О чем статья

Основная задача формул сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) нужны для того, чтобы умножать и возводить в степень числа, выражения, в том числе многочлены. То есть, при помощи формул можно работать с числами значительно быстрее и проще. Таким образом можно из сложного уравнения сделать обычное, что упростит задачу.

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Таблица с формулами сокращённого умножения

Название	Формула	Как читается
Квадрат суммы	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$	Квадрат первого выражения плюс удвоенного произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Квадрат разности	$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$	Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.
Куб суммы	$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2{b} + 3ab^2 + b^3$	Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, плюс второе выражение в кубе.
Куб разности	$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2{b} + 3ab^2 - b^3$	Куб разности двух величин равен первое выражение в кубе минус утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, минус второе выражение в кубе.
Разность квадратов	$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$	Разность квадратов первого и второго выражений равен произведению разности двух выражений и их суммы.
Сумма кубов	$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$	Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
Разность кубов	$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$	Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

Формулы сокращенного умножения (скачать таблицу для печати)

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им можно возводить в квадрат или куб суммы (разности) двух выражений. Что касается пятой формулы, её нужно применять, чтобы вкратце умножить разность или сумму двух выражений.

Две последние формулы (6 и 7) применяются, чтобы умножать суммы обоих выражений на их неполный квадрат разности или суммы.

Вышеперечисленные формулы довольно-таки часто нужны на практике. Именно поэтому их желательно знать наизусть.

Если вам попался пример, разложить многочлен на множители, тогда во многих случаях нужно левую и правую часть переставить местами.

Например, возмём ту же первую формулу: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

и левую часть поставим вправо, а правую влево: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

Такую же процедуру можно проделывать и с остальными формулами.

Доказательство ФСУ

Остановимся на доказательствах формул сокращённого умножения. Это не сложно. Нужно всего лишь раскрыть скобки. Рассмотрим на первой формуле – квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Шаг первый.

Возведём a + b во вторую степень. Для этого степень трогать не будем, а выполним банальное умножение: $(a + b)^2$ = $(a + b)$ x $(a + b)$ .

Шаг второй. Теперь $a$ и $b$ выносим за скобки: $a$ x $(a + b)$ + $b$ x $(a + b)$ .

Шаг третий. Раскрываем скобки: $a$ x $a$ + $a$ x $b$ + $b$ x $a$ + $b$ x $b$ .

Шаг четвёртый. Умножаем, не забывая о знаках: $a^2 + a$ x $b$ + $b$ x $a$ + $b^2$ .

Шаг пятый. Упрощаем выражение: $a^2 + 2ab + b^2$ .

Точно так же можно доказать абсолютно любую формулу сокращённого умножения.

Примеры и решения с помощью ФСУ

Как правило, эти семь формул применяются тогда, когда нужно упростить выражение, чтобы решить какое-либо уравнение и даже обычный пример.

Пример 1

Задание

Упростите выражение:

$(3x + 5)^2$

Как видно, к этому примеру подходит первая формула сокращённого умножения – Квадрат суммы.

Решение

Исходя из первой формулы надо пример разложить на множители. Для этого смотрим на формулу и вместо букв подставляем цифры. В нашем случае «а» – это 3x, а «b» – это 5:

$(3x + 5)^2 = 3x^2 + 2$ x $3x$ x $5$ + $5^2$

Считаем правую часть и записываем результат. У нас получается:

$(3x + 5)^2 = 9x^2$ + $2$ x $3x$ x $5$ + $25$

В примере надо умножить всё то, что умножается и сразу получаем ответ:

$(3x + 5)^2 = 9x^2 + 30x + 25$

Конечно же, есть примеры и с дробями. Но, если научитесь решать простые примеры, тогда другие виды вам будут не страшны.

Пример 2

Задание

Упростите выражение

$(3n - 1)^2$

Решение

$(3n - 1)^2$ = $(3n)^2$ – $2$ x $3n$ x $1$ + $1^2$ = $9n^2 - 6n + 1$

Пример 3

Задание

Представьте в виде квадрата двучлена трёхчлен

$36x^2 + 12xy + y^2$

Решение

Здесь квадраты выражений – $36x^2$ и $y^2$

Выражения, которые возводились в квадрат – $6x$ и $y$

Удвоенное произведение этих выражений – $12xy$ , который совпадает с со вторым членом трёхчлена (со знаком «плюс), значит, $36x^2 + 12xy + y^2 = (6x + y)^2$

Итак, как видно, ничего сложно в примерах нет. Главное, знать формулы, где их можно применять, а где можно обойтись и без них.

Полезные источники

Арефьева И. Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебник пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования: Минск “Народная Асвета”, 2017 – 304 с.
Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра 7 класс: М: 2015 – 287 с.
Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра. 7 класс. М: 2015 – 224 с.

Добавить комментарий Отменить ответ

Аля на Сколько четверок допускается в красном дипломе? Скажем сразу – не больше 25%Я так и не поняла 4.5 это сколько процентов 25?
Алиса на Примеры решений дифференциала функции с ответамиВау, клёвые, подробные примеры разной сложности и с пояснением. Как раз то, что нужно для моей презентации по теме: "Дифференцируемость
Нина на Презентация к курсовой работе – пошаговая инструкция с примерамиВыполните презентацию к курсовой работе
Наталья на Решить систему из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными онлайнА где решение тремя способами, или хотя ы одним? Фи
Чел на Примеры решения интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям с ответамиТам в 10 вроде лишний, минус на минус же дает плюс