Векторное произведение двух векторов, свойства произведения и как его найти

Елена Вечоркина 2 5577

Векторное произведение двух векторов a и b  – это  вектор, который перпендикулярен плоскости этих же обоим исходным векторам.

Что такое векторное произведение векторов

Определение
Векторное произведение векторов \overline{a} и \overline{b} называется вектор \overline{c} = \overline{a} x \overline{b}, который удовлетворяет условия:

1). \overline{c}\perp\overline{a}, \overline{c}\perp\overline{b}, \overline{c} – перпендикулярный плоскости векторов \overline{a} и \overline{b};

2).\overline{|c|} = \overline{|a|} x \overline{|b|} x sin(\overline{a}^\overline{b}) – модуль вектора \overline{c} численно равен площади плоскости параллелограмма, построенного на векторах \overline{a} и \overline{b};

3).вектор \overline{c} направлен в ту сторону, от которого поворот от \overline{a} к \overline{b} на наименьший угол осуществляется против часовой стрелки.

Изображение векторного произведения

Рис. 1

Алгебраические свойства векторного произведения

Давайте рассмотрим свойства векторного произведения.

Если   \overline{a}, \overline{b}, \overline{c} – произвольные векторы, а \lambda – произвольные число, тогда:

  1. \overline{a} x \overline{b} = -\overline{b} x \overline{a}. (Векторное произведение антикоммутативно).
  2. (\lambda\overline{a}) x \overline{b} = \overline{a} x (\lambda\overline{b}) = \lambda(\overline{a} x \overline{b}).(Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя).
  3. (\overline{a} + \overline{b}) x \overline{c} = \overline{a} x \overline{c} + \overline{b} x \overline{c}.
  4. \overline{a} x \overline{b} = 0 \Longleftrightarrow(\overline{a}||\overline{b}), \overline{a}\neq{0}, \overline{b}\neq{0}. (Два ненулевых вектора коллинеарны только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору).

Таблица векторного умножения ортов

\overline{i} x \overline{j} = \overline{k}, \overline{j} x \overline{i} = -\overline{k};

\overline{j} x \overline{k} = \overline{i}, \overline{k} x \overline{j} = -\overline{i};

\overline{k} x \overline{i} = \overline{j}, \overline{i} x \overline{k} = -\overline{j}.

\overline{i} x \overline{i} = \overline{j} x \overline{j} = \overline{k} x \overline{k} = \overline{0}.

Векторное произведение ортов.

Рис. 2

Векторное произведение одноимённых ортов равняется \overline{0}. При самом коротком повороте от одного орта к другому против часовой стрелки получаем третий орт, а по часовой стрелке – третий орт со знаком ``-``.

Формулы векторного произведения в координатной форме

Формулы векторного произведения в координатной форме получаем с учётом таблицы векторного произведения ортов:

\overline{a} x \overline{b} = (x_{1}\overline{i} + y_{1}\overline{j} + z_{1}\overline{k}) x (x_{2}\overline{i} + y_{2}\overline{j} + z_{2}\overline{k}) = (y_{1}z_{2} - y_{2}z_{1}) x \overline{i} - (x_{1}z_{2} - x_{2}z_{1}) x \overline{j} + (x_{1}y_{2} - x_2y_1) x \overline{k} =

\begin{vmatrix} y_{1}&z_{1}\\ y_{2}&z_{2} \end{vmatrix} x \overline{i}\begin{vmatrix} x_{1}&z_{1}\\ x_{2}&z_{2}\end{vmatrix} x \overline{j} + \begin{vmatrix} x_{1}&y_{1}\\ x_{2}&y_{2} \end{vmatrix} x \overline{k}\Longleftrightarrow\overline{a} x \overline{b} = \begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2} \end{vmatrix} \right

Примеры нахождения векторного произведения

Чтобы закрепить материал, рассмотрим на примерах, как найти векторное произведение векторов.

Пример 1

Найти векторное произведение векторов \overline{a} = (1, 3, -1) и \overline{b} = (0, 2, 1). Построить в системе координат векторы \overline{a}, \overline{b} и \overline{c} = \overline{a} x \overline{b}.

Решение:

Обратите внимание, что определитель (1) удобнее вычислять, если применить теорему про разложение за элементами первой строки:

\overline{c} =\overline{a} x \overline{b} = \begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\  1&3&-1\\  0&2&1  \end{vmatrix} = \overline{i}\begin{vmatrix}  3&-1\\  2&1  \end{vmatrix}\overline{j}\begin{vmatrix}  1&-1\\  0&1  \end{vmatrix} + \overline{k}\begin{vmatrix}  1&3\\  0&2 \end{vmatrix} = 5\overline{i} - \overline{j} + 2\overline{k} = (5, -1, 2).

Теперь построим векторы \overline{a}, \overline{c},\overline{b} по их координатам.

Как найти векторное произведение

Рис. 3

Из рисунка видно, что положение найденного вектора \overline{c} отвечает определению векторного произведения \overline{a} x \overline{b}.

Пример 2

Найти площадь треугольника A, B, C, если A(1, 2, -1), B(2, 3, 1), C(0, 1, 4).

Решение:

Сначала находим векторы:

\overline{AB} = (1, 5, 2) и \overline{AC} = (-1, 3, 5) и их векторное произведение:

\overline{AB} x \overline{AC} = \begin{vmatrix}  \overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\  1&5&2\\  -1&3&5  \end{vmatrix} = 19\overline{i} - 7\overline{j} + 8\overline{k}.

Длина полученного вектора по определению численно равняется площади параллелограмма, построенного на данных векторах и поэтому:

Sпар = |\overline{AB} x \overline{BC}| = \sqrt{19^2 + (-7)^2 + 8^2} = \sqrt{472}\approx21,77.

А площадь треугольника A, B, C составляет половину найденной площади, то есть:

Sтр. = 1\over{2} Sпар = 1\over{2} x \sqrt{472}\approx1\over{2} x 21,77\approx10,89,

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

5577

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Комментарии

  1. “модуль вектора c численно равен плоскости параллелограмма, построенного на векторах a и b”

    Между словами “плоскости” и “параллелограмма” не хватает слова “площади”. Модуль вектора c численно равен ПЛОЩАДИ плоскости параллелограмма, построенного на векторах a и b

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *