О чем статья
Уравнение плоскости через точку и нормальный вектор. Общее уравнение плоскости
Рассмотрим уравнение плоскости через точку на примере, так как будет более понятно, чем определения и термины.
Пусть в пространстве задана точка $M_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ и ненулевой вектор $\overline{n} = (A, B, C)$. Через точку $M_{1}$ можно провести единственную плоскость $P$ перпендикулярно вектору $\overline{n}$. Чтобы получить уравнение плоскости, выберем на ней произвольную точку $M (x, y, z)$ и рассмотрим вектор $\overline{M_{1}M} = (x – x_{1}, y – y_{1}, z – z_{1})$ (см. рис. 1)
Рис. 1
Точка $M\in{P}$ тогда и только тогда, когда
$\overline{M_{1}M}\perp\overline{n}\to\overline{M_{1}M} * \overline{n}$ = $0\to$
${A(x – x_{1}) + B(y – y_{1}) + C(z – z_{1}) = 0$
(1)
– уравнение плоскости, которая проходит через данную точку с нормальным вектором.
Открыв скобки в (1) у нас получается:
$Ax + By + Cz + D = 0$
(2}
– это общее уравнение плоскости, где обозначено: $\overline{D} = -Ax_{1} – By_{1} – Cz_{1}$.
Значит, плоскости $P$ отвечает линейное уравнение (2). Наоборот, если задано линейное уравнение вида (2), тогда нетрудно найти точку $M_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})$, координаты которой удовлетворяют это уравнение, и записать вектор $\overline{n} = (A, B, C).$ Вектор $\overline{n}$ и точка определяют плоскость $P$.
Исследование общего уравнения плоскостей
Рассматриваются частные случаи размещения плоскостей:
$Ax + By + Cz + D = 0$
когда некоторые из чисел $A, B, C, D$ равняются нулю.
1. Если $D = 0$, тогда уравнение выглядит так: $Ax + By + Cz = 0$, плоскость проходит через начало координат $O(0, 0, 0)$ перпендикулярно вектору $\overline{n} = (A, B, C)$.
2. Если $A = 0$, тогда у нас получается уравнение $By + Cz + D = 0$, вектор $\overline{n} = (0, B, C)$ принадлежит плоскости $YOZ$. Так как плоскость $P\perp{YOZ}$, или же $P||OX$ (см. рис. 2). Уравнения плоскости $By + Cz + D = 0$ – это уравнение следа в плоскости $YOZ$.
Рис. 2
3. Если же $A = D = 0$, тогда плоскость $By + Cz = 0$ проходит через ось $OX$.
4. Если же $B = 0$, тогда уравнение плоскости выглядит так: $Ax + Cz + D = 0$, $\overline{n} = (A, O, C)$ принадлежит плоскости $XOZ$. Плоскость $P\perp\overline{n}\to P\perp XOZ\Longleftrightarrow{P}||OY$(см. рис. 3)
Рис. 3
5. Если же $B = D = 0$, тогда плоскость $Ax + Cz = 0$ проходит через всю ось $OY$.
6. Если $C = 0$, тогда получается уравнение $Ax + By + D = 0$, $ \overline{n} = (A, B, C)\in{XOY}\toP\perp{XOY}$, или $P||{OZ}$.
7. Если же $C = D = 0$, тогда плоскость $Ax + By = 0$ проходит через ось $OZ$.
Вывод:
На основании 2, 4 и 6 получается, что плоскость параллельна той координатной оси, переменная которой в уравнении отсутствует.
8. $A = B = 0$, плоскость $Cz + D = 0\to{z} = -{D\over{C}}$, либо же $z = c$, где $c = -{D\over{C}}$. Вектор $\overline{n}$ = $(0, 0, C)$ направленный вдоль оси $OZ$, поэтому плоскость перпендикулярна к оси $OZ$ в точке $(0, 0, c)$
В частности, если $C = 0$, тогда $Z = 0$ – уравнение координатной плоскости $XOY$.
9. Если $A = C = 0$, тогда у нас есть плоскость $By + D = 0$, либо $y = b$, где $b = -{D\over{B}}$. Вектор $\overline{n} = (0, B, 0)$ направляющий вдоль оси $OY$. Плоскость перпендикулярна оси $OY$ в точке $(0, b, 0)$.
В частности, если $b = 0$, тогда $y = 0$ – уравнение координатной плоскости $XOZ$.
10. На конец, если $B = C = 0$, тогда $Ax + D = 0\to{x = a$, где $a = -{D\over{A}}, P\perp{OX}$
При $a = 0$ получается $x = 0$ – уравнение координатной плоскости $YOZ$.
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Уравнение плоскости в отрезках
Прежде чем записывать уравнение плоскости в отрезках, вспомним общее уравнение:
$Ax + By + Cz + D = 0$
если ни одно из чисел $A, B, C, D$ не равняется нулю, тогда плоскость можно построить за тремя точками пересечения её с координатными осями:
$M_{1}(a, 0, 0)$, $M_{2}(0, b, 0)$, $M_{3}(0, 0, c)$, где $a = -{D\over{A}}$, $b = -{D\over{B}}$, $c = -{D\over{C}}$ – отрезки, которые отсекают плоскость на координатных осях (см. рис. 4)
Рис. 4
Уравнение плоскости в отрезках запишется:
${x\over{a}} + {y\over{b}} + {z\over{c}} = l$
(3)
$AX + By + D = 0$
Аналогично и до остальных следов.
Уравнение плоскости проходящей через три точки
Пусть заданы три точки $M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1}), M_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2}), M_{3}(x_{3}, y_{3}, z_{3})$, которые не лежат на одной линии. Произвольная точка $M(x, y, z)$ отлична от $M_{1}, M_{2}, M_{3}$, будет находиться в плоскости точек $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ тогда, и только тогда, когда векторы $\overline{M_{1}M}$ = $(x – x_{1}, y – y_{1}, z – z_{1})$, $\overline{M_{1}M_{2}} = (x_{2} – x_{1}, y_{2} – y_{1}, z_{2} – z_{1}), \overline{M_{1}M_{3}} = (x_{3} – x_{1}, y_{3} – y_{1}, z_{3} – z_{1})$
компланарные, то есть их смешанное произведение $(\overline{M_{1}M}$ x $\overline{M_{1}M_{2}})\overline{M_{1}M_{3}} = 0$
В координатной форме запишется:
$\begin{vmatrix}
x – x_{1}&y – y_{1}&z – z_{1}\\
x_{2} – x_{1}&y_{2} – y_{1}&z_{2} – z_{1}\\
x_{3} – x_{1}&y_{3} – y_{1}&z_{3} – z_{1}
\end{vmatrix} = 0
\right$
(4)
– уравнение плоскости проходящее через три точки.
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
Если для однозначности угол между двумя плоскостями называть один из меньших двугранных углов между ними, а соответственно к этому самый маленький из углов назовём углом между двумя векторами, тогда между двумя плоскостями есть угол между их нормальными векторами.
Рис. 5
$cos\theta$ = ${\overline{n_{1}}}{\overline{n_{2}}}\over{\overline{|n_1|}\overline{|n_{2|}}$ = $A_{1}A_{2} + B_{1}B_{2} + C_{1}C_{2}\over{\sqrt{A_{1}^2 + B_{1}^2 + C_{1}^2} * \sqrt{A_{2}^2 + B_{2}^2 + C_{2}^2}$,
(5)
где $\overline{n_{1}}(A_{1}, B_{1}, C_{1}})$, $\overline{{n_2}}(A_{2}, B_{2}, C_{2})$ – нормальные векторы плоскости
$A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D = 0$ – $(P_{1})$,
$A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0$ – $P_{2}$.
Если $P_{1}\perp{P_{2}}$, тогда $\theta = 90^0, cos\theta$ = $0$
И тогда:
$A_{1}A_{2} + B_{1}B_{2} + C_{1}C_{2} = 0$
(6)
– условие перпендикулярности двух плоскостей.
Когда же $P_{1}||{P_{2}}$, тогда получим:
$A_{1}\over{A_{2}}$ = $B_{1}\over{B_{2}}$ = $C_{1}\over{C_{2}}$
(7)
– условие параллельности двух плоскостей.
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости рассмотрим при помощи примера, формул и рисунка.
Расстояние $d$ от точки $M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ до плоскости $P: Ax + By + Cz + D = 0$, выражается формулой:
$d$ = $|Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D|\over{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
(8)
Действительно, на рисунке 6:
Рис. 6
видим, что для произвольной точки $M(x, y, z)\in{P}$
$d$ = $|{pr_\overline{n}}{\overline{MM_{0}}}$ = $|\overline{n} * \overline{MM_{0}}|\over{\overline{n}}$,
где $\overline{MM_{0}} = (x_{0} – x, y_{0} – y, z_{0} – z)$, $\overline{n} = (A, B, C)$.
Так как $\overline{n} * \overline{MM_{0}}$ = $A(x_{0} – x) + B(y_{0} – y) + C{z_{0} – z)$ = $Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + (-Ax – By – Cz)$ = $Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D$,
потому что $Ax + By + Cz + D = 0\to{D} = – Ax – By – Cz$, а $\overline{|n|} = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$, тогда формула (5) доказана.
Примеры задач по уравнению плоскости
Чтобы ещё лучше понять вышеописанную тему, необходимо решить много задач. Поэтому предлагаем вам ознакомиться с примерами и их решениями.
Составление уравнения плоскости
Задача
Даны точки $M(-4, 6, -6)$ и $N(-9, 2, -5)$. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку $M$ и перпендикулярна к вектору $\overline{n} = \overline{MN}$.
Решение
По условию вектор $\overline{n} = \overline{MN}$ – это нормальный вектор плоскости. Найдём его координаты.
$\overline{n}$ = $(-9 – (-4), 2 – 6, -5 – (-6)) = (-5, -4, 1)$.
Подставляя в уравнение (1) $A = -5, B = -4, C = 1$, а также $x_{1} = -4, y_{1} = 6, z = -6$
У нас получается:
$-5 (x + 4) – 4(y – 6) + (z + 6) = 0\to{-5x – 4y + z – 10 + 24 + 6 = 0}\to {-5x – 4y + z + 10 = 0$
Составление уравнения в отрезках
Задача
Построить плоскость $4x – 2y + 3z – 12 = 0$ и записать её уравнение в отрезках, а также уравнение следов на соответствующих координатных плоскостях.
Решение:
Положим $y = z = 0$, тогда $4x – 12 = 0\to{x = {12\over{4}}} = 3 = a$. Аналогично при $x =z = 0$ находим ${y} = {12\over{-2}} = -6 = b$, при $x = y = 0$, ${z} = {12\over{3}} = 4 = c$, тогда уравнение в отрезках запишется:
${x\over{3}} + {y\over{-6}}+ {z\over{4}} = {1}$ (рис. 7)
Рис. 7
Уравнение следов:
$4x – 2y -12 = 0, 4x + 3z – 12 = 0, -2y + 3z – 12 = 0$
Уравнение плоскости через три точки
Задача
Составить уравнение и построить плоскость, которая проходит через точки $M_{1}(2, 1, 0), M_{2}(0, 1, 2), M_{3}(1, 3, 1)$
Решение
По формуле (4)
$\begin{vmatrix}
x-2&y – 1&z – 0\\
0 – 2&1 – 1&2 – 0\\
1 – 2&3 – 1&1 – 0
\end{vmatrix} = 0 \to{-4(x – 2) – 0(y – 1) – 4z}= 0\to{x + z – 2 = 0
\right$
Плоскость параллельна $OY$(рис. 8)
Рис. 8
Вычисление угла между плоскостями
Задача
Найти угол между плоскостями $2x + 4y – 4z – 6 = 0$ и $4x + 3y + 9 = 0$
Решение
Подставим в формулу вычисления угла между плоскостями соответствующие коэффициенты:
$cos\alpha$ = $|2 * 4 + 4 * 3 + (-4) * 0|\over{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2}} * \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2$ = $|8 + 12|\over\sqrt{36} * \sqrt{25}$ = $20\over30$ = $2\over{3}$
Вы заметили, что в этом примере мы воспользовались исключительно одной формулой? В нашем случае – (5) формула. Никаких других формул мы не использовали и смогли найти угол между двумя плоскостями.