Электрическое смещение и теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

Поэтому оказалось необхо­димым помимо вектора напряженности характеризовать поле еще вектором элек­трического смещения, который для элек­трически изотропной среды равен

D=₀E. (1)

Используя формулы  = 1+ и P = ₀E, век­тор электрического смещения можно вы­разить как

D=₀Е+Р (2)

Единица электрического смещения — Кулон на метр в квадрате (Кл/м²).

Связанные заряды появляются в диэлектрике при на­личии внешнего электростатического поля, создаваемого системой свободных элек­трических зарядов, т. е. в диэлектрике на электростатическое поле свободных заря­дов накладывается дополнительное поле связанных зарядов. Результирующее поле в диэлектрике описывается вектором на­пряженности Е, и потому он зависит от свойств диэлектрика. Вектором D описыва­ется электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами. Связанные заряды, возникающие в диэлектрике, могут вы­звать перераспределение свобод­ных зарядов, создающих поле. Поэтому вектор D характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распре­делении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Аналогично, как и поле Е, поле D изо­бражается с помощью линий электриче­ского смещения, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий напряженности.

Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах — свободных и связанных, в то время как линии вектора D — только на свободных зарядах. Через области поля, где находят­ся связанные заряды, линии вектора D про­ходят не прерываясь.

Для произвольной замкнутой повер­хности S поток вектора D сквозь эту по­верхность

(3)

Теорема Гаусса для электростатиче­ского поля в диэлектрике:

(4)

т. е. поток вектора смещения электроста­тического поля в диэлектрике сквозь про­извольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внут­ри этой поверхности свободных электриче­ских зарядов. В такой форме теорема Га­усса справедлива для электростатического поля как для однородной и изотропной, так и для неоднородной и анизотропной сред.

Выведем дифференциальную форму теоремы Гаусса для электростатиче­ского поля в диэлектрике. Применим (4) к малой поверхности S, ог­раничивающей малый объем V и содержащей заряд Q. Разделим обе части на V и перейдем к пределу при стремлении V к нулю:

(5)

Предел, стоящий в левой части выражения (5), определяет величину, называемую дивергенцией поля. Тогда выражение (5) можно записать

div D = , (6)

где  – объемная плотность свободного заряда.

Практический аспект теоремы Гаусса состоит в том, что с ее помощью рассчитываются симметричные элект­рические поля в неоднородных средах.