, (1)
где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.
Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.
Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица
А = 
называется матрицей системы,
А*= 
называется расширенной матрицей системы
Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна.
К элементарным преобразованиям системы относятся:
1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю. 2)Перестановка уравнений местами. 3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.
Теорема Кронекера – Капелли.(условие совместности системы)
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. RgA = RgA*.
Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
x1
+ x2 
+ … + xn 
Доказательство.
1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА* не изменяют ранга.
2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.
