Обратная матрица – нахождения обратной матрицы (теория и практика)

Елена Вечоркина 0 8221

В статье расскажем, что такое обратная матрица и обоснуем её основные свойства. Также  рассмотрим несколько примеров с подробным решением, при помощи которых вы научитесь строить обратную матрицу для заданной.

Понятие обратной матрицы

Обратная матрица действует только для квадратных матриц с определителями, которые отличны от нуля. Это невырожденные матрицы

Обратная матрица лучше всего рассматривается на примере квадратной матрицы третьего порядка, которую по аналогии можно будет обобщить для матриц произвольного порядка.

Пусть

A = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} \right

 

Определение
Матрица A называется невырожденной (неособенной), если её определитель не равняется нулю, то есть det A\neq0. Если же detA = 0, тогда матрица называется вырожденной (особенной).

Определение

Квадратная матрица A^{-1} называется обратной матрицей этой A, если выполняется равенство:

A^{-1} A = AA^{-1} = E,

(1)

тогда произведение этих матриц равняется единичной матрице E.

Давайте рассмотрим теорему на основании вышеописанных определений:

 

Теорема
 Если матрица A – неособенная  (det A\neq0), тогда это условие необходимое и достаточное для существования обратной матрицы  A^{-1}.

Докажем необходимость:

Пусть у матрицы A есть обратная матрица  A^{-1}, то есть  A^{-1} A = E. Согласно теореме про определитель произведения двух матриц получается:

det A^{-1} * det A = 1, так как det E = 1.

(2)

Достаточность. Пусть определитель матрицы A не равен нулю, то есть detA\neq0. Сокращённо обозначим det A = |A|. Покажем, как найти обратную матрицу.

Для каждого из элементов a_{ij} (i = \overline{1, 3}; j = \overline{1, 3}) матрицы A найдём соответствующие им алгебраические дополнения A (i = \overline {1, 3}; j = \overline{1, 3}: тогда A_{11}, A_{12}, A_{13}, ..., A_{33}., разместив их в виде новой матрицы \widetilde{A} соответственно расположению элементов a_{ij} в A. Получим:

\widetilde{A} = \begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\\ A_{31}&A_{32}&A_{33} \end{pmatrix} \right

(3)

Транспонируем матрицу \widetilde{A}, заменяя строки столбцами, получим формулу обратной матрицы:

A^{-1} = 1\over{|A|}\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\ A_{12}&A_{22}&A_{32}\\ A_{13}&A_{23}&A_{33} \end{pmatrix} \right

(4)

При помощи теорем про раскладывание и аннулирование для определителей третьего порядка, несложно проверить, что AA^{-1} = A^{-1} A = E.

Нахождение обратной матрицы

Пример 1

Нужно найти обратную матрицу к матрице:

A = \begin{pmatrix} 2&1&0\\ -1&3&4\\ 5&4&2 \end{pmatrix} \right

Решение будет в такой последовательности:

Шаг 1:

Вычислим определитель матрицы A при помощи правила треугольников и получаем:

|A| = det A = 12 + 20 + 2 - 32 = 2.

Как видите, det A\neq0, тогда существует обратная матрица:

Шаг 2:

Находим алгебраические дополнения элементов матрицы A:

A _{11} = + \begin{vmatrix} 3&4\\ 4&2 \end{vmatrix} = -10 \right;A _{12} =-\begin{vmatrix}-1&4\\5&2\end{vmatrix}= 22\right;A _{13} =+\begin{vmatrix}-1&3\\5&4 \end{vmatrix}= -19\right;

A _{21} = - \begin{vmatrix} 1&0\\ 4&2\\ \end{vmatrix} = -2 \right;A _{22} =+\begin{vmatrix}2&0\\5&2\end{vmatrix}= 4;\right;A _{23} =-\begin{vmatrix}2&1\\5&4\end{vmatrix}= -3 \right;

A _{31} = + \begin{vmatrix} 1&0\\ 3&4 \end{vmatrix} = 4\right;A _{32} =-\begin{vmatrix}2&0\\-1&4\end{vmatrix}= -8\right;A _{33} =+\begin{vmatrix}2&1\\-1&3\end{vmatrix} = 7. \right

Шаг 3:

записываем новую матрицу по формуле (3):

\widetilde{A} = \begin{pmatrix} -10&22&-19\\ 2&4&-3\\ 4&-8&7 \end{pmatrix} \right

Шаг 4:

По формуле (4) получим обратную матрицу:

A^{-1} = 1\over{2}\begin{pmatrix} -10&-2&4\\ 22&4&-8\\ -19&-3&7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5&-1&2\\ 11&2&-4\\ -9.5&-1.5&3.5 \end{pmatrix} \right

Шаг 5:

Проверим, что A^{-1} A = E,

A^{-1} A = 1\over{2}\begin{pmatrix} -10&-2&4\\ 22&4&-8\\ -19&3&7 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2&1&0\\ -1&3&4\\ 5&4&2 \end{pmatrix} \right=

= 1\over{2} = \begin{pmatrix} -20+2+20&-10-6+16&0-8+8\\ 44-4-40&22+12-32&0+16-16\\ -38+3+35&-19-9+28&0-12+14 \end{pmatrix} \right =

= 1\over{2} \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} = E \right

В вышеописанном примере мы искали более сложную матрицу поэтапно. Давайте рассмотрим пример 2, который проще предыдущего.

Пример 2
Найти матрицу, обратную к матрице

A = \begin{pmatrix} 9&8\\ -2&-1 \end{pmatrix}. \right

Решение:

1) det A = -9 + 16 = 7\neq0.

2) A_{11} = +(-1) = -1; A_{12} = -(-2) = 2; A_{21} = -8; A_{22} = 9

3) \widetilde{A} = \begin{pmatrix} -1&2\\ -8&9 \end{pmatrix}. \right

4) A^{-1} = 1\over{7}*\begin{pmatrix} -1&-8\\ 2&9 \end{pmatrix}. \right

5) AA^{-1} =\begin{pmatrix} 9&8\\ -2&-1 \end{pmatrix} * 1\over{7} * \begin{pmatrix} -1&8\\ 2&9 \end{pmatrix} = 1\over{7}*\begin{pmatrix} -9+16&-72+72\\ 2-2&16-9 \end{pmatrix} =

= 1\over{7}*\begin{pmatrix}7&0\\0&7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\end{pmatrix} = E \right

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

8221

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *