О чем статья
Введение
Интегральная теорема Муавра-Лапласа является одной из основных теорем теории вероятностей. Она позволяет приближенно вычислять вероятности событий в случае большого числа испытаний в биномиальном распределении. В данном плане мы рассмотрим формулировку теоремы, условия ее применимости, доказательство, примеры применения и связь с другими теоремами. Это позволит нам лучше понять суть и применение данной теоремы.
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Интегральная теорема Муавра-Лапласа – это одна из основных теорем теории вероятностей, которая позволяет приближенно вычислять вероятности событий в случае большого числа испытаний в биномиальном распределении.
Формулировка теоремы:
Пусть имеется последовательность независимых испытаний с двумя возможными исходами: успехом (с вероятностью p) и неудачей (с вероятностью q = 1 – p). Обозначим через X количество успехов в этой последовательности. Тогда при большом числе испытаний n и приближенно равномерном распределении вероятности p на отрезке [0,1] вероятность того, что X примет значение k, можно вычислить с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа:
P(X = k) ≈ φ((k – np) / √(npq)),
где φ(z) – функция стандартного нормального распределения, а np и npq – математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения соответственно.
Условия применимости теоремы:
Для применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
- Число испытаний n должно быть достаточно большим (обычно n ≥ 30).
- Вероятность успеха p должна быть константой и не зависеть от числа испытаний.
- Вероятность неудачи q = 1 – p также должна быть константой и не зависеть от числа испытаний.
Доказательство теоремы:
Доказательство интегральной теоремы Муавра-Лапласа основано на применении центральной предельной теоремы. Согласно этой теореме, сумма большого числа независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение, стремится к нормальному распределению при условии, что эти случайные величины имеют конечное математическое ожидание и дисперсию.
Примеры применения теоремы:
Интегральная теорема Муавра-Лапласа широко применяется в различных областях, где требуется приближенное вычисление вероятностей биномиальных событий. Например, она может использоваться для оценки вероятности успеха в медицинских исследованиях, для анализа результатов опросов и выборочных исследований, а также для моделирования случайных процессов.
Связь с другими теоремами:
Интегральная теорема Муавра-Лапласа является частным случаем центральной предельной теоремы, которая утверждает, что сумма большого числа независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение, стремится к нормальному распределению независимо от их исходного распределения.
Формулировка теоремы
Интегральная теорема Муавра-Лапласа устанавливает связь между биномиальным распределением и нормальным распределением. Она позволяет приближенно вычислять вероятности событий в биномиальном распределении с большими значениями параметров.
Формулировка теоремы:
Пусть X – случайная величина, имеющая биномиальное распределение с параметрами n и p, где n – количество независимых испытаний, p – вероятность успеха в каждом испытании. Тогда при больших значениях n и p биномиальное распределение можно приближенно заменить нормальным распределением с параметрами μ = np и σ^2 = np(1-p).
То есть, если X ~ B(n, p), то при n → ∞ и p → 0 или p → 1, случайная величина X приближенно имеет нормальное распределение с параметрами μ = np и σ^2 = np(1-p).
Условия применимости теоремы
Для применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа необходимо выполнение следующих условий:
Независимость испытаний
Испытания должны быть независимыми, то есть исход одного испытания не должен влиять на исход другого испытания.
Фиксированная вероятность успеха
Вероятность успеха p должна оставаться постоянной для каждого испытания. Это означает, что вероятность успеха не должна зависеть от номера испытания или от других факторов.
Большое количество испытаний
Число испытаний n должно быть достаточно большим. Обычно говорят, что n должно быть больше 30, чтобы применять интегральную теорему Муавра-Лапласа.
Умеренная вероятность успеха
Вероятность успеха p должна быть умеренной, то есть не слишком близкой к 0 или 1. Если p слишком близка к 0 или 1, то нормальное приближение может быть неточным.
Если все эти условия выполняются, то можно применять интегральную теорему Муавра-Лапласа для приближенного вычисления вероятностей биномиального распределения.
Доказательство теоремы
Доказательство интегральной теоремы Муавра-Лапласа основано на применении центральной предельной теоремы. Центральная предельная теорема утверждает, что сумма большого числа независимых и одинаково распределенных случайных величин стремится к нормальному распределению.
Рассмотрим биномиальное распределение с параметрами n и p, где n – количество испытаний, а p – вероятность успеха в каждом испытании. Пусть X – случайная величина, обозначающая количество успехов в n испытаниях.
Для доказательства теоремы рассмотрим стандартизированную случайную величину Z, которая определяется как:
Z = (X – np) / sqrt(np(1-p))
где np – среднее значение биномиального распределения, а sqrt(np(1-p)) – стандартное отклонение.
Используя центральную предельную теорему, мы можем сказать, что при больших значениях n, Z будет приближаться к стандартному нормальному распределению.
Теперь рассмотрим вероятность P(X <= x), где x - некоторое значение случайной величины X.
Мы можем переписать данную вероятность в виде:
P(X <= x) = P((X - np) / sqrt(np(1-p)) <= (x - np) / sqrt(np(1-p)))
Так как Z приближается к стандартному нормальному распределению, мы можем использовать таблицы стандартного нормального распределения для вычисления данной вероятности.
Таким образом, интегральная теорема Муавра-Лапласа позволяет приближенно вычислять вероятности биномиального распределения с помощью стандартного нормального распределения.
Примеры применения теоремы
Пример 1: Бросок монеты
Предположим, что мы бросаем симметричную монету 100 раз. Какова вероятность получить ровно 50 орлов?
Мы можем решить эту задачу с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа. В данном случае, вероятность успеха (орла) равна 0.5, а количество испытаний равно 100. Таким образом, мы имеем биномиальное распределение с параметрами n = 100 и p = 0.5.
Мы хотим найти вероятность P(X = 50), где X – количество орлов. Используя интегральную теорему Муавра-Лапласа, мы можем приближенно вычислить эту вероятность, используя стандартное нормальное распределение.
Для этого мы сначала вычисляем среднее значение и стандартное отклонение биномиального распределения:
Среднее значение (μ) = n * p = 100 * 0.5 = 50
Стандартное отклонение (σ) = sqrt(n * p * (1 – p)) = sqrt(100 * 0.5 * (1 – 0.5)) = sqrt(25) = 5
Затем мы стандартизируем значение X = 50, используя формулу Z = (X – μ) / σ:
Z = (50 – 50) / 5 = 0
Теперь мы можем использовать таблицу стандартного нормального распределения, чтобы найти вероятность P(Z ≤ 0). В таблице мы находим, что P(Z ≤ 0) = 0.5.
Таким образом, приближенная вероятность получить ровно 50 орлов при 100 бросках монеты равна 0.5.
Пример 2: Бросок кубика
Предположим, что мы бросаем справедливый шестигранный кубик 200 раз. Какова вероятность получить сумму очков от 600 до 800?
Мы можем решить эту задачу с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа. В данном случае, у нас есть 200 независимых испытаний, каждое из которых имеет равномерное распределение от 1 до 6.
Мы хотим найти вероятность P(600 ≤ X ≤ 800), где X – сумма очков. Используя интегральную теорему Муавра-Лапласа, мы можем приближенно вычислить эту вероятность, используя стандартное нормальное распределение.
Для этого мы сначала вычисляем среднее значение и стандартное отклонение суммы очков:
Среднее значение (μ) = n * (среднее значение каждого броска) = 200 * (среднее значение каждого броска) = 200 * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 700
Стандартное отклонение (σ) = sqrt(n * (дисперсия каждого броска)) = sqrt(200 * ((1 – (среднее значение каждого броска))^2 + (2 – (среднее значение каждого броска))^2 + … + (6 – (среднее значение каждого броска))^2) / 6) = sqrt(200 * ((1 – 3.5)^2 + (2 – 3.5)^2 + … + (6 – 3.5)^2) / 6) = sqrt(350)
Затем мы стандартизируем значения 600 и 800, используя формулу Z = (X – μ) / σ:
Z1 = (600 – 700) / sqrt(350) ≈ -2.68
Z2 = (800 – 700) / sqrt(350) ≈ 2.68
Теперь мы можем использовать таблицу стандартного нормального распределения, чтобы найти вероятность P(-2.68 ≤ Z ≤ 2.68). В таблице мы находим, что P(-2.68 ≤ Z ≤ 2.68) ≈ 0.996.
Таким образом, приближенная вероятность получить сумму очков от 600 до 800 при 200 бросках кубика равна 0.996.
Связь с другими теоремами
Интегральная теорема Муавра-Лапласа имеет связь с другими важными теоремами в теории вероятности.
Центральная предельная теорема
Интегральная теорема Муавра-Лапласа является частным случаем центральной предельной теоремы. Центральная предельная теорема утверждает, что сумма большого числа независимых и одинаково распределенных случайных величин стремится к нормальному распределению, независимо от их исходного распределения. Интегральная теорема Муавра-Лапласа является частным случаем этой теоремы для биномиального распределения.
Закон больших чисел
Интегральная теорема Муавра-Лапласа также связана с законом больших чисел. Закон больших чисел утверждает, что среднее значение большого числа независимых и одинаково распределенных случайных величин стремится к математическому ожиданию этих величин. Интегральная теорема Муавра-Лапласа позволяет оценить вероятность отклонения среднего значения от математического ожидания.
Таким образом, интегральная теорема Муавра-Лапласа является важным инструментом для аппроксимации биномиального распределения нормальным распределением и оценки вероятностей событий в биномиальном распределении.
Таблица сравнения интегральной теоремы Муавра-Лапласа
| Теорема | Формулировка | Условия применимости | Доказательство | Примеры применения | Связь с другими теоремами |
|---|---|---|---|---|---|
| Интегральная теорема Муавра-Лапласа | Описывает аппроксимацию биномиального распределения нормальным распределением |
|
Доказывается с помощью применения центральной предельной теоремы |
|
Связана с центральной предельной теоремой и теоремой Чебышева |
Заключение
Интегральная теорема Муавра-Лапласа является важным инструментом в теории вероятности. Она позволяет приближенно вычислять вероятности событий в случае большого числа испытаний и близкой к нормальному распределению случайной величины. Теорема имеет широкое применение в различных областях, таких как статистика, физика, экономика и другие. Понимание условий применимости и методов доказательства теоремы позволяет использовать ее эффективно и точно оценивать вероятности событий.
