О чем статья
Введение
Добро пожаловать на лекцию по геометрии! Сегодня мы будем изучать параллелограммы – одну из основных фигур в геометрии. Параллелограммы имеют множество интересных свойств и применений, и мы разберем их поэтапно. В ходе лекции мы рассмотрим определение параллелограмма, его свойства, а также узнаем, как вычислять площадь и периметр этой фигуры. Не забудьте записывать важные моменты и задавать вопросы, если что-то не ясно. Приступим!
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Определение параллелограмма
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине.
Другими словами, если взять две противоположные стороны параллелограмма и провести прямые линии, параллельные этим сторонам, то эти прямые линии никогда не пересекутся.
Также в параллелограмме все углы противолежащих сторон равны между собой.
Обозначение параллелограмма: ABCD, где A, B, C, D – вершины параллелограмма.
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны параллелограмма равны по длине.
2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны.
3. Противоположные углы параллелограмма равны между собой.
4. Сумма углов параллелограмма равна 360 градусов.
5. Диагонали параллелограмма делятся пополам.
6. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной стороны на высоту, опущенную на эту сторону.
7. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его сторон.
Равнобедренные параллелограммы
Равнобедренный параллелограмм – это параллелограмм, у которого две стороны равны по длине.
Свойства равнобедренного параллелограмма:
1. Противоположные стороны равны по длине.
2. Противоположные углы равны между собой.
3. Диагонали равны по длине и делятся пополам.
4. Углы между диагоналями равны.
5. Периметр равнобедренного параллелограмма равен удвоенной сумме длин его сторон.
6. Площадь равнобедренного параллелограмма можно вычислить, зная длину одной стороны и высоту, опущенную на эту сторону.
Примеры равнобедренных параллелограммов: ромб, квадрат.
Равносторонние параллелограммы
Равносторонний параллелограмм – это параллелограмм, у которого все стороны равны по длине.
Свойства равностороннего параллелограмма:
1. Все стороны равны по длине.
2. Все углы равны между собой и равны 90 градусов.
3. Диагонали равны по длине и делятся пополам.
4. Углы между диагоналями равны и равны 90 градусов.
5. Периметр равностороннего параллелограмма равен удвоенной сумме длин его сторон.
6. Площадь равностороннего параллелограмма можно вычислить, зная длину одной стороны и высоту, опущенную на эту сторону.
Примеры равносторонних параллелограммов: квадрат.
Диагонали параллелограмма
Диагонали параллелограмма – это отрезки, соединяющие противоположные вершины параллелограмма.
Свойства диагоналей параллелограмма:
1. Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.
2. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке, которая делит каждую диагональ пополам.
3. Диагонали параллелограмма равны по длине.
4. Диагонали параллелограмма делят его на четыре равных треугольника.
5. Диагонали параллелограмма являются осью симметрии для него.
6. Диагонали параллелограмма образуют четыре равных угла.
7. Диагонали параллелограмма делят его на два равных четырехугольника.
8. Диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов.
Формулы для вычисления площади и периметра параллелограмма
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма можно вычислить, зная длину одной из его сторон и высоту, опущенную на эту сторону.
Формула для вычисления площади параллелограмма:
S = a * h
где S – площадь параллелограмма, a – длина одной из сторон, h – высота, опущенная на эту сторону.
Периметр параллелограмма
Периметр параллелограмма можно вычислить, зная длины всех его сторон.
Формула для вычисления периметра параллелограмма:
P = 2 * (a + b)
где P – периметр параллелограмма, a и b – длины двух параллельных сторон.
Например, если у нас есть параллелограмм со сторонами a = 5 и b = 8, и высота h = 4, то его площадь будет:
S = 5 * 4 = 20
и периметр будет:
P = 2 * (5 + 8) = 26
Примеры задач на параллелограммы
Пример 1:
В параллелограмме одна из сторон равна 6 см, а высота, опущенная на эту сторону, равна 4 см. Найдите площадь и периметр параллелограмма.
Решение:
Площадь параллелограмма можно найти, умножив длину одной из сторон на высоту, опущенную на эту сторону. В данном случае, площадь будет:
S = 6 * 4 = 24 см²
Периметр параллелограмма можно найти, сложив длины всех его сторон. Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то периметр будет:
P = 2 * (6 + 6) = 24 см
Пример 2:
В параллелограмме одна из сторон равна 10 см, а диагональ, соединяющая противоположные вершины, равна 8 см. Найдите площадь и периметр параллелограмма.
Решение:
Площадь параллелограмма можно найти, умножив длину одной из сторон на высоту, опущенную на эту сторону. В данном случае, площадь будет:
S = 10 * h
Для нахождения высоты, можно воспользоваться формулой:
h = √(d² – (a/2)²)
где d – длина диагонали, a – длина стороны параллелограмма.
В данном случае, высота будет:
h = √(8² – (10/2)²) = √(64 – 25) = √39 ≈ 6.24 см
Теперь, подставив значение высоты в формулу для площади, получим:
S = 10 * 6.24 ≈ 62.4 см²
Периметр параллелограмма можно найти, сложив длины всех его сторон. Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то периметр будет:
P = 2 * (10 + 10) = 40 см
Таким образом, площадь параллелограмма составляет примерно 62.4 см², а периметр равен 40 см.
Таблица свойств параллелограмма
| Свойство | Описание |
|---|---|
| Определение | Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине. |
| Углы | Противоположные углы параллелограмма равны. |
| Диагонали | Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника. |
| Периметр | Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его сторон. |
| Площадь | Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону. |
Заключение
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны. Он имеет несколько свойств, таких как равенство противоположных углов, равенство противоположных сторон и равенство диагоналей. Равнобедренные параллелограммы имеют равные углы и равные стороны, а равносторонние параллелограммы имеют все стороны и углы равными. Диагонали параллелограмма делятся пополам и образуют равные треугольники. Для вычисления площади параллелограмма можно использовать формулу “площадь = основание * высота”, а для вычисления периметра – формулу “периметр = 2 * (сторона1 + сторона2)”. Параллелограммы встречаются в различных задачах и применяются в геометрии и других областях науки и техники.
