Основная задача формул сокращённого умножения

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) нужны для того, чтобы умножать и возводить в степень числа, выражения, в том числе многочлены. То есть, при помощи формул можно работать с числами значительно быстрее и проще. Таким образом можно из сложного уравнения сделать обычное, что упростит задачу.

Таблица с формулами сокращённого умножения

Название Формула Как читается
Квадрат суммы (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 Квадрат первого выражения плюс удвоенного произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Квадрат разности  (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.
Куб суммы (a + b)^3 = a^3 + 3a^2{b} + 3ab^2 + b^3 Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, плюс второе выражение в кубе.
Куб разности (a - b)^3 = a^3 - 3a^2{b} + 3ab^2 - b^3 Куб разности двух величин равен первое выражение в кубе минус утроенное произведение первого выражения в квадрате на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на второе в квадрате, минус второе выражение в кубе.
Разность квадратов a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) Разность квадратов первого и второго выражений равен произведению разности двух выражений и их суммы.
Сумма кубов (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.
Разность кубов

 

(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

Формулы сокращенного умножения (скачать таблицу для печати)

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им можно возводить в квадрат или куб суммы (разности) двух выражений. Что касается пятой формулы, её нужно применять, чтобы вкратце умножить разность или сумму двух выражений.

Две последние формулы (6 и 7) применяются, чтобы умножать суммы обоих выражений на их неполный квадрат разности или суммы.

Вышеперечисленные формулы довольно-таки часто нужны на практике. Именно поэтому их желательно знать наизусть.

Если вам попался пример, разложить многочлен на множители, тогда во многих случаях нужно левую и правую часть переставить местами.

Например, возмём ту же первую формулу: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

и левую часть поставим вправо, а правую влево: a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2

Такую же процедуру можно проделывать и с остальными формулами.

Доказательство ФСУ

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой, обратитесь за помощью к профессионалам. Работу могут написать преподаватели, доцены вузов

Стоимость и сроки

Остановимся на доказательствах формул сокращённого умножения. Это не сложно. Нужно всего лишь раскрыть скобки. Рассмотрим на первой формуле – квадрат суммы: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Шаг первый.

Возведём a + b во вторую степень. Для этого степень трогать не будем, а выполним банальное умножение: (a + b)^2 = (a + b) x (a + b).

Шаг второй. Теперь a и b выносим за скобки: a x (a + b) + b x (a + b).

Шаг третий. Раскрываем скобки:a x a + a x b + b x a + b x b.

Шаг четвёртый. Умножаем, не забывая о знаках: a^2 + a x b + b x a + b^2.

Шаг пятый. Упрощаем выражение: a^2 + 2ab + b^2.

Точно так же можно доказать абсолютно любую формулу сокращённого умножения.

Примеры и решения с помощью ФСУ

Как правило, эти семь формул применяются тогда, когда нужно упростить выражение, чтобы решить какое-либо уравнение и даже обычный пример.

Пример 1

Задание

Упростите выражение:

(3x + 5)^2

Как видно, к этому примеру подходит первая формула сокращённого умножения – Квадрат суммы.

Решение

Исходя из первой формулы надо пример разложить на множители. Для этого смотрим на формулу и вместо букв подставляем цифры. В нашем случае «а» – это 3x, а «b» – это 5:

(3x + 5)^2 = 3x^2 + 2 x 3x x 5 + 5^2

Считаем правую часть и записываем результат. У нас получается:

(3x + 5)^2 = 9x^2 + 2 x 3x x 5 + 25

В примере надо умножить всё то, что умножается и сразу получаем ответ:

(3x + 5)^2 = 9x^2 + 30x + 25

Конечно же, есть примеры и с дробями. Но, если научитесь решать простые примеры, тогда другие виды вам будут не страшны.

Пример 2

Задание

Упростите выражение

(3n - 1)^2

Решение

(3n - 1)^2 = (3n)^22 x 3n x 1 + 1^2 = 9n^2 - 6n + 1

Пример 3

Задание

Представьте в виде квадрата двучлена трёхчлен

36x^2 + 12xy + y^2

Решение

Здесь квадраты выражений – 36x^2 и y^2

Выражения, которые возводились в квадрат – 6x и y

Удвоенное произведение этих выражений – 12xy, который совпадает с со вторым членом трёхчлена (со знаком «плюс), значит, 36x^2 + 12xy + y^2 = (6x + y)^2

Итак, как видно, ничего сложно в примерах нет. Главное, знать формулы, где их можно применять, а где можно обойтись и без них.

Полезные источники

  1. Арефьева И. Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебник пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования: Минск “Народная Асвета”, 2017 – 304 с.
  2. Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра 7 класс: М: 2015 – 287 с.
  3. Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра. 7 класс. М: 2015 – 224 с.

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

5918

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *