Понятие комплексного числа

Комплексные числа – это мнимые числа или выражение такого вида, как a + bi, где a и b – действительные числа (ещё про них говорят вещественные числа), а i – это мнимая единица, символ, квадрат которого равен 1 (i^2 = - 1). Число a – действительная часть, b – мнимая часть комплексного числа z = a + bi. Если b = 0 тогда вместо a + 0i пишется просто a. Из вышесказанного понятно, что действительные числа – частный случай комплексных чисел.

С комплексными числами можно проводить разные арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление.

Рассмотрим уравнение x^2 + 6x + 13 = 0. Его можно отнести к возведённому квадратному уравнению x^2 + px + q = 0., корни которого находятся по формуле {x_1_2} = -{p\over{2}} \pm\sqrt{({p\over{2}})}^2 - q.

Для данного случая получается:

x_1_2 = -3\pm\sqrt{9 - 13} = -3\pm\sqrt{-4}.

Среди действительных чисел выражение \sqrt{-4} не имеет смысла, то есть \sqrt{-4} не есть действительным числом. Запишем формально \sqrt{-4} = \sqrt{4} * \sqrt{-1} = 2\sqrt{-1}.

Символ \sqrt{-1} принято обозначать буквой i, то есть \sqrt{-1} = i. Его называют мнимой единицей.

Корни нашего уравнения x^2 + 6x + 13 = 0 теперь запишутся:

x_{1} = -3 + 2i. x_{2} = -3 - 2i.

Проверка:

Для x_{1} = -3 + 2i имеем:

(-3 + 2i)^2 + 6(-3 + 2i) + 13 = 9 - 12i - 4 - 18 + 12i + 13 = 0.

Аналогично для x_{2} = -3 - 2i.

Значит, введение символа i, где i^2 = -1 помогает нам записывать выражение для корней квадратного уравнения и тогда, когда дискриминант отрицательный.

Алгебраические формы комплексного числа

Определение
Алгебраические формы комплексного числа – это комплексное число z в виде z = a + bi, где a и b  – действительные числа; число a  называется действительной, а b – мнимой частью комплексного числа.

Обозначения: a = Rez, b = Im z; символ i формально определяется равенством l^2 = -1 называется мнимой единицей.

Два комплексных числа называются равными, если в соответствии равные их действительные и мнимые числа.

Ниже будут рассмотрены более подробно основные операции над комплексными числами в алгебраической форме.

Дальше договоримся выражения z = a + bi, z = x + iy, w = u + iv и т. д. считать комплексными числами, записанными в алгебраической форме, значит,  a, b, x, u, v и т. п. приобретаются только действительные значения.

Пусть дано число z = a + bi. Если IM z = 0, тогда z – действительное число: z = x + 0 * i = x; если Re z = 0 тогда z – это мнимое число: z = 0 + iy = iy

Сложение и вычитание комплексных чисел

z_{1} + z_{2} = (a_{1} + b_{1}i) + a_{2} + b_{2}i) = (a_{1} + a_{2}) + b_{1} + b_{2})i;

z_{1} - z_{2} = (a_{1} - a_{2}) + (b_{1} - b_{2})i.

Допустим:

z_{1} + z_{2} = -(-7 + 4i) - (-12 + 2i) = -7 + 4i + 12 - 2i = 5 + 2i.

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел выполняется согласно правилу (считая, что i^2 = -1):

z_{1}z_{2} = (a_{1} + b_{1}i) = a_{1}a_{2} + a_{1}b_{2}i + b_{1}a_{2}i + b_{1}b_{2}i^2 = (a_{1}a_{2} - b_{1}b_{2}) + i(a_{1}b_{2} + b_{1}a_{2}).

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел согласно правилу (при условии \omega\neq{0}.

{z\over{\omega}} = {x + iy\over{u + iv}} = {(x + iy)(u - iv)\over{(u + iv)(u - iv)}} = {xu - xvi + yui - yvi^2\over{u^2 + v^2}} = {(xu + yv) + i(yu - xv)\over{u^2 + v^2}} = {xu + yv\over{y^2 + v^2}} + i{yu - xv\over{u^2 + v^2}}.

Сопряженные комплексные числа

Сопряженные числа – это числа z = a + bi и \overline{z} = a - bi. Таким образом, если z_{1} и z_{2} сопряженные числа, тогда Re z_{1} = Re z_{2} и Im z_{1} = -IM z_{2}.

Очевидно, если z = x – действительное число, тогда z = \overline{z}; если \omega – чисто мнимое число, тогда \omega = \overline{\omega}. Наоборот, если z = \overline{z} и \omega = -\overline{\omega}, тогда соответственно z и \omega – действительные и чисто мнимые числа.

Модуль комплексного числа

Модуль числа z = kx + b называется число |z| = \sqrt{x^2 + y^2}.

Модуль действительного числа равняется его абсолютной величине. Правда, если z = x + 0 * i, тогда |z| = \sqrt{x^2 + 0^2} = \sqrt{x^2} = |x|.

Примеры решения задач

Пример 1

Задача

Решить уравнение (2x - y) + i(x + y) = 5 - 2i, где x, y – действительные числа.

Решение

Из уравнения комплексных чисел получается: 2x - y = 5, x + y = -2. Решая эту систему, у нас получается x = 1, y = -3.

Ответ

x = 1, y = -3.

Рассмотрим на примере сложение и вычитание комплексных чисел.

Пример 2

Задача

Решить уравнение: z_{1} + z_{2} = -(-7 + 4i) - (-12 + 2i)

Решение

Согласно формуле на сложение и отнимание комплексных чисел – z_{1} + z_{2} = -(-7 + 4i) - (-12 + 2i) = -7 + 4i + 12 - 2i = 5 + 2i.

Ответ

5 + 2i

Рассмотрим на примере умножение комплексных чисел.

Пример 3

Задача

Найти произведение комплексных чисел z_{1} = 2 + 3i и z_{2} = -1 + i

Решение

z_{1} * z_{2} = (2 + 3i)(-1 + i) = 2 * (-1) + 2 * i + 3i * (-1) + 3i x i = -2 + 2i - 3i + 3i^2 = -2 - i + 3 * -1 = -5 - i

Ответ

z_{1}z_{2} = - 5 - i

Делить комплексные числа необходимо исключительно ориентируясь на формулу. Покажем на примере, как находить частное.

Пример 4

Задача

Найти частное: {2 - 3i\over{-1 - 2i}}

Решение

{2 - 3i\over{-1 - 2i}} = {(2 - 3i)(-1 + 2i)\over{(-1 - 2i)(-1 + 2i)}} = {-2 + 3i + 4i - 6i^2\over{(-1)^2 - (2i)^2}} = {4 + 7i\over{5}} = {4\over{5}} + {7\over{5}}i.

Ответ

{2 - 3i\over{-1 - 2i}} = {4\over{5}} + {7\over{5}}i.