В теме разобрались и теперь осталось закрепить её при помощи нескольких примеров.

Пример 1

Найти угол между векторами $\overline{a}$ = $(7; 1)$ и $\overline{b}$ = $(5; 5).$

Решение:

Для начала нужно найти скалярное произведение векторов:

$\overline{a}$ x $\overline{b}$ = $7$ + $1$ x $5$ = $35 + 5 = 40/$

Следующий шаг – найти модуль вектора:

$|\overline{a}|$ = $\sqrt{7^2 + 1^2}$ = $\sqrt{49 + 1}$ = $\sqrt{50}$ = $5\sqrt{2}$

$|\overline{b}|$ = $\sqrt{5^2 + 5^2}$ = $\sqrt{25 + 25}$ = $\sqrt{50}$ = $5\sqrt{2}$

Теперь находим угол между векторами:

$cos\alpha$ = ${\overline{a} * \overline{b}}\over{\overline{|a|} * \overline{|b|}}$ = $40\over{5\sqrt{2} * {5\sqrt{2}}$ = $40\over50$ = $4\over5$ = $0.8$