О чем статья
Введение
В статистике оценка дисперсии является важным понятием, которое позволяет измерить разброс данных вокруг их среднего значения. Однако, чтобы получить точную оценку дисперсии, необходимо использовать несмещенную оценку. В данном плане мы рассмотрим, что такое несмещенная оценка дисперсии, как ее вычислить и какие свойства она обладает. Также мы рассмотрим пример использования формулы для несмещенной оценки дисперсии. Давайте начнем!
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Оценка дисперсии
Оценка дисперсии – это статистическая мера, которая позволяет оценить разброс значений вокруг среднего значения выборки. Дисперсия является одной из основных характеристик распределения данных и позволяет понять, насколько значения выборки отклоняются от среднего значения.
Дисперсия обычно обозначается как σ² (сигма в квадрате) и вычисляется путем нахождения среднего квадратичного отклонения от среднего значения выборки. Однако, чтобы получить точную оценку дисперсии для всей генеральной совокупности, нам нужно знать все значения в генеральной совокупности, что часто невозможно. Поэтому мы используем оценку дисперсии на основе выборки.
Оценка дисперсии на основе выборки позволяет нам приближенно оценить дисперсию генеральной совокупности, используя только данные из выборки. Она является статистической оценкой и может быть смещенной или несмещенной.
Несмещенная оценка
Несмещенная оценка – это оценка параметра, которая в среднем равна истинному значению параметра. В контексте оценки дисперсии, несмещенная оценка дисперсии означает, что среднее значение оценки дисперсии равно истинной дисперсии генеральной совокупности.
Формально, пусть X1, X2, …, Xn – случайная выборка из генеральной совокупности. Оценка дисперсии S^2 называется несмещенной, если E(S^2) = σ^2, где E(S^2) – математическое ожидание оценки дисперсии, а σ^2 – истинная дисперсия генеральной совокупности.
Несмещенная оценка дисперсии является важным свойством, так как она позволяет нам получить более точную оценку дисперсии генеральной совокупности на основе выборки. Она учитывает случайность выборки и позволяет учесть различия между выборкой и генеральной совокупностью.
Формула для несмещенной оценки дисперсии
Формула для несмещенной оценки дисперсии основана на выборочных данный и позволяет нам оценить дисперсию генеральной совокупности на основе выборки. Формула выглядит следующим образом:
S^2 = (1 / (n – 1)) * Σ(xi – x̄)^2
где:
- S^2 – несмещенная оценка дисперсии
- n – размер выборки
- Σ – сумма
- xi – значение i-го элемента выборки
- x̄ – среднее значение выборки
Формула позволяет нам вычислить несмещенную оценку дисперсии, учитывая различия между выборкой и генеральной совокупностью. Здесь мы вычитаем среднее значение выборки из каждого элемента выборки, возводим результат в квадрат и суммируем все значения. Затем делим полученную сумму на (n – 1), где n – размер выборки, чтобы получить несмещенную оценку дисперсии.
Пример использования формулы
Допустим, у нас есть выборка из 5 значений: 10, 12, 15, 18, 20. Мы хотим вычислить несмещенную оценку дисперсии для этой выборки.
Шаг 1: Вычисляем среднее значение выборки:
x̄ = (10 + 12 + 15 + 18 + 20) / 5 = 15.
Шаг 2: Вычисляем разницу между каждым значением выборки и средним значением:
(10 – 15) = -5
(12 – 15) = -3
(15 – 15) = 0
(18 – 15) = 3
(20 – 15) = 5
Шаг 3: Возводим каждую разницу в квадрат:
(-5)^2 = 25
(-3)^2 = 9
(0)^2 = 0
(3)^2 = 9
(5)^2 = 25
Шаг 4: Суммируем все полученные значения:
25 + 9 + 0 + 9 + 25 = 68
Шаг 5: Делим полученную сумму на (n – 1), где n – размер выборки:
68 / (5 – 1) = 17
Таким образом, несмещенная оценка дисперсии для данной выборки равна 17.
Свойства несмещенной оценки дисперсии
Несмещенная оценка дисперсии имеет несколько важных свойств:
Близость к истинному значению
Несмещенная оценка дисперсии стремится к истинному значению дисперсии при увеличении размера выборки. Это означает, что с увеличением количества наблюдений оценка становится все более точной и приближается к истинному значению дисперсии.
Сохранение свойств дисперсии
Несмещенная оценка дисперсии сохраняет основные свойства дисперсии. Например, если исходная случайная величина умножается на константу, то несмещенная оценка дисперсии также будет умножена на эту константу в квадрате.
Использование в статистических тестах
Несмещенная оценка дисперсии широко используется в статистических тестах и анализе данных. Она позволяет оценить разброс значений в выборке и сравнивать различные группы или условия на основе их дисперсии.
Сравнение различных выборок
Несмещенная оценка дисперсии позволяет сравнивать различные выборки и оценивать, насколько они отличаются друг от друга. Сравнение дисперсий может помочь выявить статистически значимые различия между группами или условиями.
Важно помнить, что несмещенная оценка дисперсии является только оценкой и может отличаться от истинного значения дисперсии. Однако, при правильном использовании и достаточном размере выборки, она обычно дает достаточно точные результаты.
Таблица сравнения оценок дисперсии
| Оценка | Определение | Формула | Свойства |
|---|---|---|---|
| Несмещенная оценка | Оценка дисперсии, которая не завышает и не занижает истинное значение дисперсии |
|
1. Сумма несмещенных оценок равна истинной дисперсии 2. Используется для выборочных данных |
| Смещенная оценка | Оценка дисперсии, которая может завышать или занижать истинное значение дисперсии |
|
1. Сумма смещенных оценок может отличаться от истинной дисперсии 2. Используется для генеральной совокупности |
![\[s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\]](https://nauchniestati.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8764f7bda98c952d82ce92c60f3de1e0_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\]](https://nauchniestati.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a23779c149a7268f410fa8fd876be74a_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Заключение
Оценка дисперсии является важным понятием в статистике, которое позволяет измерить разброс данных относительно их среднего значения. Несмещенная оценка дисперсии является предпочтительным выбором, так как она не завышает и не занижает истинное значение дисперсии. Формула для несмещенной оценки дисперсии позволяет вычислить эту оценку на основе выборки данных. Свойства несмещенной оценки дисперсии включают то, что она является состоятельной и эффективной. Понимание и использование оценки дисперсии является важным навыком для анализа данных и принятия обоснованных выводов.
