Понятие обратной матрицы
Обратная матрица действует только для квадратных матриц с определителями, которые отличны от нуля. Это невырожденные матрицы
Обратная матрица лучше всего рассматривается на примере квадратной матрицы третьего порядка, которую по аналогии можно будет обобщить для матриц произвольного порядка.
Пусть
Давайте рассмотрим теорему на основании вышеописанных определений:
Достаточность. Пусть определитель матрицы не равен нулю, то есть Сокращённо обозначим Покажем, как найти обратную матрицу.
Для каждого из элементов матрицы найдём соответствующие им алгебраические дополнения = : тогда , разместив их в виде новой матрицы соответственно расположению элементов в Получим:
(3)
Транспонируем матрицу , заменяя строки столбцами, получим формулу обратной матрицы:
= =
(4)
При помощи теорем про раскладывание и аннулирование для определителей третьего порядка, несложно проверить, что
Нахождение обратной матрицы
В вышеописанном примере мы искали более сложную матрицу поэтапно. Давайте рассмотрим пример 2, который проще предыдущего.