О чем статья
Введение
Добро пожаловать на лекцию по делимости! В математике делимость является одним из основных понятий, которое помогает нам понять, как одно число делится на другое без остатка. В этой лекции мы рассмотрим определение делимости, основные свойства и примеры делимости на различные числа. Приготовьтесь узнать больше о том, как числа делятся и как это может быть полезно в решении различных задач!
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Определение делимости
Делимость – это математическое понятие, которое описывает отношение между двумя числами. Говорят, что число a делится на число b, если при делении a на b получается целое число без остатка.
Математически это записывается как a делится на b и обозначается символом a | b.
Формально, для двух целых чисел a и b, где b ≠ 0, говорят, что a делится на b, если существует такое целое число k, что a = b * k.
Например, если a = 12 и b = 3, то 12 делится на 3, так как 12 = 3 * 4.
Если a не делится на b, то говорят, что a не делится на b и обозначается символом a ∤ b.
Например, если a = 12 и b = 5, то 12 не делится на 5, так как при делении 12 на 5 получается остаток.
Свойства делимости
Делимость – это свойство чисел, которое означает, что одно число делится на другое без остатка.
В математике существуют несколько свойств делимости, которые помогают нам определить, делится ли одно число на другое.
Делимость на 1 и на само число
Любое число делится на 1 и на само себя без остатка. Например, число 7 делится на 1 и на 7.
Делимость на 2 и на 5
Число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8). Например, число 16 делится на 2, так как его последняя цифра – 6.
Число делится на 5, если его последняя цифра равна 0 или 5. Например, число 35 делится на 5, так как его последняя цифра – 5.
Делимость на 3 и на 9
Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Например, число 123 делится на 3, так как 1 + 2 + 3 = 6, и 6 делится на 3.
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, число 135 делится на 9, так как 1 + 3 + 5 = 9, и 9 делится на 9.
Делимость на 4 и на 8
Число делится на 4, если две последние цифры числа образуют число, которое делится на 4. Например, число 148 делится на 4, так как 48 делится на 4.
Число делится на 8, если три последние цифры числа образуют число, которое делится на 8. Например, число 1232 делится на 8, так как 232 делится на 8.
Делимость на 6
Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3. Например, число 24 делится на 6, так как оно делится и на 2, и на 3.
Делимость на 10
Число делится на 10, если его последняя цифра равна 0. Например, число 50 делится на 10, так как его последняя цифра – 0.
Делимость на простые числа
Простые числа – это числа, которые имеют только два делителя: 1 и само число. Если число делится на простое число без остатка, то оно также является простым числом. Например, число 15 делится на простое число 3, поэтому оно не является простым числом.
Делимость на 1 и на само число
Делимость на 1 и на само число – это свойство числа, при котором оно делится на 1 и на само себя без остатка.
Для любого числа, оно всегда будет делиться на 1 без остатка, так как 1 является делителем любого числа.
Также, любое число будет делиться на само себя без остатка, так как оно является своим собственным делителем.
Например, число 7 делится на 1 и на 7 без остатка, поэтому оно является делимым на 1 и на само себя.
Однако, стоит отметить, что число 1 само по себе не является простым числом, так как оно имеет только один делитель. Простые числа имеют ровно два делителя – 1 и само число.
Делимость на 2 и на 5
Делимость на 2 и на 5 – это свойства чисел, которые позволяют определить, делится ли число на 2 или на 5 без остатка.
Делимость на 2
Число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра является четной (0, 2, 4, 6, 8).
Например, число 14 делится на 2 без остатка, так как его последняя цифра – 4, которая является четной.
Однако, число 17 не делится на 2 без остатка, так как его последняя цифра – 7, которая не является четной.
Делимость на 5
Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра равна 0 или 5.
Например, число 35 делится на 5 без остатка, так как его последняя цифра – 5.
Однако, число 42 не делится на 5 без остатка, так как его последняя цифра – 2, которая не равна 0 или 5.
Делимость на 3 и на 9
Число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр также делится на 3 без остатка.
Например, число 123 делится на 3 без остатка, так как 1 + 2 + 3 = 6, и 6 делится на 3 без остатка.
Однако, число 456 не делится на 3 без остатка, так как 4 + 5 + 6 = 15, и 15 не делится на 3 без остатка.
Число делится на 9 без остатка, если сумма его цифр также делится на 9 без остатка.
Например, число 135 делится на 9 без остатка, так как 1 + 3 + 5 = 9, и 9 делится на 9 без остатка.
Однако, число 246 не делится на 9 без остатка, так как 2 + 4 + 6 = 12, и 12 не делится на 9 без остатка.
Делимость на 4 и на 8
Число делится на 4 без остатка, если последние две цифры числа образуют число, которое делится на 4 без остатка.
Например, число 124 делится на 4 без остатка, так как 24 делится на 4 без остатка.
Число делится на 8 без остатка, если последние три цифры числа образуют число, которое делится на 8 без остатка.
Например, число 1128 делится на 8 без остатка, так как 128 делится на 8 без остатка.
Делимость на 6
Число делится на 6 без остатка, если оно делится и на 2, и на 3 без остатка.
Для проверки делимости на 6, нужно выполнить две проверки:
- Проверить, делится ли число на 2 без остатка.
- Проверить, делится ли сумма цифр числа на 3 без остатка.
Если оба условия выполняются, то число делится на 6 без остатка.
Например, рассмотрим число 132.
Первое условие: 132 делится на 2 без остатка, так как последняя цифра числа 2.
Второе условие: сумма цифр числа 132 равна 1 + 3 + 2 = 6, что делится на 3 без остатка.
Таким образом, число 132 делится на 6 без остатка.
Делимость на 10
Число делится на 10 без остатка, если его последняя цифра равна 0.
Например, рассмотрим число 350.
Последняя цифра числа 350 равна 0, поэтому оно делится на 10 без остатка.
Таким образом, число 350 делится на 10 без остатка.
Делимость на простые числа
Простые числа – это числа, которые имеют только два делителя: 1 и само число.
Для определения делимости числа на простое число, нужно проверить, делится ли оно на это простое число без остатка.
Например, рассмотрим число 15 и простое число 3.
Чтобы узнать, делится ли число 15 на 3 без остатка, нужно проверить, равен ли остаток от деления числа 15 на 3 нулю.
Остаток от деления числа 15 на 3 равен 0, поэтому число 15 делится на 3 без остатка.
Таким образом, число 15 делится на простое число 3 без остатка.
Заключение
В этой лекции мы рассмотрели основные понятия и свойства делимости. Делимость является важным понятием в математике и позволяет нам анализировать числа и их взаимоотношения. Мы изучили делимость на 1 и на само число, а также на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 и 10. Также мы рассмотрели делимость на простые числа. Понимание этих свойств поможет нам в решении различных задач и применении математических концепций в реальной жизни.
