Понятие обратной матрицы
Обратная матрица действует только для квадратных матриц с определителями, которые отличны от нуля. Это невырожденные матрицы
Обратная матрица лучше всего рассматривается на примере квадратной матрицы третьего порядка, которую по аналогии можно будет обобщить для матриц произвольного порядка.
Пусть
называется невырожденной (неособенной), если её определитель не равняется нулю, то есть 
Если же 
, тогда матрица называется вырожденной (особенной).Квадратная матрица 
называется обратной матрицей этой , если выполняется равенство:
(1)
тогда произведение этих матриц равняется единичной матрице 
Давайте рассмотрим теорему на основании вышеописанных определений:
– неособенная 
тогда это условие необходимое и достаточное для существования обратной матрицы 
Докажем необходимость:
Пусть у матрицы есть обратная матрица , то есть 
Согласно теореме про определитель произведения двух матриц получается:
так как 
(2)
Достаточность. Пусть определитель матрицы не равен нулю, то есть 
Сокращённо обозначим 
Покажем, как найти обратную матрицу.
Для каждого из элементов 
матрицы найдём соответствующие им алгебраические дополнения 
= 
: тогда 
, разместив их в виде новой матрицы 
соответственно расположению элементов 
в 
Получим:
(3)
Транспонируем матрицу , заменяя строки столбцами, получим формулу обратной матрицы:
= 
= 
(4)
При помощи теорем про раскладывание и аннулирование для определителей третьего порядка, несложно проверить, что 
Нахождение обратной матрицы
Нужно найти обратную матрицу к матрице:
Решение будет в такой последовательности:
Шаг 1:
Вычислим определитель матрицы при помощи правила треугольников и получаем:
= 
Как видите, 
, тогда существует обратная матрица:
Шаг 2:
Находим алгебраические дополнения элементов матрицы :
;
;
;
;
;
;
;
;
Шаг 3:
записываем новую матрицу по формуле (3):
Шаг 4:
По формуле (4) получим обратную матрицу:
= 
= 
=
Шаг 5:
Проверим, что 
= = 
*
=
= = 
=
= 
= 
В вышеописанном примере мы искали более сложную матрицу поэтапно. Давайте рассмотрим пример 2, который проще предыдущего.
Решение:
1) 
2) 
3) 
4) = 
*
5) 
=
* * 
= *
=
= *