Обратная матрица: как найти и использовать

В статье расскажем, что такое обратная матрица и обоснуем её основные свойства. Также рассмотрим несколько примеров с подробным решением, при помощи которых вы научитесь строить обратную матрицу для заданной.

Понятие обратной матрицы

Обратная матрица действует только для квадратных матриц с определителями, которые отличны от нуля. Это невырожденные матрицы

Обратная матрица лучше всего рассматривается на примере квадратной матрицы третьего порядка, которую по аналогии можно будет обобщить для матриц произвольного порядка.

Пусть

$A = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} \right$

[stextbox id=»info» defcaption=»true»]Матрица $A$ называется невырожденной (неособенной), если её определитель не равняется нулю, то есть $det A\neq0.$ Если же $detA = 0$ , тогда матрица называется вырожденной (особенной).[/stextbox]

[stextbox id=»info» defcaption=»true»]

Квадратная матрица $A^{-1}$ называется обратной матрицей этой $A$ , если выполняется равенство:

$A^{-1} A = AA^{-1} = E,$

(1)

тогда произведение этих матриц равняется единичной матрице $E.$ [/stextbox]

Давайте рассмотрим теорему на основании вышеописанных определений:

[stextbox id=»teorema» defcaption=»true»] Если матрица $A$ — неособенная $(det A\neq0),$ тогда это условие необходимое и достаточное для существования обратной матрицы $A^{-1}.$

Докажем необходимость:

Пусть у матрицы $A$ есть обратная матрица $A^{-1}$ , то есть $A^{-1} A = E.$ Согласно теореме про определитель произведения двух матриц получается:

$det A^{-1} * det A = 1,$ так как $det E = 1.$

(2)

[/stextbox]

Достаточность. Пусть определитель матрицы $A$ не равен нулю, то есть $detA\neq0.$ Сокращённо обозначим $det A = |A|.$ Покажем, как найти обратную матрицу.

Для каждого из элементов $a_{ij} (i = \overline{1, 3}; j = \overline{1, 3})$ матрицы $A$ найдём соответствующие им алгебраические дополнения $A (i = \overline {1, 3}; j$ = $\overline{1, 3}$ : тогда $A_{11}, A_{12}, A_{13}, ..., A_{33}.$ , разместив их в виде новой матрицы $\widetilde{A}$ соответственно расположению элементов $a_{ij}$ в $A.$ Получим:

$\widetilde{A} = \begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\\ A_{21}&A_{22}&A_{23}\\ A_{31}&A_{32}&A_{33} \end{pmatrix} \right$

(3)

Транспонируем матрицу $\widetilde{A}$ , заменяя строки столбцами, получим формулу обратной матрицы:

$A^{-1}$ = $1\over{|A|}$ = $\begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}\\ A_{12}&A_{22}&A_{32}\\ A_{13}&A_{23}&A_{33} \end{pmatrix} \right$

(4)

При помощи теорем про раскладывание и аннулирование для определителей третьего порядка, несложно проверить, что $AA^{-1} = A^{-1} A = E.$

Нахождение обратной матрицы

[stextbox id=»warning» caption=»Пример 1″]

Нужно найти обратную матрицу к матрице:

$A = \begin{pmatrix} 2&1&0\\ -1&3&4\\ 5&4&2 \end{pmatrix} \right$

Решение будет в такой последовательности:

Шаг 1:

Вычислим определитель матрицы $A$ при помощи правила треугольников и получаем:

$|A|$ = $det A = 12 + 20 + 2 - 32 = 2.$

Как видите, $det A\neq0$ , тогда существует обратная матрица:

Шаг 2:

Находим алгебраические дополнения элементов матрицы $A$ :

$A _{11} = + \begin{vmatrix} 3&4\\ 4&2 \end{vmatrix} = -10 \right$ ; $A _{12} =-\begin{vmatrix}-1&4\\5&2\end{vmatrix}= 22\right$ ; $A _{13} =+\begin{vmatrix}-1&3\\5&4 \end{vmatrix}= -19\right$ ;

$A _{21} = - \begin{vmatrix} 1&0\\ 4&2\\ \end{vmatrix} = -2 \right$ ; $A _{22} =+\begin{vmatrix}2&0\\5&2\end{vmatrix}= 4;\right$ ; $A _{23} =-\begin{vmatrix}2&1\\5&4\end{vmatrix}= -3 \right$ ;

$A _{31} = + \begin{vmatrix} 1&0\\ 3&4 \end{vmatrix} = 4\right$ ; $A _{32} =-\begin{vmatrix}2&0\\-1&4\end{vmatrix}= -8\right$ ; $A _{33} =+\begin{vmatrix}2&1\\-1&3\end{vmatrix} = 7. \right$

Шаг 3:

записываем новую матрицу по формуле (3):

$\widetilde{A} = \begin{pmatrix} -10&22&-19\\ 2&4&-3\\ 4&-8&7 \end{pmatrix} \right$

Шаг 4:

По формуле (4) получим обратную матрицу:

$A^{-1}$ = $1\over{2}$ = $\begin{pmatrix} -10&-2&4\\ 22&4&-8\\ -19&-3&7 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} -5&-1&2\\ 11&2&-4\\ -9.5&-1.5&3.5 \end{pmatrix} \right$

Шаг 5:

Проверим, что $A^{-1} A = E,$

$A^{-1} A$ = $1\over{2}$ = $\begin{pmatrix} -10&-2&4\\ 22&4&-8\\ -19&3&7 \end{pmatrix}$ * $\begin{pmatrix} 2&1&0\\ -1&3&4\\ 5&4&2 \end{pmatrix} \right$ =

= $1\over{2}$ = $\begin{pmatrix} -20+2+20&-10-6+16&0-8+8\\ 44-4-40&22+12-32&0+16-16\\ -38+3+35&-19-9+28&0-12+14 \end{pmatrix} \right$ =

= $1\over{2}$ $\begin{pmatrix} 2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} = E \right$

[/stextbox]

В вышеописанном примере мы искали более сложную матрицу поэтапно. Давайте рассмотрим пример 2, который проще предыдущего.

[stextbox id=»warning» caption=»Пример 2″]Найти матрицу, обратную к матрице

$A = \begin{pmatrix} 9&8\\ -2&-1 \end{pmatrix}. \right$

Решение:

1) $det A = -9 + 16 = 7\neq0.$

2) $A_{11} = +(-1) = -1;$ $A_{12} = -(-2) = 2;$ $A_{21} = -8;$ $A_{22} = 9$

3) $\widetilde{A} = \begin{pmatrix} -1&2\\ -8&9 \end{pmatrix}. \right$

4) $A^{-1}$ = $1\over{7}$ * $\begin{pmatrix} -1&-8\\ 2&9 \end{pmatrix}. \right$

5) $AA^{-1}$ = $\begin{pmatrix} 9&8\\ -2&-1 \end{pmatrix}$ * $1\over{7}$ * $\begin{pmatrix} -1&8\\ 2&9 \end{pmatrix}$ = $1\over{7}$ * $\begin{pmatrix} -9+16&-72+72\\ 2-2&16-9 \end{pmatrix}$ =

= $1\over{7}$ * $\begin{pmatrix}7&0\\0&7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\end{pmatrix} = E \right$

[/stextbox]

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CTRL + Enter

сагдиана на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно!
акмарал на Более 50 основных формул по физике с пояснениема эти формулы обычно используют в олимпиядах
всем пока на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно. калькулятор не работает.
Великий гей Никола Тесла на Более 50 основных формул по физике с пояснениемСайт параша, я пытался списать ЕГЭ по физике с помощью них, я блять сдал его на 99999 балов, и теперь
некто на Примеры решения матриц с ответамиНеправильные ответы, учите матрицу гении

Обратная матрица: как найти и использовать

Понятие обратной матрицы

Нахождение обратной матрицы

Авторизуйтесь