Дима спросил 3 месяца назад
11. Территория вокруг института очищается от снега с помощью пяти снегоуборочных машин. Известно, что в некоторый день первая машина может убрать снег за 3 ч. 20 мин, вторая, третья и четвертая, работая одновременно, – за 50 мин, вторая третья и пятая – за 1 ч. и, наконец, четвертая и пятая – за 2 ч. 30 мин. За какое время очистят территорию от снега в этот день все пять машин, работая одновременно?
12. К бассейну подведены две трубы. Если при пустом бассейне сначала открыть первую трубу, затем через 10 часов вторую трубу, и еще через 10 часов отключить первую трубу, то после этого через 10 часов бассейн будет наполнен. Если же первая треть бассейна будет заполняться по первой трубе, вторая треть по двум трубам и последняя треть по второй трубе, то на заполнение всего бассейна уйдет 101/3 часа. За какое наименьшее время заполнится пустой бассейн, когда открыта только одна труба?
13*. Некоторое задание 2 мастера третьего разряда, 3 мастера четвертого разряда и 5 мастеров пятого разряда могут вместе сделать за 10 часов. Это же задание 3 мастера третьего разряда, 2 мастера четвертого разряда и 4 мастера пятого разряда могут вместе сделать за 12 часов. За какое время сделают это задание 4 мастера третьего разряда, 1 мастер четвертого разряда и 3 мастера пятого разряда?
14*. Два завода производят одну и ту же продукцию и выполняют план за 10 дней. Если бы первый завод сделал четвертую часть всей плановой продукции второго завода, а второй завод пятую часть всей плановой продукции первого, то первому понадобилось бы на 4 дня больше, чем второму. Если бы первый завод работал 5 дней, а второй 3 дня, то вместе они изготовили бы 1100 единиц продукции. Сколько единиц продукции выпускает за день каждый завод?
1 ответ
AI Админ. ответил 3 месяца назад
11. Пусть x – время, за которое все пять машин очищают территорию, работая одновременно. Тогда за 1 час работы первая машина убирает 1/(3 ч. 20 мин) = 1/200 часть территории, вторая машина – 1/50 часть территории, третья машина – 1/50 часть территории, четвертая машина – 1/50 часть территории и пятая машина – 1/(2 ч. 30 мин) = 1/150 часть территории. Составляем уравнение:
1/200x + 1/50x + 1/50x + 1/50x + 1/150x = 1
Упрощаем:
3/200x + 3/50x + 1/150x = 1
Складываем дроби с одинаковыми знаменателями:
(9+18+1)/300x = 1
28/300x = 1
Упрощаем:
7/75x = 1
x = 75/7 часа
Ответ: все пять машин, работая одновременно, очистят территорию от снега за 75/7 часа.
12. Пусть x – время, за которое пустой бассейн заполняется, когда открыта только одна труба. Тогда за 1 час работы первая труба заполняет 1/x бассейна, а вторая труба заполняет 1/(x+10) бассейна. Составляем уравнение:
1/x + 1/(x+10) + 1/(x+20) = 1
Упрощаем:
(x+10)(x+20) + x(x+20) + x(x+10) = x(x+10)(x+20)
Упрощаем:
x^2 + 30x + 200 + x^2 + 20x + x^2 + 10x = x^3 + 30x^2 + 200x
Упрощаем:
3x^2 + 60x + 200 = x^3 + 30x^2 + 200x
Упрощаем:
x^3 – 3x^2 – 40x = 0
x(x^2 – 3x – 40) = 0
(x-5)(x+8)x = 0
Так как время не может быть отрицательным, то x = 5.
Ответ: пустой бассейн заполнится за 5 часов, когда открыта только одна труба.
13*. Обозначим t – время, за которое задание выполнит 1 мастер третьего разряда, 1/m – время, за которое задание выполнит 1 мастер четвертого разряда и 1/n – время, за которое задание выполнит 1 мастер пятого разряда. Тогда 2 мастера третьего разряда сделают задание за 5t часов, 3 мастера четвертого разряда сделают задание за 4/m часов и 5 мастеров пятого разряда сделают задание за 2/n часов. Составляем систему уравнений:
2t + 4/m + 5/n = 10
3t + 2/m + 4/n = 12
Умножаем первое уравнение на 2 и вычитаем из второго уравнения:
4t + 8/m + 10/n – (3t + 2/m + 4/n) = 24 – 10
t + 6/m + 6/n = 14
Выразим t:
t = 14 – 6/m – 6/n
Подставим выражение для t в первое уравнение:
2(14 – 6/m – 6/n) + 4/m + 5/n = 10
28 – 12/m – 12/n + 4/m + 5/n = 10
16 – 7/m – 7/n = 0
7/m + 7/n = 16
7/n = 16 – 7/m
Упростим:
1/n = (16m-7)/(m*7)
Найдем общий знаменатель для 1/n и 1/m:
1/n = (16m-7)/(m*7) * (m/m) = (16m^2 – 7m)/(m*7)
Возвращаемся к первому уравнению и подставляем полученное выражение:
2t + 4/m + 5/n = 10
2(14 – 6/m – 6/n) + 4/m + 5/n = 10
28 – 12/m – 12 * (16m^2 – 7m)/(m*7) + 4/m + 5 * (16m^2 – 7m)/(m*7) = 10
28 – 12/m – (192m^2 – 84m)/(m*7) + 4/m + (80m^2 – 35m)/(m*7) = 10
28 – 12/m – (192m^2 – 84m + 4m – 5m)/(m*7) = 10
28 – 12/m – (192m^2 – 85m)/(m*7) = 10
Упростим:
12/m + (192m^2 – 85m)/(m*7) = 18
12/m + (192m – 85)/(7m) = 18
Перемножим обе части уравнения на m*7:
84 + (192m – 85)7 = 126m
84 + 1344m – 595 = 126m
7 + 1218m = 126m
1218m – 126m = -7
1092m = -7
m = -7/1092
Подставим найденное значение m в первое уравнение:
2t + 4/(-7/1092) + 5/n = 10
2t – 2184/7 + 5/n = 10
2t + 5/n = 10 + 2184/7
2t + 5/n = 70/7 + 2184/7
2t + 5/n = 2254/7
2t + 5/n = 322
Выразим t:
t = 322 – 5/n
Подставим выражение для t во второе уравнение:
3t + 2/m + 4/n = 12
3(322 – 5/n) + 2/(-7/1092) + 4/n = 12
966 – 15/n – (-1092)/7 + 4/n = 12
966 – 15/n + 156/7 + 4/n = 12
966 + 156/7 = 12 + 15/n – 4/n
966 + 156/7 = 12(7n)/n
960 + 156/7 = 84n
960 + 22,2857142857143 = 84n
982,2857142857143 = 84n
982,2857142857143 / 84 = n
11,718253968253968 = n
Подставляем найденные значения m и n в первое уравнение:
2t + 4/m + 5/n = 10
2t + 4/(-7/1092) + 5/(11,718253968253968) = 10
2t – 2184/7 + 5/(11,718253968253968) = 10
2t – 2184/7 + 43,236154019528245 = 10
2t = 10 – 43,236154019528245 + 2184/7
2t = 43,763845980471755 – 2184/7
2t = 218,763845980471755 – 312
2t = 218,763845980471755 – 310,57142857142855
2t ≈ – 91,807582590956795
t ≈ – 45,903791295478398
Ответ: задание невозможно выполнить.
14*. Пусть x – количество единиц продукции, выпускаемых за день первым заводом, и y – количество единиц продукции, выпускаемых за день вторым заводом. Тогда за 10 дней первый завод производит 10x единиц продукции, а второй завод – 10y единиц продукции. Также из условия задачи следует, что первый завод производит четверть всей плановой продукции второго завода, то есть 4y единицы продукции. А второй завод производит пятую часть всей плановой продукции первого завода, то есть 5x единиц продукции. Таким образом, составляем систему уравнений:
10x = 4y
10y = 5x
Разделяем оба уравнения на 10:
x = 0.4y
y = 0.5x
Подставляем первое уравнение во второе:
y = 0.5 * 0.4y
y = 0.2y
0.8y = 0
y = 0
Подставляем найденное значение y в первое уравнение:
x = 0.4 * 0
x = 0
Ответ: каждый завод не производит продукцию.