Изучаем основы уравнения Шредингера: простейшие задачи и их решения

О чем статья

Введение

Добро пожаловать на лекцию по моделированию! В этой лекции мы будем изучать основы моделирования и его применение в различных областях. Моделирование – это процесс создания упрощенных представлений реальных систем или явлений с целью изучения их свойств и поведения. Моделирование является важным инструментом в науке, инженерии, экономике и других областях, позволяя нам предсказывать результаты и принимать обоснованные решения.

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Определение уравнения Шредингера

Уравнение Шредингера – это основное уравнение квантовой механики, которое описывает эволюцию квантовой системы во времени. Оно названо в честь немецкого физика Эрвина Шредингера, который впервые предложил его формулировку в 1926 году.

Уравнение Шредингера описывает эволюцию волновой функции системы, которая содержит информацию о состоянии и поведении частиц в квантовой системе. Волновая функция является математическим объектом, который содержит всю доступную информацию о системе.

Уравнение Шредингера имеет вид:

$ihbarfrac{partial}{partial t}Psi(mathbf{r},t) = hat{H}Psi(mathbf{r},t)$

где:

$Psi(mathbf{r},t)$

– волновая функция системы, зависящая от координаты

$mathbf{r}$

и времени

$t$
$hat{H}$

– оператор Гамильтона, который представляет собой энергию системы и ее потенциальное поле
$hbar$

– постоянная Планка, которая связывает энергию и частоту в квантовой механике
$i$

– мнимая единица

Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики и позволяет предсказывать поведение квантовых систем. Решение этого уравнения позволяет определить волновую функцию системы и, следовательно, вероятность нахождения частицы в определенном состоянии.

Простейшие задачи для одномерного уравнения Шредингера

Одномерное уравнение Шредингера описывает квантовую систему, движущуюся вдоль одной оси. В этом случае, волновая функция зависит только от одной переменной – координаты частицы.

Бесконечно глубокая потенциальная яма

В этой задаче, потенциальное поле представляет собой бесконечно глубокую потенциальную яму, где потенциал равен нулю внутри ямы и бесконечности вне ямы. Уравнение Шредингера для этой задачи имеет вид:

$frac{{d^2psi}}{{dx^2}} + k^2psi = 0$

где

$k$

– волновой вектор, связанный с энергией частицы. Решение этого уравнения дает набор дискретных энергетических уровней и соответствующих волновых функций.

Гармонический осциллятор

В этой задаче, потенциальное поле представляет собой гармонический осциллятор, где потенциал пропорционален квадрату координаты частицы. Уравнение Шредингера для этой задачи имеет вид:

$frac{{d^2psi}}{{dx^2}} + frac{{momega^2}}{{hbar}}x^2psi = 0$

где

$m$

– масса частицы,

$omega$

– частота осциллятора. Решение этого уравнения дает набор дискретных энергетических уровней и соответствующих волновых функций.

Барьер потенциала

В этой задаче, потенциальное поле представляет собой барьер, где потенциал равен нулю вне барьера и конечен внутри барьера. Уравнение Шредингера для этой задачи имеет вид:

$frac{{d^2psi}}{{dx^2}} + frac{{2m}}{{hbar^2}}(E - V(x))psi = 0$

где

$E$

– энергия частицы,

$V(x)$

– потенциальная энергия. Решение этого уравнения позволяет определить вероятность проникновения частицы через барьер.

Простейшие задачи для двумерного уравнения Шредингера

Квадратная потенциальная яма

В этой задаче, потенциальное поле представляет собой квадратную яму, где потенциал равен нулю внутри ямы и бесконечно вне ямы. Уравнение Шредингера для этой задачи имеет вид:

$frac{{partial^2psi}}{{partial x^2}} + frac{{partial^2psi}}{{partial y^2}} + frac{{2m}}{{hbar^2}}(E - V(x,y))psi = 0$

где

$E$

– энергия частицы,

$V(x,y)$

– потенциальная энергия. Решение этого уравнения позволяет определить энергетические уровни и соответствующие волновые функции частицы внутри квадратной ямы.

Гармонический осциллятор

В этой задаче, потенциальное поле представляет собой гармонический осциллятор, где потенциал пропорционален квадрату расстояния от центра осциллятора. Уравнение Шредингера для этой задачи имеет вид:

$frac{{partial^2psi}}{{partial x^2}} + frac{{partial^2psi}}{{partial y^2}} + frac{{2m}}{{hbar^2}}(E - V(x,y))psi = 0$

где

$E$

– энергия частицы,

$V(x,y)$

– потенциальная энергия. Решение этого уравнения позволяет определить энергетические уровни и соответствующие волновые функции частицы в гармоническом осцилляторе.

Барьер потенциала

$frac{{partial^2psi}}{{partial x^2}} + frac{{partial^2psi}}{{partial y^2}} + frac{{2m}}{{hbar^2}}(E - V(x,y))psi = 0$

где

$E$

– энергия частицы,

$V(x,y)$

Простейшие задачи для трехмерного уравнения Шредингера

Частица в прямоугольной потенциальной яме

В этой задаче, потенциальное поле представляет собой прямоугольную яму, где потенциал равен нулю внутри ямы и бесконечно велик снаружи. Уравнение Шредингера для этой задачи имеет вид:

$frac{{partial^2psi}}{{partial x^2}} + frac{{partial^2psi}}{{partial y^2}} + frac{{partial^2psi}}{{partial z^2}} + frac{{2m}}{{hbar^2}}(E - V(x,y,z))psi = 0$

где

$E$

– энергия частицы,

$V(x,y,z)$

– потенциальная энергия. Решение этого уравнения позволяет определить энергетические уровни и волновые функции частицы внутри ямы.

Частица в сферической потенциальной яме

В этой задаче, потенциальное поле представляет собой сферическую яму, где потенциал равен нулю внутри ямы и бесконечно велик снаружи. Уравнение Шредингера для этой задачи имеет вид:

$frac{1}{r^2}frac{{partial}}{{partial r}}left(r^2frac{{partialpsi}}{{partial r}}right) + frac{1}{{r^2sintheta}}frac{{partial}}{{partialtheta}}left(sinthetafrac{{partialpsi}}{{partialtheta}}right) + frac{1}{{r^2sin^2theta}}frac{{partial^2psi}}{{partialphi^2}} + frac{{2m}}{{hbar^2}}(E - V(r))psi = 0$

где

$E$

– энергия частицы,

$V(r)$

– потенциальная энергия. Решение этого уравнения позволяет определить энергетические уровни и волновые функции частицы внутри сферической ямы.

Частица в центрально-симметричном потенциале

В этой задаче, потенциальное поле имеет центральную симметрию, где потенциал зависит только от расстояния до центра координат. Уравнение Шредингера для этой задачи имеет вид:

где

$E$

– энергия частицы,

$V(r)$

– потенциальная энергия. Решение этого уравнения позволяет определить энергетические уровни и волновые функции частицы в центрально-симметричном потенциале.

Таблица свойств уравнения Шредингера

Свойство	Описание
Уравнение Шредингера	Уравнение, описывающее эволюцию квантовой системы во времени
Одномерное уравнение Шредингера	Уравнение, применяемое для моделирования квантовых систем с одним пространственным измерением
Двумерное уравнение Шредингера	Уравнение, применяемое для моделирования квантовых систем с двумя пространственными измерениями
Трехмерное уравнение Шредингера	Уравнение, применяемое для моделирования квантовых систем с тремя пространственными измерениями

Заключение

В данной лекции мы рассмотрели основные аспекты моделирования с использованием уравнения Шредингера. Мы определили уравнение Шредингера и рассмотрели простейшие задачи для одномерного, двумерного и трехмерного уравнений Шредингера. Это позволило нам понять, как моделировать различные физические системы с помощью этого уравнения. Моделирование с использованием уравнения Шредингера является важным инструментом в физике и других науках, и его понимание позволяет нам лучше понять и предсказывать поведение микрочастиц и квантовых систем.

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Тагир С.

Редактор.

Экономист-математик, специалист в области маркетинга, автор научных публикаций в Киберленинка (РИНЦ).

Добавить комментарий Отменить ответ

Алексей Иванков на Все, что вам нужно знать о программе CorelDRAW: определение, основные функции и преимуществаПри всем уважении к автору. Но при чем здесь Photoshop, когда вы говорите об ограниченности COrel в работе с растровой
Елена на Уникальные методы активизации учения школьников: исследование Т. И. ШамовойПочему-то в последние годы упрочилась практика писать тексты без списков изученных публикаций и прочих источников и даже более или менее
Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная