Отрицательные числа в компьютере: как они представляются и работают

Введение

В данной лекции мы рассмотрим представление отрицательных чисел в двоичной системе счисления. Обычно мы привыкли работать с положительными числами, но в некоторых случаях нам может понадобиться работать и с отрицательными значениями. Для этого существуют различные методы представления отрицательных чисел, которые мы и изучим в этой лекции. Мы рассмотрим знаковое представление, обратный код и дополнительный код, а также научимся выполнять арифметические операции с отрицательными числами. В конце лекции мы также рассмотрим преобразование отрицательных чисел в другие системы счисления. Давайте начнем!

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Представление отрицательных чисел в двоичной системе

В двоичной системе счисления отрицательные числа могут быть представлены с помощью различных методов, таких как знаковое представление, обратный код и дополнительный код. Каждый из этих методов имеет свои особенности и применяется в разных ситуациях.

Знаковое представление

В знаковом представлении отрицательные числа обозначаются с помощью знака минус (-) перед числом. Например, -5 обозначает отрицательное число пять. В этом методе самый старший бит числа (самый левый бит) используется для обозначения знака числа: 0 для положительных чисел и 1 для отрицательных чисел.

Обратный код

В обратном коде отрицательные числа представляются путем инвертирования всех битов положительного числа. Например, для числа 5 в двоичной системе (0101) его обратный код будет (1010). Таким образом, отрицательное число -5 будет представлено как (1101).

Дополнительный код

В дополнительном коде отрицательные числа представляются путем инвертирования всех битов положительного числа и добавления единицы к полученному результату. Например, для числа 5 в двоичной системе (0101) его дополнительный код будет (1011). Таким образом, отрицательное число -5 будет представлено как (1101).

Сравнение знаковых представлений, арифметические операции с отрицательными числами и преобразование отрицательных чисел в другие системы счисления также имеют свои особенности и требуют дополнительного изучения.

Знаковое представление

Знаковое представление отрицательных чисел в двоичной системе основано на использовании самого левого бита числа для обозначения его знака. Если самый левый бит равен 0, то число положительное, а если он равен 1, то число отрицательное.

Для положительных чисел знаковое представление совпадает с обычным двоичным представлением. Например, число 5 в двоичной системе будет представлено как (0101).

Для отрицательных чисел знаковое представление получается путем инвертирования всех битов положительного числа и добавления единицы к полученному результату. Например, для числа 5 его знаковое представление будет (1011).

Таким образом, знаковое представление позволяет нам различать положительные и отрицательные числа в двоичной системе счисления.

Обратный код

Обратный код – это один из способов представления отрицательных чисел в двоичной системе счисления. Он основан на инвертировании всех битов положительного числа.

Для получения обратного кода отрицательного числа, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Представить положительное число в двоичном виде.
2. Инвертировать все биты числа (заменить 0 на 1 и наоборот).

Например, рассмотрим число -5. Его положительное представление в двоичной системе будет (00000101). Чтобы получить обратный код, нужно инвертировать все биты: (11111010).

Обратный код имеет следующие свойства:

• Ноль имеет только одно представление – все биты равны нулю.
• Обратный код отрицательного числа можно получить, инвертируя все биты его положительного представления.
• Обратный код отрицательного числа можно получить, инвертируя все биты его дополнительного кода.

Обратный код является одним из способов представления отрицательных чисел в двоичной системе счисления, но он имеет некоторые недостатки, связанные с появлением двух представлений нуля и сложностью выполнения арифметических операций.

Дополнительный код

Дополнительный код – это способ представления отрицательных чисел в двоичной системе счисления. Он используется для устранения недостатков обратного кода и обеспечивает удобство выполнения арифметических операций.

Для получения дополнительного кода отрицательного числа, необходимо выполнить два шага:

Шаг 1: Получение обратного кода

Обратный код отрицательного числа можно получить, инвертируя все биты его положительного представления. Другими словами, все нули заменяются на единицы, а все единицы – на нули.

Шаг 2: Добавление единицы

После получения обратного кода, необходимо добавить единицу к полученному числу. Это позволяет учесть знак числа и получить его дополнительный код.

Например, рассмотрим число -5. Его положительное представление в двоичной системе счисления будет 00000101. Получим обратный код, инвертируя все биты: 11111010. Затем добавим единицу: 11111011. Таким образом, дополнительный код числа -5 будет равен 11111011.

Дополнительный код позволяет удобно выполнять арифметические операции с отрицательными числами, такие как сложение и вычитание. При сложении чисел в дополнительном коде, результат будет корректным и будет иметь правильный знак.

Сравнение знаковых представлений

При сравнении знаковых представлений двоичных чисел необходимо учитывать следующие правила:

Сравнение по знаку

Сначала сравниваются знаки чисел. Если оба числа имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные), то сравнение продолжается сравнением по модулю чисел. Если знаки разные (одно число положительное, а другое отрицательное), то положительное число считается больше отрицательного числа.

Сравнение по модулю

Если знаки чисел одинаковые, то сравниваются числа по модулю. Для этого сравниваются биты чисел, начиная с самого старшего (самого левого) бита. Если встречается различие в битах, то число с большим значением бита считается больше. Если все биты совпадают, то числа считаются равными.

Например, рассмотрим сравнение двух чисел: 10101011 и 11001100.

Сначала сравниваем знаки: оба числа отрицательные. Затем сравниваем числа по модулю, начиная с самого старшего бита. Первый различающийся бит находится на позиции 4. В числе 10101011 этот бит равен 0, а в числе 11001100 – 1. Следовательно, число 11001100 считается больше числа 10101011.

Арифметические операции с отрицательными числами

При выполнении арифметических операций с отрицательными числами в двоичной системе счисления, используется дополнительный код для представления отрицательных чисел. Дополнительный код позволяет выполнять сложение, вычитание, умножение и деление отрицательных чисел так же, как и положительных чисел.

Сложение отрицательных чисел

Для сложения отрицательных чисел в двоичной системе счисления, мы просто складываем их дополнительные коды, а затем добавляем единицу к полученному результату. Если в результате сложения получается перенос из старшего разряда, он игнорируется.

Вычитание отрицательных чисел

Вычитание отрицательных чисел также выполняется путем сложения их дополнительных кодов. Для этого мы складываем первое число с дополнительным кодом второго числа, а затем добавляем единицу к полученному результату. Если в результате сложения получается перенос из старшего разряда, он игнорируется.

Умножение отрицательных чисел

Умножение отрицательных чисел выполняется так же, как и умножение положительных чисел. Мы умножаем их дополнительные коды и получаем результат. Затем мы проверяем знак результата: если знак отличается от знаков исходных чисел, то результат отрицательный, иначе – положительный.

Деление отрицательных чисел

Деление отрицательных чисел также выполняется так же, как и деление положительных чисел. Мы делим их дополнительные коды и получаем результат. Затем мы проверяем знак результата: если знак отличается от знаков исходных чисел, то результат отрицательный, иначе – положительный.

Важно помнить, что при выполнении арифметических операций с отрицательными числами в двоичной системе счисления, необходимо учитывать особенности представления отрицательных чисел в дополнительном коде.

Преобразование отрицательных чисел в другие системы счисления

Для преобразования отрицательных чисел в другие системы счисления, такие как десятичная, восьмеричная или шестнадцатеричная, мы используем представление числа в дополнительном коде.

Преобразование в десятичную систему счисления

Для преобразования отрицательного числа из двоичной системы счисления в десятичную, мы сначала определяем его знак. Если старший бит числа равен 1, то число отрицательное. Затем мы преобразуем модуль числа (отбрасываем знак) в десятичную систему счисления. Наконец, мы добавляем знак “-” перед полученным десятичным числом.

Преобразование в восьмеричную систему счисления

Для преобразования отрицательного числа из двоичной системы счисления в восьмеричную, мы сначала преобразуем его в десятичное число, как описано выше. Затем мы преобразуем полученное десятичное число в восьмеричную систему счисления.

Преобразование в шестнадцатеричную систему счисления

Для преобразования отрицательного числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную, мы сначала преобразуем его в десятичное число, как описано выше. Затем мы преобразуем полученное десятичное число в шестнадцатеричную систему счисления.

Важно помнить, что при преобразовании отрицательных чисел в другие системы счисления, необходимо учитывать особенности представления отрицательных чисел в дополнительном коде и правильно определять их знак.

Таблица сравнения знаковых представлений

Заключение

В данной лекции мы рассмотрели представление отрицательных чисел в двоичной системе счисления. Мы изучили знаковое представление, обратный код и дополнительный код, а также научились выполнять арифметические операции с отрицательными числами. Также мы рассмотрели преобразование отрицательных чисел в другие системы счисления. Понимание этих концепций позволит нам более глубоко изучить работу компьютерных систем и алгоритмов.