Математическое описание дискретных систем автоматического управления: основы и свойства

Введение

В данной лекции мы будем изучать дискретные системы автоматического управления (САУ). Дискретные САУ являются основой для многих современных технологий и устройств, таких как компьютеры, роботы, автомобильные системы и другие. Они позволяют нам управлять и контролировать различные процессы и системы с помощью алгоритмов и компьютерных программ.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Определение дискретных САУ

Дискретные системы автоматического управления (САУ) – это системы, в которых время является дискретным параметром. В отличие от непрерывных САУ, где время изменяется непрерывно, в дискретных САУ время разбивается на дискретные интервалы или шаги.

Дискретные САУ широко применяются в различных областях, таких как робототехника, автоматизация производства, управление технологическими процессами и другие. Они позволяют решать задачи управления и регулирования с высокой точностью и эффективностью.

Основными компонентами дискретной САУ являются:

• Датчики – устройства, которые измеряют состояние системы или ее параметры и преобразуют их в электрический сигнал.
• Актуаторы – устройства, которые преобразуют электрический сигнал в физическое действие, например, движение мотора или изменение уровня сигнала.
• Контроллеры – устройства, которые обрабатывают измеренные данные и генерируют управляющий сигнал для актуаторов.

Дискретные САУ могут быть представлены математическими моделями, которые описывают их поведение и позволяют анализировать их характеристики. Одним из основных инструментов для анализа дискретных САУ является передаточная функция, которая связывает входной и выходной сигналы системы.

Математическое описание дискретных САУ

Дискретные системы автоматического управления (САУ) могут быть описаны с помощью математических моделей, которые представляют их поведение в дискретном времени. Математическое описание дискретных САУ основано на использовании разностных уравнений.

Разностные уравнения

Разностное уравнение – это уравнение, которое связывает значения сигналов в различные моменты времени. В дискретных САУ разностные уравнения используются для описания динамики системы.

Разностные уравнения могут быть линейными или нелинейными. Линейные разностные уравнения имеют вид:

y[k] = a0*x[k] + a1*x[k-1] + a2*x[k-2] + … + an*x[k-n] + b0*y[k-1] + b1*y[k-2] + … + bm*y[k-m]

где y[k] – выходной сигнал в момент времени k, x[k] – входной сигнал в момент времени k, a0, a1, …, an – коэффициенты, определяющие влияние входного сигнала на выходной, b0, b1, …, bm – коэффициенты, определяющие влияние предыдущих выходных сигналов на текущий выходной.

Нелинейные разностные уравнения могут иметь более сложный вид и зависеть от различных параметров и функций.

Передаточная функция дискретной САУ

Передаточная функция – это математическое выражение, которое связывает входной и выходной сигналы системы. В дискретных САУ передаточная функция может быть определена как отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при условии, что все начальные условия равны нулю.

Передаточная функция дискретной САУ имеет вид:

H(z) = Y(z)/X(z)

где H(z) – передаточная функция, Y(z) – преобразование Лапласа выходного сигнала, X(z) – преобразование Лапласа входного сигнала.

Передаточная функция позволяет анализировать и предсказывать поведение дискретной САУ при различных входных сигналах и параметрах системы.

Дискретные модели систем

Дискретные модели систем используются для описания и анализа дискретных систем автоматического управления (САУ). Дискретные системы отличаются от непрерывных систем тем, что их входные и выходные сигналы определены только в дискретные моменты времени.

Дискретные модели систем могут быть представлены в виде разностных уравнений или передаточных функций. Разностные уравнения описывают зависимость выходного сигнала от входного сигнала и предыдущих значений выходного и входного сигналов. Передаточные функции, с другой стороны, описывают отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала.

Дискретные модели систем могут быть линейными или нелинейными. Линейные модели предполагают, что выходной сигнал системы является линейной комбинацией входного сигнала и предыдущих значений выходного сигнала. Нелинейные модели, с другой стороны, учитывают нелинейные зависимости между входным и выходным сигналами.

Дискретные модели систем могут быть также стохастическими или детерминированными. Детерминированные модели предполагают, что входные сигналы и параметры системы являются точно известными и неизменными. Стохастические модели, с другой стороны, учитывают случайные воздействия и неопределенности в системе.

Дискретные модели систем являются важным инструментом для анализа и проектирования дискретных систем автоматического управления. Они позволяют предсказывать поведение системы при различных входных сигналах и параметрах системы, а также оптимизировать ее производительность и устойчивость.

Разностные уравнения

Разностные уравнения являются основным инструментом для описания дискретных систем автоматического управления. Они представляют собой уравнения, связывающие значения сигналов и параметров системы в различные моменты времени.

Разностные уравнения могут быть линейными или нелинейными, стационарными или нестационарными. Линейные разностные уравнения имеют линейные зависимости между сигналами и параметрами системы, в то время как нелинейные разностные уравнения содержат нелинейные функции.

Стационарные разностные уравнения предполагают, что параметры системы не меняются со временем, в то время как нестационарные разностные уравнения учитывают изменение параметров системы.

Разностные уравнения могут быть записаны в различных формах, таких как форма разностного уравнения, форма разностного уравнения с оператором задержки и форма разностного уравнения с оператором суммирования.

Разностные уравнения позволяют анализировать и моделировать дискретные системы автоматического управления, предсказывать их поведение и оптимизировать их производительность и устойчивость.

Передаточная функция дискретной САУ

Передаточная функция является одним из основных инструментов для анализа и проектирования систем автоматического управления. Она описывает связь между входным и выходным сигналами системы.

Передаточная функция дискретной САУ представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при условии, что система является дискретной и имеет постоянные параметры.

Передаточная функция обычно обозначается символом G(z), где z – переменная преобразования Лапласа, которая представляет собой комплексное число.

Передаточная функция дискретной САУ может быть представлена в виде дробно-рациональной функции, где числитель и знаменатель являются полиномами от переменной z.

Пример передаточной функции дискретной САУ:

G(z) = (b0 + b1*z^(-1) + b2*z^(-2)) / (a0 + a1*z^(-1) + a2*z^(-2))

В данном примере числитель представлен полиномом b0 + b1*z^(-1) + b2*z^(-2), а знаменатель – полиномом a0 + a1*z^(-1) + a2*z^(-2).

Передаточная функция дискретной САУ позволяет анализировать и оптимизировать систему, а также проектировать регуляторы и компенсаторы для достижения требуемых характеристик системы.

Свойства передаточной функции

Передаточная функция дискретной системы автоматического управления (САУ) имеет ряд свойств, которые позволяют анализировать и оптимизировать систему. Вот некоторые из них:

Устойчивость

Передаточная функция является устойчивой, если все ее полюса (корни знаменателя) лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости z. Устойчивая система имеет ограниченные и ограничиваемые выходные значения при ограниченных входных значениях.

Нестационарность

Передаточная функция может быть стационарной или нестационарной. Стационарная функция не зависит от времени и имеет постоянные коэффициенты. Нестационарная функция, напротив, зависит от времени и может иметь изменяющиеся коэффициенты.

Полюса и нули

Полюса передаточной функции представляют собой значения переменной z, при которых знаменатель равен нулю. Нули передаточной функции представляют собой значения переменной z, при которых числитель равен нулю. Полюса и нули определяют динамические свойства системы, такие как устойчивость, колебательность и амплитудно-частотные характеристики.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

Амплитудно-частотная характеристика передаточной функции показывает зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты входного сигнала при постоянной фазе. АЧХ может быть использована для анализа частотных характеристик системы и определения ее устойчивости и пропускной способности.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ)

Фазочастотная характеристика передаточной функции показывает зависимость фазы выходного сигнала от частоты входного сигнала при постоянной амплитуде. ФЧХ также может быть использована для анализа частотных характеристик системы и определения ее устойчивости и фазовой задержки.

Эти свойства передаточной функции помогают инженерам и научным работникам анализировать и проектировать системы автоматического управления для достижения требуемых характеристик и оптимальной работы.

Примеры дискретных САУ

Регулятор температуры в помещении

Один из примеров дискретной системы автоматического управления (САУ) – это регулятор температуры в помещении. В этой системе датчик измеряет текущую температуру в помещении, а регулятор сравнивает ее с заданной температурой. Если текущая температура ниже заданной, регулятор включает нагревательный элемент, чтобы повысить температуру. Если текущая температура выше заданной, регулятор выключает нагревательный элемент. Таким образом, регулятор поддерживает заданную температуру в помещении.

Автоматическая система полива растений

Другой пример дискретной САУ – это автоматическая система полива растений. В этой системе датчик влажности земли измеряет уровень влажности почвы, а регулятор сравнивает его с заданным уровнем влажности. Если уровень влажности ниже заданного, регулятор включает насос для полива растений. Если уровень влажности достигает заданного значения, регулятор выключает насос. Таким образом, регулятор поддерживает оптимальный уровень влажности почвы для растений.

Автоматическая система стабилизации квадрокоптера

Еще один пример дискретной САУ – это автоматическая система стабилизации квадрокоптера. В этой системе гироскопы и акселерометры измеряют углы наклона и ускорения квадрокоптера, а регулятор сравнивает их с заданными значениями. Регулятор управляет моторами квадрокоптера, чтобы компенсировать любые отклонения от заданных значений и поддерживать стабильное положение квадрокоптера в воздухе.

Это лишь несколько примеров дискретных систем автоматического управления, которые используются в различных областях, таких как промышленность, энергетика, транспорт и домашние устройства. Эти системы помогают автоматизировать процессы, повышать эффективность и обеспечивать надежность в различных приложениях.

Таблица свойств передаточной функции

Заключение

В данной лекции мы рассмотрели основные понятия и свойства дискретных систем автоматического управления. Мы изучили математическое описание таких систем, разностные уравнения и передаточную функцию. Также рассмотрели примеры дискретных САУ. Эти знания помогут нам лучше понять и анализировать работу автоматических систем управления в дискретном времени.