О чем статья
Скалярные и векторные величины
Векторные величины — величины, для характеристики которых указывается как числовое значение, так и направление в пространстве. Например, сила, скорость, ускорение, напряженность поля (магнитного, электромагнитного) и т. п.
Скалярные величины — это величины, для характеристики которых достаточно только числовое значение в соответствующих единицах измерения. Например, масса, температура, длина, площадь, объём, количества тепла и т. д.
Рис. 1
Вектор — это геометрическое изображение векторной величины в заданном масштабе.
На рис. 1 А — начальная точка вектора, В — конец вектора. Вектор обычно обозначается стрелочками, которые ставят вверху букв, но многие люди для удобства ставят обычные чёрточки. Иногда вектор обозначают одной буквой: . Расстояние от точки
к точке
называют длиной или модулем вектора, а обозначается так:
или
Если начало и конец вектора совпадают, тогда такой вектор называется нулевым и обозначается Направление нулевого вектора может быть произвольным.
[stextbox id=»info» defcaption=»true»]Два ненулевых вектора, которые лежат на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными, а обозначаются [/stextbox]
Нулевой вектор считается коллинеарным производного вектора.
[stextbox id=»info» defcaption=»true»]Векторы, которые параллельны одной и той же плоскости, или те, которые лежат в одной плоскости, называются компланарными.[/stextbox]
[stextbox id=»info» defcaption=»true»]
Равными называются векторы, если они удовлетворяют такие условия:
1) они коллинеарны;
2) их модули равны;
3) они направлены в одну сторону, то есть:
=
=
,
[/stextbox]
Например, на рис. 2, где ABCD — параллелограмм,
Рис. 2
где векторы =
,
=
.
Если =
,
, тогда векторы
и
— противоположные.
Вектор противоположный вектору обозначают
. Вектор
противоположен вектору
и записывается
=
[stextbox id=»info» defcaption=»true»]
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить в пространстве параллельно самому себе, такие векторы называются свободными.
[/stextbox]
Вектор, модуль которого равен единице называется единичным, или ортом, и обозначается :
=
,
Линейные операции над векторами: сложение векторов, вычитание и умножение
Линейные операции над векторами или ещё говорят действия над векторами — это сложение векторов, вычитание и умножение вектора на число (скаляр).
Сложение векторов
Пусть заданы два вектора и
. Отложим с некоторой точки
вектор
=
, а тогда из точки
отложим вектор
=
и рассмотрим вектор
=
.
Рис. 3
[stextbox id=»info» defcaption=»true»]Сумма двух векторов и
называется вектор
=
, начало которого находится в начале вектора
, а окончание в конце вектора
при условии, что начало
находится в конце
.[/stextbox]
Согласно рис. 3 вектор =
и замыкает ломаную MNP, направление вектора
берётся в конец последнего слагаемого
.
По принципу замыкания находится сумма большего числа слагаемых.
Рис. 4
Вычитание векторов
Рис. 5
Посмотрите на рис. 5. Мы поместили начало векторов и
в одну точку
, и построили замыкающий вектор
.
[stextbox id=»info» defcaption=»true»]Разница двух векторов — это , которые выходят с одной точки, называются замыкающим вектором
(обозначается
), направление которого выбирается в сторону уменьшаемого.[/stextbox]
Умножение вектора на число
[stextbox id=»info» defcaption=»true»]Произведением ненулевого вектора на число
называется вектор
и обозначается (
), коллинеарный вектору
, модуль которого
.[/stextbox]
Направление вектора совпадает с направлением вектора
, если
, и противоположному направлению вектора
, если
.
При , или
считается, что
— нулевой вектор.
Рис. 6
Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Свойства векторов
Мы рассмотрели линейные операции над векторами и теперь можно рассмотреть свойства векторов, без которых невозможно решить многие задачи.
1).
Рис. 7
Свойство 1 называется переставным или коммутативным, понятно с рис. 7, что разрешается прибавлять векторы по правилу параллелограмма.
2). — ассоциативное или соединительное свойство (см. рис. 8).
Рис. 8
3). .
4). .
5). x
.
6). =
.
7). x
.
8). .
Свойства 3 — 8 вы уже сможете проверить самостоятельно.
Примеры
[stextbox id=»warning» caption=»Пример 1″]
За данными вектора и
построить векторы:
а) ,
б) .
Решение покажем на рисунке:
Первый рисунок решения a:
Второй рисунок решения б:
[/stextbox]
[stextbox id=»warning» caption=»Пример 2″]
В треугольнике проведена медиана
(см. на рис. ниже). Выразить вектор
через векторы
и
.
Решение:
Согласно определению о разнице векторов — , тогда
=
=
—
.
Согласно определению суммы векторов с
у нас получается:
x
=
x
.
[/stextbox]