О чем статья
Что такое векторное произведение векторов
1). ,
,
– перпендикулярный плоскости векторов
и
;
2). =
x
x
^
– модуль вектора
численно равен площади плоскости параллелограмма, построенного на векторах
и
;
3).вектор направлен в ту сторону, от которого поворот от
к
на наименьший угол осуществляется против часовой стрелки.
Рис. 1
Алгебраические свойства векторного произведения
Давайте рассмотрим свойства векторного произведения.
Если – произвольные векторы, а
– произвольные число, тогда:
x
=
x
. (Векторное произведение антикоммутативно).
x
=
x
=
x
.(Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя).
x
=
x
+
x
.
x
=
||
,
,
. (Два ненулевых вектора коллинеарны только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору).
Таблица векторного умножения ортов
x
=
,
x
=
;
x
=
,
x
=
;
x
=
,
x
=
.
x
=
x
=
x
=
.
Рис. 2
Векторное произведение одноимённых ортов равняется . При самом коротком повороте от одного орта к другому против часовой стрелки получаем третий орт, а по часовой стрелке – третий орт со знаком
.
Формулы векторного произведения в координатной форме
Формулы векторного произведения в координатной форме получаем с учётом таблицы векторного произведения ортов:
x
=
x
=
x
x
x
=
x
–
x
+
x
x
=
Примеры нахождения векторного произведения
Чтобы закрепить материал, рассмотрим на примерах, как найти векторное произведение векторов.
Найти векторное произведение векторов =
и
=
. Построить в системе координат векторы
и
=
x
.
Решение:
Обратите внимание, что определитель (1) удобнее вычислять, если применить теорему про разложение за элементами первой строки:
=
x
=
=
–
+
=
Теперь построим векторы по их координатам.
Рис. 3
Из рисунка видно, что положение найденного вектора отвечает определению векторного произведения
x
.
Найти площадь треугольника , если
.
Решение:
Сначала находим векторы:
и
и их векторное произведение:
x
=
=
.
Длина полученного вектора по определению численно равняется площади параллелограмма, построенного на данных векторах и поэтому:
пар =
x
=
=
.
А площадь треугольника составляет половину найденной площади, то есть:
тр. =
пар =
x
x
,