Векторы – свойства векторов и линейные действия над векторами (сложение, вычитание, умножение)

Елена Вечоркина 0 4698

В данной статье рассмотрим, что такое вектор и какие линейные операции над вектором можно совершать. Также расскажем про свойства линейных операций над векторами и покажем, как построить вектор.

Скалярные и векторные величины

Векторные величины – величины, для характеристики которых указывается как числовое значение, так и направление в пространстве. Например, сила, скорость, ускорение, напряженность поля (магнитного, электромагнитного) и т. п.

Скалярные величины – это величины, для характеристики которых достаточно только числовое значение в соответствующих единицах измерения. Например, масса, температура, длина, площадь, объём, количества тепла и т. д.

Рис. 1 - Графическое изображение векторной величины

Рис. 1

Вектор – это геометрическое изображение векторной величины в заданном масштабе.

На рис. 1 А – начальная точка вектора, В – конец вектора. Вектор обычно обозначается стрелочками, которые ставят вверху букв, но многие люди для удобства ставят обычные чёрточки.  Иногда вектор обозначают одной буквой: \overrightarrow{a}. Расстояние от точки A к точке B называют длиной или модулем вектора, а обозначается так: \overrightarrow{AB} или |\overrightarrow{a}|.

Если начало и конец вектора совпадают, тогда такой вектор называется нулевым и обозначается \overrightarrow{0}. Направление нулевого вектора может быть произвольным.

 

Определение
Два ненулевых вектора, которые лежат на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными, а обозначаются \overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}.

Нулевой вектор считается коллинеарным производного вектора.

 

Определение
Векторы, которые параллельны одной и той же плоскости, или те, которые лежат в одной плоскости, называются компланарными.

 

Определение

Равными называются векторы, если они удовлетворяют такие условия:

1) они коллинеарны;

2) их модули равны;

3) они направлены в одну сторону, то есть:

(\overline{a} = \overrightarrow{b})\longleftrightarrow(\overrightarrow{|a|} = \overrightarrow{|b|}, \overrightarrow{a}\uparrow\uparrow\overrightarrow{b})

 Например, на рис. 2, где ABCD – параллелограмм,
Рис. 2 - действия над векторами

Рис. 2

где векторы \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.

Если \overrightarrow{|a|} = \overrightarrow{|b|}, \overrightarrow{a}\uparrow\downarrow\overrightarrow{b}, тогда векторы \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} – противоположные.

Вектор противоположный вектору \overrightarrow{a} обозначают \overrightarrow {-a}. Вектор \overrightarrow{AB} противоположен вектору \overrightarrow{BA} и записывается \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BA}

 

Определение

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить в пространстве параллельно самому себе, такие векторы называются свободными.

Вектор, модуль которого равен единице называется единичным, или ортом, и обозначается a^0:

\overrightarrow{|a^0|} = 1, \overrightarrow{a^0}\uparrow\uparrow\overrightarrow{a}

Линейные операции над векторами: сложение векторов, вычитание и умножение

Линейные операции над векторами или ещё говорят действия над векторами – это сложение векторов, вычитание и умножение вектора на число (скаляр).

Сложение векторов

Пусть заданы два вектора \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b}. Отложим с некоторой точки M вектор \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{a}, а тогда из точки N отложим вектор \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{b} и рассмотрим вектор \overrightarrow{c} = \overrightarrow{MP}.

Рис. 3 - действия над векторами

Рис. 3

Определение
Сумма двух векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} называется вектор \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}, начало которого  находится в начале вектора \overrightarrow{a}, а окончание в конце вектора \overrightarrow{b} при условии, что начало \overrightarrow{b} находится в конце \overrightarrow{a}.

Согласно рис. 3 вектор \overrightarrow{c} = \overrightarrow{MP} и замыкает ломаную MNP, направление вектора \overrightarrow{c} берётся в конец последнего слагаемого \overrightarrow{b}.

По принципу замыкания находится сумма большего числа слагаемых.

Рис. 4 - векторы

Рис. 4

\overrightarrow{e} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{y} + \overrightarrow{l} + \overrightarrow{c}

Вычитание векторов

Рис. 5 - вычитание

Рис. 5

Посмотрите на рис. 5. Мы поместили начало векторов \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} в одну точку O, и построили замыкающий вектор \overrightarrow{c} = \overrightarrow{BA}.

Определение
Разница двух векторов – это \overrightarrow{a} и\overrightarrow{b}, которые выходят  с одной точки, называются замыкающим вектором \overrightarrow{c} (обозначается \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}), направление которого выбирается в сторону уменьшаемого.

Умножение вектора на число

Определение
Произведением ненулевого вектора \overrightarrow{a} на число \lambda называется вектор \overrightarrow{b} и обозначается (\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}), коллинеарный  вектору \overrightarrow{a}, модуль которого \overrightarrow{|b|} = |\lambda|\overrightarrow{|a|}.

Направление вектора \overrightarrow{b} совпадает с направлением вектора \overrightarrow{a}, если \lambda > 0, и противоположному направлению вектора \overrightarrow{a}, если \lambda < 0.

При \lambda = 0, или \overrightarrow{a} = \overrightarrow0 считается, что \lambda \overrightarrow{a} – нулевой вектор.

Рис. 6 - графическое изображение векторов

Рис. 6

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Свойства векторов

Мы рассмотрели линейные операции над векторами и теперь можно рассмотреть свойства векторов, без которых невозможно решить многие задачи.

1). \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}

Рис. 7 - сложение векторов

Рис. 7

Свойство 1 называется переставным или коммутативным, понятно с рис. 7, что разрешается прибавлять векторы по правилу параллелограмма.

2). (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) – ассоциативное  или соединительное свойство (см. рис. 8).

Рис. 8 - сложение векторов

Рис. 8

3). \overrightarrow{a}  + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{a}.

4). \overrightarrow{a} + \overrightarrow{- a} = \overrightarrow{0}.

5). 1 x \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}.

6). \alpha(\beta\overrightarrow{a}) = (\alpha\beta)\overrightarrow{a}.

7). (\alpha + \beta) x \overrightarrow{a} = \alfa\overrightarrow{a} + \beta\overrightarrow{a}.

8). \alpha(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \alpha\overrightarrow{a} + \alpha\overrightarrow{b}.

Свойства 3 – 8 вы уже сможете проверить самостоятельно.

Примеры

Пример 1

За данными вектора \overrightarrow{a} и \overrightarrow{b} построить векторы:

а) \overrightarrow{c} = 2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b},

б) \overrightarrow{c} = 2 \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}.

Решение покажем на рисунке:

Первый рисунок решения a:

Рисунок - решение примера

Второй рисунок решения б:

Графическое изображение - пример

Пример 2

В треугольнике ABC проведена медиана AM (см. на рис. ниже). Выразить вектор \overrightarrow{AM} через векторы \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} и \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}.

Графическое изображение вектора

Решение:

Согласно определению о разнице векторов – \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}, тогда  \overrightarrow{BM} = {1}\over{2} \overrightarrow{BC} = {1}\over{2} (\overrightarrow{c}\overrightarrow{b}).

Согласно определению суммы векторов с \delta ABM у нас получается:

\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = b + {1}\over{2} x (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}) = {1}\over{2} x (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}).

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

4698

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *