вика спросил 4 месяца назад
8) В треугольнике со стороной 8 длины медиан, проведенных к двум другим сторонам, равны √46 и √79 . Найдите периметр этого треугольника.
9) В треугольнике ABC, у которого ∠ABC = ∠ACB , точка D на стороне AC расположена так, что треугольник ADB подобен треугольнику ABC. Биссектриса AL треугольника ABC пересекает отрезок BD в точке M. Докажите, что треугольник BLM равнобедренный.
10) В параллелограмме ABCD биссектрисы AK и DL углов BAD и CDA пересекают сторону BC в точках K и L так, что образуется трапеция AKLD, у которой AK = 4, DL = 3, KL = 2. Найдите стороны параллелограмма ABCD.
11) В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH и построены точки K и L, симметричные точке H относительно сторон AB и BC, соответственно. Отрезок KL пересекает стороны AB и BC в точках M и N. Докажите, что ∠BHM = ∠BHN .
12). В треугольнике ABC биссектриса AL и медиана BM пересекаются в точке P. Известно, что площади треугольников ABP и BPL равны соответственно 45 и 25. Найдите площадь четырехугольника MPLC.
13) Через середину M гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC перпендикулярно AC проведена прямая, которая пересекает катет BC в точке E и продолжение катета AB в точке F. При этом известно, что ME = 9, EF = 7. Найдите катеты AB и BC.
14) В равнобедренном треугольнике ABC с равными сторонами AB и BC высоты BH и AK пересекаются в
точке P. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AP = 6, BP = 1.
1 ответ
Тагир Админ. ответил 4 месяца назад
8) Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. По условию треугольника сторона равна 8, а медианы равны √46 и √79. Так как медианы треугольника делят его на 6 равных треугольников, то каждая медиана равна половине периметра меньшего треугольника, образованного её концами и серединой основания. Поэтому, каждая медиана равна половине периметра одного из этих треугольников. Запишем это в виде уравнений:
√46 = (1/2) * П1,
√79 = (1/2) * П2.
где П1 и П2 — периметры треугольников, образованных медианами.
Умножим оба уравнения на 2:
2√46 = П1,
2√79 = П2.
Сложим эти уравнения вместе:
2√46 + 2√79 = П1 + П2.
Заметим, что П1 + П2 равно периметру большего треугольника, образованного медианами. Поэтому,
2√46 + 2√79 = П.
Заметим также, что периметр треугольника ABC равен П + 8, поскольку к периметру большего треугольника нужно прибавить длину одной стороны треугольника. Таким образом,
2√46 + 2√79 + 8 = П + 8.
Отсюда следует, что периметр равен
П = 2√46 + 2√79.
9) Для доказательства равнобедренности треугольника BLM нужно показать, что BL=BM, то есть длины биссектрисы и медианы, проведенной из вершины B, равны.
Поскольку треугольник ADB подобен треугольнику ABC, то отношение длин сторон ADB и ABC равно отношению длин соответствующих сторон:
AD/AB = AB/AC.
так как ∠ABC = ∠ACB, то AB/AC = AC/AB.
Поэтому, AD/AB = AC/AB.
Сокращая на AB, получаем AD = AC.
Из этого следует, что треугольник ACD равнобедренный, то есть AC=DC.
Теперь рассмотрим треугольник BDL. Поскольку BD — биссектриса ∠B, то угол ∠DLB равен половине угла ∠BLA.
Треугольник ABD также подобен треугольнику ABC, поэтому ∠B = ∠BDA = ∠DAB.
Поэтому угол ∠DLB равен половине угла ∠LAB.
Таким образом, треугольники LAB и LDB равны по двум углам и общей стороне LD.
Отсюда следует, что BL=BD, и треугольник BLM равнобедренный.
10) Параллелограмм AKLD — это трапеция. Из свойств биссектрисы следует, что DK/DL = AK/AL = BK/BB. Так как AK = 4 и DL = 2, то DK/DL = 2. Значит, BK/BB = 2.
Также из условия KL = 2 следует, что DL + LK = DL + 2 = 2. Так как DL = 3, то 3 + 2 = 5 = DL + 2.
Также из условия AK = 4 следует, DL + LK = DL + 2 = 4. Так как DL = 3, то 3 + 2 = 5 = DL + 2.
Из этих двух условий следует, что BB = 5.
Так как AK = 4, то AB = AK + BB = 4 + 5 = 9.
Также AK = DL = 4 и KL = 2, то BL = DL + KL = 4 + 2 = 6.
В параллелограмме стороны, противоположные друг другу, равны. Таким образом, BC = DA = 9 и AD = CB = 6.
11) Для доказательства ∠BHM = ∠BHN можно использовать подобие треугольников и равенство углов.
Рассмотрим треугольники BLK и BLA. Поскольку точка L симметрична точке H относительно стороны BC, то ∠BLK = ∠BLA.
Рассмотрим также треугольники BHK и BHA. Поскольку точка K симметрична точке H относительно стороны AB, то ∠BHK = ∠BHA.
Таким образом, ∠BLK = ∠BLA = ∠BHA = ∠BHK.
Из этого получается, что треугольники BLK и BHK равны по двум углам. Так как у них есть общая сторона HB, то они равны.
Отсюда следует, что BL=BH и BK=BH.
Рассмотрим треугольники BHM и BHN. У них есть общая сторона HB и равные стороны BL=BH и BK=BH.
Таким образом, треугольники BHM и BHN равны по стороне и двум равным сторонам. Следовательно, ∠BHM = ∠BHN.
12) Площадь треугольника ABP равна 45, а площадь треугольника BPL равна 25.
Пусть х — высота треугольника ABP, опущенная из вершины B на основание AP.
Тогда площадь треугольника ABP равна (1/2) * AB * х = 45.
Пусть у — высота треугольника BPL, опущенная из вершины B на основание PL.
Тогда площадь треугольника BPL равна (1/2) * BL * у = 25.
Площадь четырехугольника MPLC равна сумме площадей треугольников BMP и CLM.
Пусть z — высота треугольника BMP, опущенная из вершины M на основание BP.
Тогда площадь треугольника BMP равна (1/2) * BM * z.
Пусть t — высота треугольника CLM, опущенная из вершины C на основание LM.
Тогда площадь треугольника CLM равна (1/2) * LC * t.
Из подобия треугольников ABP и BPL следует, что BL/AB = LC/BP.
Так как BL=BM+ML, то BM+ML/AB = LC/BP.
Так как BM/AB и ML/AB являются площадными отношениями, получаем, что площадь треугольника BMP делится площадью треугольника ABP так же, как BM делится на AB, а площадь треугольника CLM делится площадью треугольника BPL так же, как LC делится на BP.
Таким образом, (1/2) * BM * z / (1/2) * AB * х = BM/AB и (1/2) * LC * t / (1/2) *BL * у = LC/BL.
Отсюда следует, что z/х = BM/AB и t/у = LC/BL.
Так как BM/AB = LC/BP, получаем, что z/х = t/у = LC/BP.
Поскольку z и t — это высоты треугольников, проходящие через пересечение биссектрис, то они равны.
Таким образом, зная, что площадь треугольника ABP равна 45 и площадь треугольника BPL равна 25, можно найти площадь четырехугольника MPLC как разность между площадью треугольника BMP и площадью треугольника CLM:
45 — 25 = 20.
Площадь четырехугольника MPLC равна 20.
13) В треугольнике ABC высота BH является медианой, а M — середина гипотенузы AC.
Поскольку M — середина гипотенузы, то AM = MC.
Также, так как HM — высота, BM является медианой, поэтому AH = HC.
Таким образом, AM = MC и AH = HC.
Так как AL — биссектриса ∠ACB, то угол HAL равен половине угла BAC.
Также, так как M — середина гипотенузы AC, то угол HAL также равен углу CAM.
Поэтому угол BAC равен углу CAM.
Отсюда следует, что треугольник AHM равнобедренный, то есть AH = AM.
Так как AH = HC и AM = MC, это означает, что HC = MC и треугольник HMC также равнобедренный.
То есть HM = CM.