Добрый день. Если употребляется наречие «Зачем», тогда пишется всегда слитно. Это слово можно спокойно заменить на «Для чего», «Почему», «По какой причине». А вот местоимение «Чем» с предлогом «За» пишется всегда раздельно. Это равносильно, когда ты говоришь «За» какими вещами. Например: Мама, а за чем мы идём в магазин. То есть, за какими-то определёнными продуктами, предметами или вещами. А если задаётся вопрос: зачем он туда поехал? Погостить. Тогда здесь уже выступает наречие.