Комплексные числа: основные понятия и свойства

Понятие комплексного числа

Комплексные числа – это мнимые числа или выражение такого вида, как , где и – действительные числа (ещё про них говорят вещественные числа), а – это мнимая единица, символ, квадрат которого равен 1 . Число – действительная часть, – мнимая часть комплексного числа . Если тогда вместо пишется просто . Из вышесказанного понятно, что действительные числа – частный случай комплексных чисел.

С комплексными числами можно проводить разные арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление.

Рассмотрим уравнение . Его можно отнести к возведённому квадратному уравнению ., корни которого находятся по формуле .

Для данного случая получается:

.

Среди действительных чисел выражение не имеет смысла, то есть  не есть действительным числом. Запишем формально .

Символ принято обозначать буквой , то есть . Его называют мнимой единицей.

Корни нашего уравнения теперь запишутся:

.

Проверка:

Для имеем:

.

Аналогично для .

Значит, введение символа , где помогает нам записывать выражение для корней квадратного уравнения и тогда, когда дискриминант отрицательный.

Алгебраические формы комплексного числа

Определение

Алгебраические формы комплексного числа – это комплексное число в виде , где и  – действительные числа; число  называется действительной, а – мнимой частью комплексного числа.

Обозначения: ; символ формально определяется равенством называется мнимой единицей.

Два комплексных числа называются равными, если в соответствии равные их действительные и мнимые числа.

Ниже будут рассмотрены более подробно основные операции над комплексными числами в алгебраической форме.

Дальше договоримся выражения и т. д. считать комплексными числами, записанными в алгебраической форме, значит,   и т. п. приобретаются только действительные значения.

Пусть дано число . Если , тогда – действительное число: ; если тогда – это мнимое число:

Сложение и вычитание комплексных чисел

;

.

Допустим:

.

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел выполняется согласно правилу (считая, что ):

.

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел согласно правилу (при условии .

= = = = = .

Сопряженные комплексные числа

Сопряженные числа – это числа и . Таким образом, если и сопряженные числа, тогда и .

Очевидно, если – действительное число, тогда ; если – чисто мнимое число, тогда . Наоборот, если  и , тогда соответственно и – действительные и чисто мнимые числа.

Модуль комплексного числа

Модуль числа называется число .

Модуль действительного числа равняется его абсолютной величине. Правда, если , тогда .

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решения задач

Пример 1

Задача

Решить уравнение , где – действительные числа.

Решение

Из уравнения комплексных чисел получается: , . Решая эту систему, у нас получается , .

Ответ

, .

Рассмотрим на примере сложение и вычитание комплексных чисел.

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

Решение

Согласно формуле на сложение и отнимание комплексных чисел – .

Ответ

Рассмотрим на примере умножение комплексных чисел.

Пример 3

Задача

Найти произведение комплексных чисел и

Решение

Ответ

Делить комплексные числа необходимо исключительно ориентируясь на формулу. Покажем на примере, как находить частное.

Пример 4

Задача

Найти частное:

Решение

.

Ответ

.