О чем статья
Введение
Добро пожаловать на лекцию по Теории игр! Сегодня мы будем изучать биматричные игры. Биматричные игры являются одним из основных объектов изучения в Теории игр и представляют собой математическую модель, которая помогает анализировать стратегическое взаимодействие между двумя игроками.
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Определение биматричной игры
Биматричная игра – это математическая модель, которая описывает ситуацию, в которой два игрока принимают решения одновременно и независимо друг от друга. Каждый игрок имеет набор стратегий, из которых он выбирает одну для игры. Результат игры зависит от выбранных стратегий обоих игроков.
Биматричная игра представляется в виде матрицы, где каждый игрок имеет свой набор стратегий, а каждая ячейка матрицы представляет себя выигрыш или потерю для каждого игрока в зависимости от выбранных ими стратегий.
Обычно в биматричной игре используются две матрицы, по одной для каждого игрока. Первая матрица показывает выигрыши первого игрока в зависимости от его выбранной стратегии и стратегии второго игрока. Вторая матрица показывает выигрыши второго игрока в зависимости от его выбранной стратегии и стратегии первого игрока.
Структура биматричной игры
Биматричная игра представляет собой матрицу, в которой каждая ячейка представляет себя выигрыш или потерю для каждого игрока в зависимости от выбранных ими стратегий.
Структура биматричной игры включает в себя следующие элементы:
Множество игроков:
Биматричная игра может включать двух или более игроков. Каждый игрок имеет свои стратегии, из которых он может выбирать.
Множество стратегий:
Каждый игрок имеет свое множество стратегий, из которых он может выбирать. Стратегия представляет собой действие или выбор, который игрок может сделать в игре.
Выигрыши:
Каждая ячейка матрицы представляет собой выигрыш или потерю для каждого игрока в зависимости от выбранных ими стратегий. Выигрыши могут быть представлены числами или символами, которые указывают на относительный успех или неудачу каждого игрока.
Матрица выигрышей:
Обычно в биматричной игре используются две матрицы, по одной для каждого игрока. Первая матрица показывает выигрыши первого игрока в зависимости от его выбранной стратегии и стратегии второго игрока. Вторая матрица показывает выигрыши второго игрока в зависимости от его выбранной стратегии и стратегии первого игрока.
Структура биматричной игры позволяет анализировать и предсказывать результаты игры на основе выбранных стратегий каждого игрока. Это позволяет игрокам принимать рациональные решения и максимизировать свои выигрыши в игре.
Примеры биматричных игр
Биматричные игры могут быть применены для моделирования различных ситуаций, в которых игроки принимают решения и получают выигрыши в зависимости от выбранных стратегий. Вот несколько примеров биматричных игр:
Игра “Заключенный дилемма”
В этой игре два заключенных имеют две стратегии: сотрудничество или предательство. Если оба заключенных выбирают сотрудничество, то каждый получает небольшой штраф. Если один заключенный выбирает предательство, а другой сотрудничество, то предатель получает выгоду, а сотрудничающий получает большой штраф. Если оба заключенных выбирают предательство, то каждый получает средний штраф. В этой игре стратегия “предательство” является доминирующей стратегией для каждого игрока, что приводит к нежелательному исходу для обоих игроков.
Игра “Сражение”
В этой игре два армии имеют две стратегии: атаковать или отступить. Если обе армии атакуют, то происходит сражение, и каждая армия получает некоторые потери. Если одна армия атакует, а другая отступает, то атакующая армия получает выгоду, а отступающая армия избегает потерь. Если обе армии отступают, то происходит мирное разрешение конфликта без потерь. В этой игре стратегия “атаковать” является доминирующей стратегией для каждого игрока, что приводит к сражению и потерям для обоих игроков.
Игра “Торговля”
В этой игре два торговца имеют две стратегии: снизить цену или сохранить цену. Если оба торговца снижают цену, то каждый получает небольшую прибыль. Если один торговец снижает цену, а другой сохраняет цену, то торговец, который снизил цену, получает большую прибыль, а торговец, который сохраняет цену, получает небольшую прибыль. Если оба торговца сохраняют цену, то каждый получает среднюю прибыль. В этой игре стратегия “снизить цену” является доминирующей стратегией для каждого игрока, что приводит к снижению цен и снижению прибыли для обоих игроков.
Решение биматричной игры
Решение биматричной игры заключается в определении равновесия по Нэшу, которое представляет собой комбинацию стратегий, при которой ни одному игроку не выгодно изменить свою стратегию, при условии, что другой игрок также не меняет свою стратегию.
Для нахождения равновесия по Нэшу в биматричной игре, необходимо проанализировать выигрыши каждого игрока при различных комбинациях их стратегий.
Для этого строится матрица выигрышей, где строки представляют стратегии первого игрока, а столбцы – стратегии второго игрока. В каждой ячейке матрицы указывается выигрыш первого игрока, а в скобках – выигрыш второго игрока.
Затем производится анализ матрицы выигрышей с целью определения оптимальных стратегий для каждого игрока. Оптимальные стратегии – это те стратегии, при которых игрок получает наибольший выигрыш, независимо от выбора стратегии другого игрока.
Если существует комбинация стратегий, при которой ни одному игроку не выгодно изменить свою стратегию, то эта комбинация является равновесием по Нэшу.
Однако, в биматричных играх может существовать несколько равновесий по Нэшу. В таком случае, выбор конкретного равновесия зависит от предположений о поведении игроков и их ожиданиях относительно выбора стратегий других игроков.
Свойства биматричных игр
Биматричные игры обладают несколькими важными свойствами, которые помогают нам анализировать их и находить равновесия по Нэшу.
Конечное число стратегий
В биматричных играх каждый игрок имеет конечное число стратегий. Это означает, что игроки могут выбирать только из ограниченного набора возможных действий. Например, в игре “Камень, ножницы, бумага” каждый игрок может выбрать одну из трех стратегий: камень, ножницы или бумагу.
Выигрыши представлены в матрице
Выигрыши игроков в биматричных играх представлены в матрице, где строки соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы – стратегиям второго игрока. Каждая ячейка матрицы содержит пару чисел, представляющих выигрыши игроков при соответствующих стратегиях. Например, в игре “Камень, ножницы, бумага” матрица выигрышей может выглядеть следующим образом:
| Камень | Ножницы | Бумага | |
|---|---|---|---|
| Камень | 0, 0 | 1, -1 | -1, 1 |
| Ножницы | -1, 1 | 0, 0 | 1, -1 |
| Бумага | 1, -1 | -1, 1 | 0, 0 |
Равновесие по Нэшу
Биматричные игры могут иметь одно или несколько равновесий по Нэшу. Равновесие по Нэшу – это комбинация стратегий, при которой ни одному игроку не выгодно изменить свою стратегию, при условии, что другие игроки остаются при своих стратегиях. В равновесии по Нэшу ни один игрок не может увеличить свой выигрыш, выбирая другую стратегию.
Смешанные стратегии
В биматричных играх игроки могут использовать смешанные стратегии, то есть вероятностное распределение выбора стратегий. Например, игрок может выбирать стратегию “Камень” с вероятностью 0.5 и стратегию “Ножницы” с вероятностью 0.5. Смешанные стратегии позволяют игрокам принимать решения в условиях неопределенности и учитывать возможные действия других игроков.
Эти свойства биматричных игр помогают нам анализировать их и находить равновесия по Нэшу. Они являются основой для изучения теории игр и применения ее в различных областях, таких как экономика, политика и бизнес.
Сравнительная таблица биматричных игр
| Тема | Определение | Структура | Примеры | Решение | Свойства |
|---|---|---|---|---|---|
| Биматричная игра | Игра, в которой участвуют два игрока и каждый из них имеет два возможных хода. | Матрица размером 2×2, где каждый игрок выбирает свой ход, а результаты игры определяются комбинацией выбранных ходов. | Пример 1 Пример 2 Пример 3 |
Решение игры может быть найдено с помощью различных методов, таких как доминирующие стратегии, равновесие Нэша или смешанные стратегии. | Биматричные игры обладают такими свойствами, как конечность, симметричность, неполная информация и возможность анализа стратегий игроков. |
Заключение
Биматричные игры представляют собой модель, в которой два игрока принимают решения, зная только свои выигрыши и стратегии оппонента. Они являются одним из основных объектов изучения в теории игр.
Структура биматричной игры состоит из матрицы выигрышей для каждого игрока, где каждая ячейка представляет собой пару выигрышей для игроков при выборе определенных стратегий.
Биматричные игры могут быть применены в различных областях, таких как экономика, политика, биология и т.д. Они позволяют анализировать стратегическое взаимодействие между игроками и предсказывать их решения.
Решение биматричной игры включает в себя поиск равновесия Нэша, которое представляет собой набор стратегий, при котором ни одному игроку не выгодно изменить свою стратегию, зная выбор оппонента.
Биматричные игры обладают рядом свойств, таких как симметричность, существование равновесия Нэша и т.д., которые позволяют анализировать их и делать выводы о стратегиях игроков.
