Понятие обратной матрицы
Обратная матрица действует только для квадратных матриц с определителями, которые отличны от нуля. Это невырожденные матрицы
Обратная матрица лучше всего рассматривается на примере квадратной матрицы третьего порядка, которую по аналогии можно будет обобщить для матриц произвольного порядка.
Пусть
[stextbox id=»info» defcaption=»true»]Матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель не равняется нулю, то есть
Если же
, тогда матрица называется вырожденной (особенной).[/stextbox]
[stextbox id=»info» defcaption=»true»]
Квадратная матрица называется обратной матрицей этой
, если выполняется равенство:
(1)
тогда произведение этих матриц равняется единичной матрице [/stextbox]
Давайте рассмотрим теорему на основании вышеописанных определений:
[stextbox id=»teorema» defcaption=»true»] Если матрица — неособенная
тогда это условие необходимое и достаточное для существования обратной матрицы
Докажем необходимость:
Пусть у матрицы есть обратная матрица
, то есть
Согласно теореме про определитель произведения двух матриц получается:
так как
(2)
[/stextbox]
Достаточность. Пусть определитель матрицы не равен нулю, то есть
Сокращённо обозначим
Покажем, как найти обратную матрицу.
Для каждого из элементов матрицы
найдём соответствующие им алгебраические дополнения
=
: тогда
, разместив их в виде новой матрицы
соответственно расположению элементов
в
Получим:
(3)
Транспонируем матрицу , заменяя строки столбцами, получим формулу обратной матрицы:
=
=
(4)
При помощи теорем про раскладывание и аннулирование для определителей третьего порядка, несложно проверить, что
Нахождение обратной матрицы
[stextbox id=»warning» caption=»Пример 1″]
Нужно найти обратную матрицу к матрице:
Решение будет в такой последовательности:
Шаг 1:
Вычислим определитель матрицы при помощи правила треугольников и получаем:
=
Как видите, , тогда существует обратная матрица:
Шаг 2:
Находим алгебраические дополнения элементов матрицы :
;
;
;
;
;
;
;
;
Шаг 3:
записываем новую матрицу по формуле (3):
Шаг 4:
По формуле (4) получим обратную матрицу:
=
=
=
Шаг 5:
Проверим, что
=
=
*
=
= =
=
=
=
[/stextbox]
В вышеописанном примере мы искали более сложную матрицу поэтапно. Давайте рассмотрим пример 2, который проще предыдущего.
[stextbox id=»warning» caption=»Пример 2″]Найти матрицу, обратную к матрице
Решение:
1)
2)
3)
4) =
*
5) =
*
*
=
*
=
= *
[/stextbox]