Основные признаки сходимости рядов: понятно и просто

Введение

В этой лекции мы будем изучать ряды и их сходимость. Ряды – это сумма бесконечного числа слагаемых, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Однако не все ряды сходятся, и поэтому мы будем рассматривать необходимый признак сходимости ряда. Этот признак позволяет определить, сходится ли ряд или нет, и если да, то с какой точностью. Мы также рассмотрим свойства рядов, сходящихся по необходимому признаку, и рассмотрим примеры применения этого признака. Давайте начнем изучение рядов и их сходимости!

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Определение ряда

Ряд – это математический объект, состоящий из бесконечного числа слагаемых, которые суммируются в определенном порядке.

Обычно ряд обозначается символом ∑ (сумма) и записывается в виде:

∑ a_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + …

где a_n – n-й член ряда.

Ряд может быть бесконечным или конечным. В случае бесконечного ряда, сумма всех его слагаемых может быть как конечной, так и бесконечной.

Для определения сходимости или расходимости ряда используются различные признаки и теоремы.

Определение сходимости ряда

Ряд называется сходящимся, если существует конечная сумма его членов. Иначе говоря, сходимость ряда означает, что приближаясь к бесконечности, сумма всех слагаемых ряда стремится к некоторому конечному числу.

Формально, ряд сходится, если существует число S, такое что для любого положительного числа ε существует натуральное число N, такое что для всех n > N выполняется неравенство:

|a_N+1 + a_N+2 + … + a_n| < ε

где a_n – n-й член ряда.

Если ряд не является сходящимся, то он называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости ряда

Необходимый признак сходимости ряда – это условие, которое должно выполняться для того, чтобы ряд сходился. Если это условие не выполняется, то ряд расходится.

Необходимый признак сходимости ряда утверждает, что если ряд сходится, то его общий член должен стремиться к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

Формально, если ряд сходится, то для его общего члена a_n должно выполняться следующее условие:

lim_n→∞ a_n = 0

Это означает, что приближаясь к бесконечности, общий член ряда должен стремиться к нулю.

Однако важно понимать, что выполнение этого условия не является достаточным для сходимости ряда. То есть, если общий член ряда стремится к нулю, это не означает, что ряд обязательно сходится. Существуют и другие признаки сходимости, которые могут быть необходимыми и достаточными условиями для сходимости ряда.

Свойства рядов, сходящихся по необходимому признаку

Если ряд сходится по необходимому признаку, то у него имеются следующие свойства:

Линейная комбинация

Если ряды A и B сходятся по необходимому признаку, то их линейная комбинация, то есть ряд, полученный путем сложения или вычитания соответствующих членов рядов A и B, также сходится по необходимому признаку.

Умножение на константу

Если ряд A сходится по необходимому признаку, то умножение его всех членов на константу также дает сходящийся ряд.

Сумма конечного числа рядов

Если ряды A₁, A₂, …, A_n сходятся по необходимому признаку, то их сумма, то есть ряд, полученный путем сложения соответствующих членов рядов A₁, A₂, …, A_n, также сходится по необходимому признаку.

Удаление или добавление конечного числа членов

Если из сходящегося ряда A удалить или добавить конечное число членов, то полученный ряд также будет сходиться по необходимому признаку.

Перестановка членов

Если ряд A сходится по необходимому признаку, то любая перестановка его членов, то есть ряд, полученный путем изменения порядка членов ряда A, также сходится по необходимому признаку.

Эти свойства позволяют нам удобно работать с рядами, сходящимися по необходимому признаку, и применять различные операции для получения новых рядов.

Примеры применения необходимого признака сходимости рядов

Пример 1: Гармонический ряд

Рассмотрим ряд, состоящий из обратных чисел:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …

Для проверки сходимости этого ряда, мы можем использовать необходимый признак сходимости. В данном случае, необходимый признак гласит, что если ряд сходится, то его общий член должен стремиться к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

В нашем случае, общий член ряда равен 1/n. При n, стремящемся к бесконечности, 1/n будет стремиться к нулю. Таким образом, общий член ряда удовлетворяет необходимому признаку сходимости.

Следовательно, гармонический ряд сходится по необходимому признаку.

Пример 2: Ряд с положительными членами

Рассмотрим ряд, состоящий из положительных чисел:

1 + 2 + 3 + 4 + …

Для проверки сходимости этого ряда, мы также можем использовать необходимый признак сходимости. В данном случае, необходимый признак гласит, что если ряд сходится, то его общий член должен стремиться к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

В нашем случае, общий член ряда равен n. Очевидно, что при n, стремящемся к бесконечности, общий член ряда не будет стремиться к нулю. Таким образом, общий член ряда не удовлетворяет необходимому признаку сходимости.

Следовательно, ряд с положительными членами расходится по необходимому признаку.

Это были примеры применения необходимого признака сходимости рядов. Необходимый признак позволяет нам определить, сходится ли ряд или расходится, и является одним из основных инструментов в анализе рядов.

Заключение

В этой лекции мы рассмотрели основные определения и свойства рядов. Ряд представляет собой сумму бесконечного числа слагаемых, а его сходимость означает, что сумма ряда имеет конечное значение. Мы изучили необходимый признак сходимости ряда, который позволяет определить, сходится ли ряд или нет. Также мы рассмотрели некоторые примеры применения этого признака. Понимание этих концепций поможет нам в дальнейшем изучении математического анализа и его приложений.