Понятие обратной матрицы
Обратная матрица действует только для квадратных матриц с определителями, которые отличны от нуля. Это невырожденные матрицы
Обратная матрица лучше всего рассматривается на примере квадратной матрицы третьего порядка, которую по аналогии можно будет обобщить для матриц произвольного порядка.
Пусть
[stextbox id=”info” defcaption=”true”]Матрица 
называется невырожденной (неособенной), если её определитель не равняется нулю, то есть 
Если же 
, тогда матрица называется вырожденной (особенной).[/stextbox]
[stextbox id=”info” defcaption=”true”]
Квадратная матрица 
называется обратной матрицей этой , если выполняется равенство:
(1)
тогда произведение этих матриц равняется единичной матрице 
[/stextbox]
Давайте рассмотрим теорему на основании вышеописанных определений:
[stextbox id=”teorema” defcaption=”true”] Если матрица – неособенная 
тогда это условие необходимое и достаточное для существования обратной матрицы 
Докажем необходимость:
Пусть у матрицы есть обратная матрица , то есть 
Согласно теореме про определитель произведения двух матриц получается:
так как 
(2)
[/stextbox]
Достаточность. Пусть определитель матрицы не равен нулю, то есть 
Сокращённо обозначим 
Покажем, как найти обратную матрицу.
Для каждого из элементов 
матрицы найдём соответствующие им алгебраические дополнения 
= 
: тогда 
, разместив их в виде новой матрицы 
соответственно расположению элементов 
в 
Получим:
(3)
Транспонируем матрицу , заменяя строки столбцами, получим формулу обратной матрицы:
= 
= 
(4)
При помощи теорем про раскладывание и аннулирование для определителей третьего порядка, несложно проверить, что 
Нахождение обратной матрицы
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 1″]
Нужно найти обратную матрицу к матрице:
Решение будет в такой последовательности:
Шаг 1:
Вычислим определитель матрицы при помощи правила треугольников и получаем:
= 
Как видите, 
, тогда существует обратная матрица:
Шаг 2:
Находим алгебраические дополнения элементов матрицы :
;
;
;
;
;
;
;
;
Шаг 3:
записываем новую матрицу по формуле (3):
Шаг 4:
По формуле (4) получим обратную матрицу:
= 
= 
=
Шаг 5:
Проверим, что 
= = 
*
=
= = 
=
= 
= 
[/stextbox]
В вышеописанном примере мы искали более сложную матрицу поэтапно. Давайте рассмотрим пример 2, который проще предыдущего.
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 2″]Найти матрицу, обратную к матрице
Решение:
1) 
2) 
3) 
4) = 
*
5) 
=
* * 
= *
=
= *
[/stextbox]