Векторы – свойства векторов и линейные действия над векторами (сложение, вычитание, умножение)

Скалярные и векторные величины

Векторные величины – величины, для характеристики которых указывается как числовое значение, так и направление в пространстве. Например, сила, скорость, ускорение, напряженность поля (магнитного, электромагнитного) и т. п.

Скалярные величины – это величины, для характеристики которых достаточно только числовое значение в соответствующих единицах измерения. Например, масса, температура, длина, площадь, объём, количества тепла и т. д.

Рис. 1

Вектор – это геометрическое изображение векторной величины в заданном масштабе.

На рис. 1 А – начальная точка вектора, В – конец вектора. Вектор обычно обозначается стрелочками, которые ставят вверху букв, но многие люди для удобства ставят обычные чёрточки.  Иногда вектор обозначают одной буквой: . Расстояние от точки к точке называют длиной или модулем вектора, а обозначается так:  или

Если начало и конец вектора совпадают, тогда такой вектор называется нулевым и обозначается Направление нулевого вектора может быть произвольным.

Определение

Два ненулевых вектора, которые лежат на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными, а обозначаются

Нулевой вектор считается коллинеарным производного вектора.

 Например, на рис. 2, где ABCD – параллелограмм,

Рис. 2

где векторы = , = .

Если = , , тогда векторы и – противоположные.

Вектор противоположный вектору обозначают . Вектор  противоположен вектору  и записывается  = 

Вектор, модуль которого равен единице называется единичным, или ортом, и обозначается :

= ,

Линейные операции над векторами: сложение векторов, вычитание и умножение

Линейные операции над векторами или ещё говорят действия над векторами – это сложение векторов, вычитание и умножение вектора на число (скаляр).

Сложение векторов

Пусть заданы два вектора и . Отложим с некоторой точки вектор = , а тогда из точки отложим вектор = и рассмотрим вектор = .

Рис. 3

Определение

Сумма двух векторов и называется вектор = , начало которого  находится в начале вектора , а окончание в конце вектора при условии, что начало находится в конце .

Согласно рис. 3 вектор = и замыкает ломаную MNP, направление вектора берётся в конец последнего слагаемого .

По принципу замыкания находится сумма большего числа слагаемых.

Рис. 4

Вычитание векторов

Рис. 5

Посмотрите на рис. 5. Мы поместили начало векторов и в одну точку , и построили замыкающий вектор .

Определение

Разница двух векторов – это , которые выходят  с одной точки, называются замыкающим вектором (обозначается ), направление которого выбирается в сторону уменьшаемого.

Умножение вектора на число

Определение

Произведением ненулевого вектора  на число называется вектор и обозначается (), коллинеарный  вектору , модуль которого .

Направление вектора совпадает с направлением вектора , если , и противоположному направлению вектора , если .

При , или считается, что  – нулевой вектор.

Рис. 6

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Свойства векторов

Мы рассмотрели линейные операции над векторами и теперь можно рассмотреть свойства векторов, без которых невозможно решить многие задачи.

1).

Рис. 7

Свойство 1 называется переставным или коммутативным, понятно с рис. 7, что разрешается прибавлять векторы по правилу параллелограмма.

2). – ассоциативное  или соединительное свойство (см. рис. 8).

Рис. 8

3). .

4). .

5). x .

6). = .

7). x .

8). .

Свойства 3 – 8 вы уже сможете проверить самостоятельно.

Примеры