Уравнение плоскости – общее, через точку, в отрезках. Угол между двумя плоскостями и расстояние от точки до плоскости

При построении плоскости в пространстве можно использовать аналогии для прямой линии на плоскости. Также можно утверждать, что между множеством всех плоскостей пространства и множеством линейных уравнений относительно трёх переменных x, y, z однозначно существует соответствие. Об этом и поговорим.

Елена
0 4289
Помощь в написании работы

Уравнение плоскости через точку и нормальный вектор. Общее уравнение плоскости

Рассмотрим уравнение плоскости через точку на примере, так как будет более понятно, чем определения и термины.

Пусть в пространстве задана точка M_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}) и ненулевой вектор \overline{n} = (A, B, C). Через точку M_{1} можно провести единственную плоскость P перпендикулярно вектору \overline{n}. Чтобы получить уравнение плоскости, выберем на ней произвольную точку M (x, y, z) и рассмотрим вектор  \overline{M_{1}M} = (x - x_{1}, y - y_{1}, z - z_{1}) (см. рис. 1)

Графическое изображение - плоскость в пространстве

Рис. 1

Определение

Точка M\in{P} тогда и только тогда, когда

\overline{M_{1}M}\perp\overline{n}\to\overline{M_{1}M} * \overline{n} = 0\to

{A(x - x_{1}) + B(y - y_{1}) + C(z - z_{1}) = 0

(1)

уравнение плоскости, которая проходит через данную точку с нормальным вектором.

Открыв скобки в (1) у нас получается:

Ax + By + Cz + D = 0

(2}

– это общее уравнение плоскости, где обозначено: \overline{D} = -Ax_{1} - By_{1} - Cz_{1}.

Значит, плоскости P отвечает линейное уравнение (2). Наоборот, если задано линейное уравнение вида (2), тогда нетрудно найти точку  M_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}), координаты которой удовлетворяют это уравнение, и записать вектор \overline{n} = (A, B, C). Вектор \overline{n} и точка определяют плоскость P.

Исследование общего уравнения плоскостей

Рассматриваются частные случаи размещения плоскостей:

Ax + By + Cz + D = 0

когда некоторые из чисел A, B, C, D равняются нулю.

1. Если D = 0, тогда уравнение выглядит так: Ax + By + Cz = 0, плоскость проходит через начало координат O(0, 0, 0) перпендикулярно вектору \overline{n} = (A, B, C).

2. Если A = 0, тогда у нас получается уравнение By + Cz + D = 0, вектор \overline{n} = (0, B, C) принадлежит плоскости YOZ. Так как плоскость P\perp{YOZ}, или же P||OX (см. рис. 2). Уравнения плоскости By + Cz + D = 0 – это уравнение следа в плоскости YOZ.

Общее уравнение плоскости

Рис. 2

3. Если же A = D = 0, тогда плоскость By + Cz = 0 проходит через ось OX.

4. Если же B = 0, тогда уравнение плоскости выглядит так: Ax + Cz + D = 0, \overline{n} = (A, O, C) принадлежит плоскости XOZ. Плоскость P\perp\overline{n}\to P\perp XOZ\Longleftrightarrow{P}||OY(см. рис. 3)

Уравнение плоскости

Рис. 3

5. Если же B = D = 0, тогда плоскость Ax + Cz = 0 проходит через всю ось OY.

6. Если C = 0, тогда получается уравнение Ax + By + D = 0,  \overline{n} = (A, B, C)\in{XOY}\toP\perp{XOY}, или P||{OZ}.

7. Если же C = D = 0, тогда плоскость Ax + By = 0 проходит через ось OZ.

Вывод:

На основании 2, 4 и 6 получается, что плоскость параллельна той координатной оси, переменная которой в уравнении отсутствует.

8. A = B = 0, плоскость Cz + D = 0\to{z} = -{D\over{C}}, либо же z = c, где c = -{D\over{C}}. Вектор \overline{n} = (0, 0, C) направленный вдоль оси OZ, поэтому плоскость перпендикулярна к оси OZ в точке (0, 0, c)

В частности, если C = 0, тогда Z = 0 – уравнение координатной плоскости XOY.

9. Если A = C = 0, тогда у нас есть плоскость By + D = 0, либо y = b, где b = -{D\over{B}}. Вектор \overline{n} = (0, B, 0) направляющий вдоль оси OY. Плоскость перпендикулярна оси OY в точке (0, b, 0).

В частности, если b = 0, тогда y = 0 – уравнение координатной плоскости XOZ.

10. На конец, если B = C = 0, тогда Ax + D = 0\to{x = a, где a = -{D\over{A}}, P\perp{OX}

При a = 0 получается x = 0 – уравнение координатной плоскости YOZ.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Уравнение плоскости в отрезках

Прежде чем записывать уравнение плоскости в отрезках, вспомним общее уравнение:

Ax + By + Cz + D = 0

если ни одно из чисел A, B, C, D  не равняется нулю, тогда плоскость можно построить за тремя точками пересечения её с координатными осями:

M_{1}(a, 0, 0), M_{2}(0, b, 0), M_{3}(0, 0, c), где a = -{D\over{A}}, b = -{D\over{B}}, c = -{D\over{C}} – отрезки, которые отсекают плоскость на координатных осях (см. рис. 4)

Графическое изображение - уравнение плоскости в отрезках

Рис. 4

Уравнение плоскости в отрезках запишется:

{x\over{a}} + {y\over{b}} + {z\over{c}} = l

(3)

Определение
Прямые M_{1}M_{2}, M_{2}M_{3}, M_{1}M_{3} называются следами данной плоскости на координатных плоскостях XOY, YOZ, XOZ – соответственно. Их уравнения можно получить из общего, если в последнем приравнять  к нулю соответствующую переменную.
Так, например, если z = 0 плоскость (XOY), тогда в этой плоскости уравнения следа M_{1}M_{2} запишется:

AX + By + D = 0

Аналогично и до остальных следов.

Уравнение плоскости проходящей через три точки

Пусть заданы три точки M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1}), M_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2}), M_{3}(x_{3}, y_{3}, z_{3}), которые не лежат на одной линии. Произвольная точка M(x, y, z) отлична от M_{1}, M_{2}, M_{3}, будет находиться в плоскости точек  M_{1}, M_{2}, M_{3} тогда, и только тогда, когда векторы \overline{M_{1}M} = (x - x_{1}, y - y_{1}, z - z_{1})\overline{M_{1}M_{2}} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1}), \overline{M_{1}M_{3}} = (x_{3} - x_{1}, y_{3} - y_{1}, z_{3} - z_{1})

компланарные, то есть их смешанное произведение (\overline{M_{1}M} x \overline{M_{1}M_{2}})\overline{M_{1}M_{3}} = 0

В координатной форме запишется:

\begin{vmatrix} x - x_{1}&y - y_{1}&z - z_{1}\\ x_{2} - x_{1}&y_{2} - y_{1}&z_{2} - z_{1}\\ x_{3} - x_{1}&y_{3} - y_{1}&z_{3} - z_{1} \end{vmatrix} = 0 \right

(4)

– уравнение плоскости проходящее через три точки.

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Если для однозначности угол между двумя плоскостями называть  один из меньших двугранных углов между ними, а соответственно к этому самый маленький из углов назовём углом между двумя векторами, тогда между двумя плоскостями есть угол между их нормальными векторами.

Угол между двумя плоскостями

Рис. 5

cos\theta = {\overline{n_{1}}}{\overline{n_{2}}}\over{\overline{|n_1|}\overline{|n_{2|}} = A_{1}A_{2} + B_{1}B_{2} + C_{1}C_{2}\over{\sqrt{A_{1}^2 + B_{1}^2 + C_{1}^2} * \sqrt{A_{2}^2 + B_{2}^2 + C_{2}^2},

(5)

где \overline{n_{1}}(A_{1}, B_{1}, C_{1}}), \overline{{n_2}}(A_{2}, B_{2}, C_{2}) – нормальные векторы плоскости

A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D = 0(P_{1}),

A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0P_{2}.

Если P_{1}\perp{P_{2}}, тогда \theta = 90^0, cos\theta = 0

 И тогда:

A_{1}A_{2} + B_{1}B_{2} + C_{1}C_{2} = 0

(6)

условие перпендикулярности двух плоскостей.

Когда же P_{1}||{P_{2}}, тогда получим:

A_{1}\over{A_{2}} = B_{1}\over{B_{2}} = C_{1}\over{C_{2}}

(7)

условие параллельности двух плоскостей.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости рассмотрим при помощи примера, формул и рисунка.

Расстояние d от точки M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) до плоскости P: Ax + By + Cz + D = 0, выражается формулой:

d = |Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D|\over{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

(8)

Действительно, на рисунке 6:

Расстояние от точки до плоскости

Рис. 6

видим, что для произвольной точки M(x, y, z)\in{P}

d = |{pr_\overline{n}}{\overline{MM_{0}}} = |\overline{n} * \overline{MM_{0}}|\over{\overline{n}},

где \overline{MM_{0}} = (x_{0} - x, y_{0} - y, z_{0} - z), \overline{n} = (A, B, C).

Так как \overline{n} * \overline{MM_{0}} = A(x_{0} - x) + B(y_{0} - y) + C{z_{0} - z) = Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + (-Ax - By - Cz) = Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D,

потому что Ax + By + Cz + D = 0\to{D} = - Ax - By - Cz, а \overline{|n|} = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}, тогда формула (5) доказана.

Примеры задач по уравнению плоскости

Чтобы ещё лучше понять вышеописанную тему, необходимо решить много задач. Поэтому предлагаем вам ознакомиться с примерами и их решениями.

Составление уравнения плоскости

Пример

Задача

Даны точки M(-4, 6, -6) и N(-9, 2, -5). Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M  и перпендикулярна к вектору \overline{n} = \overline{MN}.

Решение

По условию вектор \overline{n} = \overline{MN} – это нормальный вектор плоскости. Найдём его координаты.

\overline{n} = (-9 - (-4), 2 - 6, -5 - (-6)) = (-5, -4, 1).

Подставляя в уравнение (1) A = -5, B = -4, C = 1, а также x_{1} = -4, y_{1} = 6, z = -6

У нас получается:

-5 (x + 4) - 4(y - 6) + (z + 6) = 0\to{-5x - 4y + z - 10 + 24 + 6 = 0}\to {-5x - 4y + z + 10 = 0

Составление уравнения в отрезках

Пример

Задача

Построить плоскость 4x - 2y + 3z - 12 = 0 и записать её уравнение в отрезках, а также уравнение следов на соответствующих координатных плоскостях.

Решение:

Положим y = z = 0, тогда 4x - 12 = 0\to{x = {12\over{4}}} = 3 = a. Аналогично при x =z = 0 находим {y} = {12\over{-2}} = -6 = b, при x = y = 0, {z} = {12\over{3}} = 4 = c, тогда уравнение в отрезках запишется:

{x\over{3}} + {y\over{-6}}+ {z\over{4}} = {1} (рис. 7)

Уравнение плоскости в отрезках

Рис. 7

Уравнение следов:

4x - 2y -12 = 0, 4x + 3z - 12 = 0, -2y + 3z - 12 = 0

Уравнение плоскости через три точки

Пример

Задача

Составить уравнение и построить плоскость, которая проходит через точки M_{1}(2, 1, 0), M_{2}(0, 1, 2), M_{3}(1, 3, 1)

Решение

По формуле (4)

\begin{vmatrix} x-2&y - 1&z - 0\\ 0 - 2&1 - 1&2 - 0\\ 1 - 2&3 - 1&1 - 0 \end{vmatrix} = 0 \to{-4(x - 2) - 0(y - 1) - 4z}= 0\to{x + z - 2 = 0 \right

Плоскость параллельна OY(рис. 8)

Уравнение плоскости через три точки

Рис. 8

Вычисление угла между плоскостями

Пример

Задача

Найти угол между плоскостями 2x + 4y - 4z - 6 = 0 и 4x + 3y + 9 = 0

Решение

Подставим в формулу вычисления угла между плоскостями соответствующие коэффициенты:

cos\alpha = |2 * 4 + 4 * 3 + (-4) * 0|\over{\sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2}} * \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2 = |8 + 12|\over\sqrt{36} * \sqrt{25} = 20\over30 = 2\over{3}

Вы заметили, что в этом примере мы воспользовались исключительно одной формулой? В нашем случае – (5) формула. Никаких других формул мы не использовали и смогли найти угол между двумя плоскостями.

Автор статьи

Елена Вечоркина
Елена Вечоркина

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *