Алгоритм решения двойных интегралов

[stextbox id=’teorema’ caption=’Теорема’]Двойными называются определенные интегралы, подынтегральная функция которых зависит од двух независимых переменных. Т.к. вычисление двойных интегралов сводится к вычислению интегралов от функций одной переменной, для решения задач необходимо также помнить таблицу основных интегралов.

[/stextbox]

[stextbox id=’info’ caption=’Таблица основных интегралов’]

$C$ – постоянная величина

$\int 0\cdot dx = C$

$\int dx = x + C$

$\int x^{n}dx =\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)$

$\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C$

$\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C$

$\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)$

$\int e^{x}dx = e^{x} + C$

$\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}dx = \sin{x} + C$

$\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C$

$\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C$

$\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C$

$\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C$

$\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C$

$\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C$

$\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C$

$\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C$

$\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C$

$\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C$

[/stextbox]

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решений двойных интегралов

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 1′]

Задача

Вычислить интеграл:

$\int\limits_{D}\int \frac{dxdy}{(x + y)^{2}},$

распространённый на прямоугольник $D = [3,4; 1,2]$

Решение

$\int\limits_{D}\int \frac{dxdy}{(x + y)^{2}} = \int_{1}^{2}\int_{3}^{4}\frac{dxdy}{(x + y)^{2}} = \int_{1}^{2}dy\int_{3}^{4}\frac{dx}{(x + y)^{2}}$

Вычислим внутренний интеграл

$\int_{3}^{4}\frac{dx}{(x + y)^{2}}$

$\int_{3}^{4}\frac{dx}{(x + y)^{2}} = \frac{1}{y + 3} - \frac{1}{y + 4}$

Искомый интеграл равен:

$\int\limits_{D}\int \frac{dxdy}{(x + y)^{2}} = \int_{1}^{2}\left[\frac{1}{y + 3} - \frac{1}{y + 4}\right]dy = \ln\frac{25}{4}$

Ответ

$\int\limits_{D}\int \frac{dxdy}{(x + y)^{2}} = \ln\frac{25}{4}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 2′]

Задача

Вычислить интеграл:

$\int\limits_{D}\int (x + 2y)dxdy,$

область $D$ ограничена линиями $y = x^{2}, y = 0, x + y - 2 = 0$

Решение

$\int\limits_{D}\int (x + 2y)dxdy = \int_{0}^{1}dy\int_{\sqrt y}^{2 - y}(x + 2y)dx =$

$= \int_{0}^{1}dy \Bigl. \left(\frac{x^{2}}{2} + 2xy\right) \Bigr|_{\sqrt y}^{2 - y} = \int_{0}^{1}\left(\frac{(2 - y)^{2}}{2} + 4y - 2y^{2} - \frac{y}{2} - 2y^{\frac{3}{2}}\right)dy =$

$= \Bigl. \left(\frac{(y - 2)^{3}}{6} + \frac{7y^{2}}{2\cdot 2} - 2\cdot \frac{y^{3}}{3} - 2\cdot 2\cdot \frac{y^{\frac{5}{2}}}{5}\right) \Bigr|_{0}^{1} =$

$= -\frac{1}{6} + \frac{8}{6} + \frac{7}{4} - \frac{2}{3} - \frac{4}{5} = \frac{29}{20}$

Ответ

$\int\limits_{D}\int (x + 2y)dxdy = \frac{29}{20}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 3′]

Задача

Вычислить интеграл:

$\int_{1}^{3}\int_{2}^{5}(5x^{2}y - 2y^{3})dxdy$

Решение

Вычислим внутренний интеграл

$\int_{2}^{5}(5x^{2}y - 2y^{3})dx$

$\int_{2}^{5}(5x^{2}y - 2y^{3})dx = 159y - 6y^{3}$

$\int_{1}^{3}dy\int_{2}^{5}(5x^{2}y - 2y^{3})dx = \int_{1}^{3}(159y - 6y^{3})dy = 660$

Ответ

$\int_{1}^{3}dy\int_{2}^{5}(5x^{2}y - 2y^{3})dx = 660$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 4′]

Задача

Вычислить интеграл:

$\int\limits_{D}\int (9- x^{2} - y^{2})dxdy,$

область $D$ – круг, задаваемый уравнением $x^{2} + y^{2} \leq 9$

Решение

Перейдём к полярным координатам, применив формулу

$\int\limits_{D}\int f(x;y)dxdy = \int\limits_{D^{*}}\int f(r\cos\varphi;r\sin\varphi)\cdot r\cdot dr\cdot d\varphi$

$\int\limits_{D}\int (9- x^{2} - y^{2})dxdy = \int\limits_{D}\int \sqrt{9 - (r\cos\varphi)^{2} - (r\sin\varphi)^{2}}\cdot r\cdot dr\cdot d\varphi =$

$= \int\limits_{D}\int r\cdot\sqrt{9 - r^{2}}drd\varphi$

Область $D$ в полярной системе координат определяется неравенствами $0 \leq \varphi \leq 2\pi,\ 0 \leq r \leq 3$

Применим формулу

$\int\limits_{D^{*}}\int r\cdot f(r\cos\varphi;r\sin\varphi)drd\varphi = \int_{\alpha}^{\beta}d\varphi\int_{r_{1}(\varphi)}^{r_{2}(\varphi)}r\cdot f(r\cos\varphi;r\sin\varphi)dr$

$\int\limits_{D}\int r\cdot\sqrt{9 - r^{2}}drd\varphi = \int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{3}r\cdot\sqrt{9 - r^{2}}dr =$

$-\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{3}r\cdot(9 - r^{2})^{\frac{1}{2}}\cdot d(9 - r^{2}) = -\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\Bigl. \left(\frac{(9 - r^{2})^\frac{3}{2}\cdot 2}{3}\right) \Bigr|_{0}^{3} =$

$= -\frac{1}{3}\int_{0}^{2\pi}(0 - 27)d\varphi = \Bigl. 9\varphi \Bigr|_{0}^{2\pi} = 18\pi$

Ответ

$\int\limits_{D}\int (9- x^{2} - y^{2})dxdy = 18\pi$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 5′]

Задача

Вычислить интеграл:

$\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{x^{2}dxdy}{1 + y^{2}}$

Решение

$\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{x^{2}dxdy}{1 + y^{2}} = \int_{0}^{1}x^{2}dx\cdot\int_{0}^{1}\frac{dy}{1 + y^{2}}$

Итегралы

$\int x^{2}dx$

$\int\frac{dy}{1 + y^{2}}$

являются табличными и равны:

$\int x^{2}dx = \frac{x^{3}}{3} + C$

$\int\frac{dy}{1 + y^{2}} = \ arctgy + C$

$\int_{0}^{1}x^{2}dx\cdot\int_{0}^{1}\frac{dy}{1 + y^{2}} = \Bigl. \frac{x^{3}}{3} \Bigr|_{0}^{1}\cdot\Bigl. \ arctgy \Bigr|_{0}^{1} = \frac{\pi}{12}$

Ответ

$\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{x^{2}dxdy}{1 + y^{2}} = \frac{\pi}{12}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 6′]

Задача

Найти объём тела, ограниченного поверхностями, заданных уравнениями $x^{2} + y^{2} - z + 1 = 0,\ x^{2} + y^{2} + 3z - 7 = 0$

Решение

Найдём уравнение линии пересечения двух поверхностей. Для этого составим систему уравнений:

$\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} + y^{2} = z - 1, \\ x^{2} + y^{2} = -3z + 7; \end{array} \right.$

Уравнение линии пересечения поверхностей будет иметь следующий вид:

$x^{2} + y^{2} =1,\ z = 2$

Искомый объём тела равен разности двух тел цилиндрической формы, имеющих в основании круг, задаваемый уравнением $x^{2} + y^{2} \leq 1$ и ограниченных поверхностями $z = \frac{1}{3}(7 - x^{2} - y^{2})$ и $z = x^{2} + y^{2} + 1$

$V = V_{1} - V_{2} = \int\limits_{D}\int \frac{1}{3}(7 - x^{2} - y^{2})dxdy - \int\limits_{D}\int (x^{2} + y^{2} + 1)dxdy$

Перейдём к полярным координатам:

$V = \frac{1}{3}\int\limits_{D}\int (7 - r^{2})rdxd\varphi - \int\limits_{D}\int (7 + r^{2})rdxd\varphi =$

$= \frac{1}{3}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{1}(7r - r^{3})dr - \int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{1}(7r + r^{3})dr =$

$= \Bigl. \frac{1}{3}\left(\frac{7}{2} - \frac{1}{4}\cdot\varphi\right) \Bigr|_{0}^{2\pi} - \Bigl. \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\cdot\varphi\right) \Bigr|_{0}^{2\pi} = \frac{13}{12}\cdot 2\pi - \frac{3}{4}\cdot 2\pi = \frac{2}{3}\pi$

Ответ

Объём тела, ограниченного поверхностями, заданных уравнениями $x^{2} + y^{2} - z + 1 = 0,\ x^{2} + y^{2} + 3z - 7 = 0$ равен $\frac{2}{3}\pi$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 7′]

Задача

Вычислить интеграл:

$\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{ydxdy}{(1 + x^{2} + y^{2})^\frac{3}{2}}$

Решение

$\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{ydxdy}{(1 + x^{2} + y^{2})^\frac{3}{2}} = \int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}\frac{ydy}{(1 + x^{2} + y^{2})^\frac{3}{2}}$

$\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1}\frac{ydy}{(1 + x^{2} + y^{2})^\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

$\int_{0}^{1}(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}})dx = \Bigl. \ln\frac{x + \sqrt{x^{2} + 1}}{x + \sqrt{x^{2} + 2}} \Bigr|_{0}^{1} =$

$= \ln\frac{2 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{3}}$

Ответ

$\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}\frac{ydxdy}{(1 + x^{2} + y^{2})^\frac{3}{2}} = \ln\frac{2 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{3}}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 8′]

Задача

Найти массу тела, моменты $S_{x},\ S_{y}$ и центр тяжести фигур, лежащей в первой четверти координатной плоскости и ограниченной эллипсом, заданным уравнением $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ , а также координатными осями.

Решение

Найдём массу тела:

$m = \int\limits_{D}\int kxydxdy = k\int_{0}^{2}xdx\int_{0}^{\sqrt{1- \frac{x^{2}}{4}}}ydy =$

$= \frac{k}{2}\int_{0}^{2}xdx\cdot \Bigl. y^{2} \Bigr|_{0}^{\sqrt{1- \frac{x^{2}}{4}}} = \frac{k}{2}\cdot\frac{1}{4}\int_{0}^{2}x(4 - x^{2})dx =$

$= \Bigl. \frac{k}{8}\left(2x^{2} - \frac{x^{4}}{4}\right) \Bigr|_{0}^{2} = \frac{k}{2}$

Найдём статические моменты:

$S_{x} = \int\limits_{D}\int ykxydxdy = k\int_{0}^{2}xdx\int_{0}^{\sqrt{1- \frac{x^{2}}{4}}}y^{2}dy = \frac{4}{15}k$

$S_{y} = \int\limits_{D}\int ykxydxdy = k\int_{0}^{2}x^{2}dx\int_{0}^{\sqrt{1- \frac{x^{2}}{4}}}ydy = \frac{8}{15}k$

Найдём координаты центра тяжести:

$x_{c} = \frac{S_{y}}{m} = \frac{16}{5},\ y_{c} = \frac{S_{y}}{m} = \frac{8}{15}$

Ответ

$m = \frac{k}{2},\ S_{x} = \frac{4}{15}k,\ S_{y} = \frac{8}{15}k,\ x_{c} = \frac{16}{5},\ y_{c} = \frac{8}{15}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 9′]

Задача

Найти объём тела $V$ , ограниченного сверху поверхностью $xy,$ с боков плоскостями $x = 0,\ x = a,\ y = 0,\ y = b,$ сверху эллиптическим параболоидом

$z = \frac{x^{2}}{2p} + \frac{y^{2}}{2q}$

Решение

Искомый объём равен

$V = \int\limits_{[0,a;0,b]}\int (\frac{x^{2}}{2p} + \frac{y^{2}}{2q})dP$

$V = \int_{0}^{b}dy\int_{0}^{a}\left(\frac{x^{2}}{2p} + \frac{y^{2}}{2q}\right)dx =$

$= \int_{0}^{b}\left(\frac{a^{3}}{6p} + \frac{ay^{2}}{2q}\right)dy = \frac{ab}{6}\left(\frac{a^{2}}{p} + \frac{b^{2}}{q}\right)$

Ответ

$V = \frac{ab}{6}\left(\frac{a^{2}}{p} + \frac{b^{2}}{q}\right)$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 10′]

Задача

Найти объём тела $V$ , ограниченного сверху поверхностью $xy,$ поверхностью $x^{2} + z^{2} = R^{2},\ Z > 0$ и плоскостями $y = 0,\ y = H$ .

Решение

Примем за основание тела прямоугольник $[-R,R;0,H]$ .

Тогда искомый объём $V$ будет равен:

$V = \int_{0}^{H}\int_{-R}^{R}\sqrt{R^{2} - x^{2}}dxdy = 2H\int_{0}^{R}\sqrt{R^{2} - x^{2}}dx = \frac{\pi R^{2}H}{2}$

Ответ

$V = \frac{\pi R^{2}H}{2}$

[/stextbox]

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CTRL + Enter

сагдиана на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно!
акмарал на Более 50 основных формул по физике с пояснениема эти формулы обычно используют в олимпиядах
всем пока на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно. калькулятор не работает.
Великий гей Никола Тесла на Более 50 основных формул по физике с пояснениемСайт параша, я пытался списать ЕГЭ по физике с помощью них, я блять сдал его на 99999 балов, и теперь
некто на Примеры решения матриц с ответамиНеправильные ответы, учите матрицу гении

Примеры решения двойных интегралов с ответами

Алгоритм решения двойных интегралов

Примеры решений двойных интегралов

Авторизуйтесь