О чем статья
Скалярные и векторные величины
Векторные величины – величины, для характеристики которых указывается как числовое значение, так и направление в пространстве. Например, сила, скорость, ускорение, напряженность поля (магнитного, электромагнитного) и т. п.
Скалярные величины – это величины, для характеристики которых достаточно только числовое значение в соответствующих единицах измерения. Например, масса, температура, длина, площадь, объём, количества тепла и т. д.
Рис. 1
Вектор – это геометрическое изображение векторной величины в заданном масштабе.
На рис. 1 А – начальная точка вектора, В – конец вектора. Вектор обычно обозначается стрелочками, которые ставят вверху букв, но многие люди для удобства ставят обычные чёрточки. Иногда вектор обозначают одной буквой: . Расстояние от точки к точке называют длиной или модулем вектора, а обозначается так: или
Если начало и конец вектора совпадают, тогда такой вектор называется нулевым и обозначается Направление нулевого вектора может быть произвольным.
Нулевой вектор считается коллинеарным производного вектора.
Например, на рис. 2, где ABCD – параллелограмм,
Рис. 2
где векторы = , = .
Если = , , тогда векторы и – противоположные.
Вектор противоположный вектору обозначают . Вектор противоположен вектору и записывается =
Вектор, модуль которого равен единице называется единичным, или ортом, и обозначается :
= ,
Линейные операции над векторами: сложение векторов, вычитание и умножение
Линейные операции над векторами или ещё говорят действия над векторами – это сложение векторов, вычитание и умножение вектора на число (скаляр).
Сложение векторов
Пусть заданы два вектора и . Отложим с некоторой точки вектор = , а тогда из точки отложим вектор = и рассмотрим вектор = .
Рис. 3
Согласно рис. 3 вектор = и замыкает ломаную MNP, направление вектора берётся в конец последнего слагаемого .
По принципу замыкания находится сумма большего числа слагаемых.
Рис. 4
Вычитание векторов
Рис. 5
Посмотрите на рис. 5. Мы поместили начало векторов и в одну точку , и построили замыкающий вектор .
Умножение вектора на число
Направление вектора совпадает с направлением вектора , если , и противоположному направлению вектора , если .
При , или считается, что – нулевой вектор.
Рис. 6
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Свойства векторов
Мы рассмотрели линейные операции над векторами и теперь можно рассмотреть свойства векторов, без которых невозможно решить многие задачи.
1).
Рис. 7
Свойство 1 называется переставным или коммутативным, понятно с рис. 7, что разрешается прибавлять векторы по правилу параллелограмма.
2). – ассоциативное или соединительное свойство (см. рис. 8).
Рис. 8
3). .
4). .
5). x .
6). = .
7). x .
8). .
Свойства 3 – 8 вы уже сможете проверить самостоятельно.