Математика 8 класс.

1) В треугольнике ABC точка M на стороне AC расположена так, что AM : MC = 1: 2. Биссектриса AL пересекает отрезок BM в точке P. Найдите отношение AP : PL, если известно, что BP : PM = 3 : 2.
2) В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CL, точка M – середина стороны AC. Докажите, что треугольник KLM равнобедренный.
3) Найдите стороны равнобедренного треугольника, площадь которого равна 16, а медиана, проведенная к боковой стороне, равна 5.
4) В выпуклом четырехугольнике ABCD, у которого AB = BC = CD, биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке F. Докажите, что треугольники AFC и BFD подобны.
5) В треугольнике ABC со сторонами AB = 7, AC = 8, BC = 9 проведены медиана BM и биссектриса BL. Найдите площадь треугольника MBL.
6) В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AC проведена высота BH, и из точки H проведены перпендикуляры HM на катет AB и HN на катет BC. Докажите, что HM : HN = √HA : √HC.
7) Приведите способ построения треугольника, если заданы три отрезка, равные медианам этого треугольника.
8) В треугольнике со стороной 8 длины медиан, проведенных к двум другим сторонам, равны √46 и √79 . Найдите периметр этого треугольника.
9) В треугольнике ABC, у которого ∠ABC = ∠ACB , точка D на стороне AC расположена так, что треугольник ADB подобен треугольнику ABC. Биссектриса AL треугольника ABC пересекает отрезок BD в точке M. Докажите, что треугольник BLM равнобедренный.
10) В параллелограмме ABCD биссектрисы AK и DL углов BAD и CDA пересекают сторону BC в точках K и L так, что образуется трапеция AKLD, у которой AK = 4, DL = 3, KL = 2. Найдите стороны параллелограмма ABCD.
11) В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH и построены точки K и L, симметричные точке H относительно сторон AB и BC, соответственно. Отрезок KL пересекает стороны AB и BC в точках M и N. Докажите, что ∠BHM = ∠BHN .
12). В треугольнике ABC биссектриса AL и медиана BM пересекаются в точке P. Известно, что площади треугольников ABP и BPL равны соответственно 45 и 25. Найдите площадь четырехугольника MPLC.
13) Через середину M гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC перпендикулярно AC проведена прямая, которая пересекает катет BC в точке E и продолжение катета AB в точке F. При этом известно, что ME = 9, EF = 7. Найдите катеты AB и BC.
14) В равнобедренном треугольнике ABC с равными сторонами AB и BC высоты BH и AK пересекаются в
точке P. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AP = 6, BP = 1.