О чем статья
Введение
В теории игр изучаются стратегии и принятие решений в ситуациях, где взаимодействуют несколько участников. Одной из основных форм игры является статическая байесовская игра, которая моделирует ситуации, где игроки имеют неполную информацию о стратегиях других игроков.
В данной лекции мы рассмотрим определение статической байесовской игры и ее представление в нормальной форме. Мы также изучим основные элементы и свойства нормальной формы представления игры.
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Определение статической байесовской игры
Статическая байесовская игра – это модель игры, в которой игроки принимают решения одновременно, но с неполной информацией о типах других игроков. В такой игре каждый игрок имеет свою информацию о вероятностях, с которыми другие игроки могут иметь различные типы. Типы игроков определяют их предпочтения и возможности действий.
Статическая байесовская игра состоит из следующих элементов:
- Множество игроков: определяет количество игроков, участвующих в игре.
- Множество типов: каждый игрок имеет свой тип, который определяет его предпочтения и возможности действий.
- Множество стратегий: каждый игрок выбирает свою стратегию из множества доступных ему стратегий.
- Функции выигрыша: определяют выигрыш каждого игрока в зависимости от выбранных им стратегий и типов других игроков.
- Функции вероятности: определяют вероятности различных типов игроков.
Статическая байесовская игра может быть представлена в нормальной форме, где каждый игрок выбирает свою стратегию одновременно, а выигрыш определяется комбинацией выбранных стратегий и типов игроков.
Понятие нормальной формы представления игры
Нормальная форма представления игры – это один из способов математического описания игры, который позволяет формализовать стратегии и выигрыши игроков. В нормальной форме игра представляется в виде матрицы, где каждый игрок выбирает свою стратегию, а выигрыш определяется комбинацией выбранных стратегий.
В нормальной форме игра состоит из следующих элементов:
- Множество игроков: определяет, кто участвует в игре. Каждый игрок имеет свои стратегии, из которых он выбирает одну.
- Множество стратегий: каждый игрок выбирает свою стратегию из множества доступных ему стратегий.
- Функции выигрыша: определяют выигрыш каждого игрока в зависимости от выбранных им стратегий и стратегий других игроков.
Нормальная форма представления игры позволяет анализировать игру и находить оптимальные стратегии для каждого игрока. Она является одним из основных инструментов в теории игр и используется для изучения различных типов игр, включая статические байесовские игры.
Основные элементы нормальной формы
Нормальная форма представления игры включает в себя несколько основных элементов:
Множество игроков
Игра может включать любое количество игроков, от двух и более. Каждый игрок имеет свои собственные стратегии, из которых он выбирает одну для игры.
Множество стратегий
Для каждого игрока определено множество стратегий, из которых он может выбрать одну. Стратегия представляет собой план действий игрока в игре.
Функции выигрыша
Функции выигрыша определяют выигрыш каждого игрока в зависимости от выбранных им стратегий и стратегий других игроков. Они могут быть заданы в виде чисел или матрицы.
Равновесие
В нормальной форме игры ищется равновесие, при котором ни один игрок не может улучшить свой выигрыш, выбирая другую стратегию, при условии, что остальные игроки остаются при своих стратегиях. Такое равновесие называется равновесием по Нэшу.
Эти основные элементы позволяют анализировать игру и находить оптимальные стратегии для каждого игрока. Нормальная форма представления игры является одним из основных инструментов в теории игр и используется для изучения различных типов игр, включая статические байесовские игры.
Примеры статических байесовских игр в нормальной форме
Статическая байесовская игра – это игра, в которой игроки принимают решения одновременно, но каждый игрок имеет неполную информацию о стратегиях других игроков. В таких играх игроки принимают решения на основе своих вероятностных ожиданий относительно стратегий других игроков.
Пример 1: Игра “Рынок”
Рассмотрим игру “Рынок”, в которой два игрока, Алиса и Боб, конкурируют на рынке. Каждый игрок может выбрать одну из двух стратегий: “Высокая цена” или “Низкая цена”. Однако каждый игрок имеет неполную информацию о том, какую стратегию выбрал другой игрок.
Матрица выигрышей для этой игры может выглядеть следующим образом:
| Алиса: Высокая цена | Алиса: Низкая цена | |
|---|---|---|
| Боб: Высокая цена | 1, 1 | 0, 0 |
| Боб: Низкая цена | 0, 0 | 2, 2 |
В этой игре каждый игрок выбирает свою стратегию, не зная, какую стратегию выбрал другой игрок. Их выигрыш зависит от выбранных стратегий обоих игроков. Например, если оба игрока выбирают “Высокую цену”, то каждый из них получает выигрыш 1. Если оба игрока выбирают “Низкую цену”, то каждый из них получает выигрыш 2.
Пример 2: Игра “Аукцион”
Рассмотрим игру “Аукцион”, в которой два игрока, Алиса и Боб, участвуют в аукционе за некий предмет. Каждый игрок делает ставку, и игрок с наивысшей ставкой выигрывает предмет и платит свою ставку.
Матрица выигрышей для этой игры может выглядеть следующим образом:
| Алиса: Ставка 1 | Алиса: Ставка 2 | |
|---|---|---|
| Боб: Ставка 1 | 0, 0 | 1, -1 |
| Боб: Ставка 2 | -1, 1 | 0, 0 |
В этой игре каждый игрок делает ставку, не зная, какую ставку сделает другой игрок. Их выигрыш зависит от сделанных ставок обоих игроков. Например, если Алиса делает ставку 1, а Боб делает ставку 2, то Алиса получает выигрыш -1, а Боб получает выигрыш 1.
Это лишь два примера статических байесовских игр в нормальной форме. В реальности таких игр может быть множество, и анализ их стратегий и равновесий по Нэшу является важной задачей в теории игр.
Свойства нормальной формы представления статических байесовских игр
Нормальная форма представления статических байесовских игр имеет несколько свойств, которые помогают нам анализировать их стратегии и равновесия по Нэшу. Вот некоторые из этих свойств:
Конечное число игроков и стратегий
В нормальной форме представления статических байесовских игр число игроков и стратегий для каждого игрока является конечным. Это позволяет нам анализировать игру с помощью матрицы, где каждая ячейка представляет себя выигрыш игрока при определенных стратегиях всех игроков.
Информационные множества
В статических байесовских играх игроки могут иметь различную информацию о стратегиях других игроков. Информационное множество – это множество стратегий, которые игрок считает равновероятными для других игроков. В нормальной форме представления игры информационные множества помогают нам учитывать неопределенность в принятии решений игроками.
Равновесие по Нэшу
Нормальная форма представления статических байесовских игр позволяет нам определить равновесие по Нэшу. Равновесие по Нэшу – это набор стратегий, при котором ни один игрок не может улучшить свой выигрыш, если остальные игроки остаются при своих стратегиях. В статических байесовских играх равновесие по Нэшу учитывает не только стратегии игроков, но и их вероятностные ожидания относительно стратегий других игроков.
Решение игры
Нормальная форма представления статических байесовских игр позволяет нам найти решение игры, то есть определить оптимальные стратегии для каждого игрока. Решение игры может быть найдено путем анализа равновесий по Нэшу или с помощью других методов, таких как доминирующие стратегии или смешанные стратегии.
Это лишь некоторые из свойств нормальной формы представления статических байесовских игр. Изучение этих свойств помогает нам лучше понять и анализировать такие игры и принимать более обоснованные решения в реальных ситуациях.
Сравнительная таблица статических байесовских игр
| Свойство | Определение | Пример |
|---|---|---|
| Статическая байесовская игра | Игра, в которой игроки принимают решения одновременно и имеют неполную информацию о типах других игроков. | Игра, в которой два игрока одновременно выбирают стратегии, но каждый из них знает только свой тип, а не типы других игроков. |
| Нормальная форма | Представление игры в виде матрицы, где каждый игрок выбирает стратегию, а выигрыши определяются соответствующими комбинациями стратегий. | Игра “Камень, ножницы, бумага”, где игроки выбирают одну из трех стратегий: камень, ножницы или бумагу. |
| Элементы нормальной формы | Игроки, стратегии, выигрыши. | В игре “Шахматы” игроки – белые и черные, стратегии – ходы фигур, выигрыши – победа, поражение или ничья. |
| Свойства нормальной формы | Равновесие по Нэшу, доминирующие стратегии, смешанные стратегии. | В игре “Улитка и заяц” равновесие по Нэшу достигается, когда заяц бежит со средней скоростью, а улитка ползет со своей максимальной скоростью. |
Заключение
В данной лекции мы рассмотрели статические байесовские игры и их представление в нормальной форме. Мы определили основные элементы игры, такие как игроки, стратегии и выигрыши, и рассмотрели примеры таких игр. Также мы обсудили свойства нормальной формы представления статических байесовских игр. Это позволяет нам анализировать и прогнозировать поведение игроков в условиях неопределенности. Изучение теории игр и статических байесовских игр может быть полезным для принятия решений в различных областях, таких как экономика, политика и бизнес.
