Формулы сокращённого умножения

Елена Вечоркина 0 10133

Чтобы упростить расчёты алгебраических многочленов, воспользуйтесь формулами сокращённого умножения по алгебре за 7 класс. Что такое ФСУ? Список основных формул, таблица для печати и примеры с решениями – в этой статье.

Основная задача формул сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) нужны для того, чтобы умножать и возводить в степень числа, выражения, в том числе многочлены. То есть, при помощи формул можно работать с числами значительно быстрее и проще. Таким образом можно из сложного уравнения сделать обычное, что упростит задачу.

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Таблица с формулами сокращённого умножения

Название Формула Как читается
Квадрат суммы (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 Квадрат первого выражения плюс удвоенного произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Квадрат разности  (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.
Куб суммы (a + b)^3 = a^3 + 3a^2{b} + 3ab^2 + b^3 Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, плюс второе выражение в кубе.
Куб разности (a - b)^3 = a^3 - 3a^2{b} + 3ab^2 - b^3 Куб разности двух величин равен первое выражение в кубе минус утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, минус второе выражение в кубе.
Разность квадратов a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) Разность квадратов первого и второго выражений равен произведению разности двух выражений и их суммы.
Сумма кубов (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
Разность кубов

 

(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

Формулы сокращенного умножения (скачать таблицу для печати)

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им можно возводить в квадрат или куб суммы (разности) двух выражений. Что касается пятой формулы, её нужно применять, чтобы вкратце умножить разность или сумму двух выражений.

Две последние формулы (6 и 7) применяются, чтобы умножать суммы обоих выражений на их неполный квадрат разности или суммы.

Вышеперечисленные формулы довольно-таки часто нужны на практике. Именно поэтому их желательно знать наизусть.

Если вам попался пример, разложить многочлен на множители, тогда во многих случаях нужно левую и правую часть переставить местами.

Например, возмём ту же первую формулу: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

и левую часть поставим вправо, а правую влево: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2

Такую же процедуру можно проделывать и с остальными формулами.

Доказательство ФСУ

Остановимся на доказательствах формул сокращённого умножения. Это не сложно. Нужно всего лишь раскрыть скобки. Рассмотрим на первой формуле – квадрат суммы: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Шаг первый.

Возведём a + b во вторую степень. Для этого степень трогать не будем, а выполним банальное умножение: (a + b)^2 = (a + b) x (a + b).

Шаг второй. Теперь a и b выносим за скобки: a x (a + b) + b x (a + b).

Шаг третий. Раскрываем скобки:a x a + a x b + b x a + b x b.

Шаг четвёртый. Умножаем, не забывая о знаках: a^2 + a x b + b x a + b^2.

Шаг пятый. Упрощаем выражение: a^2 + 2ab + b^2.

Точно так же можно доказать абсолютно любую формулу сокращённого умножения.

Примеры и решения с помощью ФСУ

Как правило, эти семь формул применяются тогда, когда нужно упростить выражение, чтобы решить какое-либо уравнение и даже обычный пример.

Пример 1

Задание

Упростите выражение:

(3x + 5)^2

Как видно, к этому примеру подходит первая формула сокращённого умножения – Квадрат суммы.

Решение

Исходя из первой формулы надо пример разложить на множители. Для этого смотрим на формулу и вместо букв подставляем цифры. В нашем случае «а» – это 3x, а «b» – это 5:

(3x + 5)^2 = 3x^2 + 2 x 3x x 5 + 5^2

Считаем правую часть и записываем результат. У нас получается:

(3x + 5)^2 = 9x^2 + 2 x 3x x 5 + 25

В примере надо умножить всё то, что умножается и сразу получаем ответ:

(3x + 5)^2 = 9x^2 + 30x + 25

Конечно же, есть примеры и с дробями. Но, если научитесь решать простые примеры, тогда другие виды вам будут не страшны.

Пример 2

Задание

Упростите выражение

(3n - 1)^2

Решение

(3n - 1)^2 = (3n)^22 x 3n x 1 + 1^2 = 9n^2 - 6n + 1

Пример 3

Задание

Представьте в виде квадрата двучлена трёхчлен

36x^2 + 12xy + y^2

Решение

Здесь квадраты выражений – 36x^2 и y^2

Выражения, которые возводились в квадрат – 6x и y

Удвоенное произведение этих выражений – 12xy, который совпадает с со вторым членом трёхчлена (со знаком «плюс), значит, 36x^2 + 12xy + y^2 = (6x + y)^2

Итак, как видно, ничего сложно в примерах нет. Главное, знать формулы, где их можно применять, а где можно обойтись и без них.

Полезные источники

  1. Арефьева И. Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебник пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования: Минск “Народная Асвета”, 2017 – 304 с.
  2. Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра 7 класс: М: 2015 – 287 с.
  3. Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра. 7 класс. М: 2015 – 224 с.

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 2

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

10133

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *