О чем статья
Введение
Добро пожаловать на лекцию по теории вероятности! Сегодня мы будем говорить о выборочной дисперсии – одной из основных характеристик случайной величины. Выборочная дисперсия позволяет нам измерить разброс значений в выборке и оценить, насколько они отклоняются от среднего значения. Мы рассмотрим определение выборочной дисперсии, ее формулу, основные свойства и способы интерпретации. Также я приведу несколько примеров вычисления выборочной дисперсии, чтобы вы лучше поняли, как применять эту концепцию на практике. Давайте начнем!
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Определение выборочной дисперсии
Выборочная дисперсия – это мера разброса или изменчивости данных в выборке. Она показывает, насколько значения в выборке отклоняются от их среднего значения.
Для вычисления выборочной дисперсии необходимо знать значения каждого элемента выборки и их среднее значение.
Выборочная дисперсия обозначается как S^2 или s^2, где S – выборочное стандартное отклонение, а s – выборочная среднеквадратичная ошибка.
Выборочная дисперсия может быть вычислена по формуле:
S^2 = Σ(xi – x̄)^2 / (n – 1)
где:
- S^2 – выборочная дисперсия
- Σ – сумма
- xi – значение каждого элемента выборки
- x̄ – среднее значение выборки
- n – количество элементов в выборке
Выборочная дисперсия является неотрицательной величиной. Чем больше выборочная дисперсия, тем больше разброс данных в выборке.
Формула выборочной дисперсии
Формула выборочной дисперсии позволяет вычислить меру разброса данных в выборке. Она определяется следующим образом:
Выборочная дисперсия (S^2) = Σ(xi – x̄)^2 / (n – 1)
где:
- S^2 – выборочная дисперсия
- Σ – сумма
- xi – значение каждого элемента выборки
- x̄ – среднее значение выборки
- n – количество элементов в выборке
Формула выборочной дисперсии основана на разности каждого элемента выборки и среднего значения выборки, возведенных в квадрат. Затем эти значения суммируются и делятся на количество элементов в выборке минус один.
Выборочная дисперсия является неотрицательной величиной. Чем больше выборочная дисперсия, тем больше разброс данных в выборке.
Свойства выборочной дисперсии
Выборочная дисперсия обладает несколькими важными свойствами:
Неотрицательность
Выборочная дисперсия всегда неотрицательна. Это означает, что разброс данных в выборке не может быть отрицательным.
Ноль только для одинаковых значений
Выборочная дисперсия равна нулю только в том случае, если все элементы выборки имеют одинаковые значения. Это означает, что нет разброса данных в выборке.
Зависимость от масштаба
Выборочная дисперсия зависит от масштаба данных. Если все значения в выборке умножить на константу, то выборочная дисперсия также умножится на эту константу в квадрате.
Сумма квадратов отклонений
Выборочная дисперсия является суммой квадратов отклонений каждого элемента выборки от среднего значения выборки. Это позволяет оценить разброс данных в выборке.
Несмещенность
Выборочная дисперсия является несмещенной оценкой истинной дисперсии генеральной совокупности. Это означает, что среднее значение выборочной дисперсии равно истинной дисперсии генеральной совокупности.
Эффективность
Выборочная дисперсия является эффективной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Это означает, что она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок дисперсии.
Интерпретация выборочной дисперсии
Выборочная дисперсия – это мера разброса или изменчивости данных в выборке. Она показывает, насколько значения в выборке отклоняются от их среднего значения.
Интерпретация выборочной дисперсии может быть следующей:
Разброс данных
Выборочная дисперсия позволяет оценить, насколько значения в выборке разбросаны вокруг их среднего значения. Если выборочная дисперсия большая, это означает, что значения в выборке имеют большой разброс и могут значительно отклоняться от среднего значения.
Степень изменчивости
Выборочная дисперсия также позволяет оценить степень изменчивости данных в выборке. Если выборочная дисперсия мала, это означает, что значения в выборке имеют маленький разброс и мало отклоняются от среднего значения.
Репрезентативность выборки
Выборочная дисперсия может быть использована для оценки репрезентативности выборки. Если выборочная дисперсия мала, это может указывать на то, что выборка хорошо представляет генеральную совокупность и значения в выборке близки к значениям в генеральной совокупности.
Важно помнить, что интерпретация выборочной дисперсии должна быть основана на контексте и конкретной ситуации. Она может быть полезна для анализа данных, принятия решений и проверки гипотез.
Примеры вычисления выборочной дисперсии
Пример 1:
Предположим, у нас есть выборка из 5 оценок студентов по математике: 80, 85, 90, 75, 95. Мы хотим вычислить выборочную дисперсию этой выборки.
Шаг 1: Вычисляем среднее значение выборки:
Среднее = (80 + 85 + 90 + 75 + 95) / 5 = 85
Шаг 2: Вычисляем отклонение каждого значения выборки от среднего:
Отклонение 1 = 80 – 85 = -5
Отклонение 2 = 85 – 85 = 0
Отклонение 3 = 90 – 85 = 5
Отклонение 4 = 75 – 85 = -10
Отклонение 5 = 95 – 85 = 10
Шаг 3: Возводим каждое отклонение в квадрат:
Квадрат отклонения 1 = (-5)^2 = 25
Квадрат отклонения 2 = 0^2 = 0
Квадрат отклонения 3 = 5^2 = 25
Квадрат отклонения 4 = (-10)^2 = 100
Квадрат отклонения 5 = 10^2 = 100
Шаг 4: Суммируем все квадраты отклонений:
Сумма квадратов отклонений = 25 + 0 + 25 + 100 + 100 = 250
Шаг 5: Делим сумму квадратов отклонений на количество значений в выборке минус 1:
Выборочная дисперсия = 250 / (5 – 1) = 250 / 4 = 62.5
Пример 2:
Предположим, у нас есть выборка из 8 зарплат сотрудников: 50000, 55000, 60000, 65000, 70000, 75000, 80000, 85000. Мы хотим вычислить выборочную дисперсию этой выборки.
Шаг 1: Вычисляем среднее значение выборки:
Среднее = (50000 + 55000 + 60000 + 65000 + 70000 + 75000 + 80000 + 85000) / 8 = 67500
Шаг 2: Вычисляем отклонение каждого значения выборки от среднего:
Отклонение 1 = 50000 – 67500 = -17500
Отклонение 2 = 55000 – 67500 = -12500
Отклонение 3 = 60000 – 67500 = -7500
Отклонение 4 = 65000 – 67500 = -2500
Отклонение 5 = 70000 – 67500 = 2500
Отклонение 6 = 75000 – 67500 = 7500
Отклонение 7 = 80000 – 67500 = 12500
Отклонение 8 = 85000 – 67500 = 17500
Шаг 3: Возводим каждое отклонение в квадрат:
Квадрат отклонения 1 = (-17500)^2 = 306250000
Квадрат отклонения 2 = (-12500)^2 = 156250000
Квадрат отклонения 3 = (-7500)^2 = 56250000
Квадрат отклонения 4 = (-2500)^2 = 6250000
Квадрат отклонения 5 = 2500^2 = 6250000
Квадрат отклонения 6 = 7500^2 = 56250000
Квадрат отклонения 7 = 12500^2 = 156250000
Квадрат отклонения 8 = 17500^2 = 306250000
Шаг 4: Суммируем все квадраты отклонений:
Сумма квадратов отклонений = 306250000 + 156250000 + 56250000 + 6250000 + 6250000 + 56250000 + 156250000 + 306250000 = 1250000000
Шаг 5: Делим сумму квадратов отклонений на количество значений в выборке минус 1:
Выборочная дисперсия = 1250000000 / (8 – 1) = 1250000000 / 7 = 178571428.57
Таблица сравнения выборочной дисперсии
| Свойство | Определение | Формула | Интерпретация | Пример |
|---|---|---|---|---|
| Среднее значение | Сумма всех значений, деленная на их количество | mean = (x1 + x2 + ... + xn) / n |
Показывает среднюю величину выборки | Выборка: 2, 4, 6, 8, 10 Среднее значение: 6 |
| Дисперсия | Среднее квадратичное отклонение от среднего значения | variance = ((x1 - mean)^2 + (x2 - mean)^2 + ... + (xn - mean)^2) / n |
Показывает разброс значений относительно среднего значения | Выборка: 2, 4, 6, 8, 10 Дисперсия: 8 |
| Стандартное отклонение | Квадратный корень из дисперсии | std_deviation = sqrt(variance) |
Показывает среднее расстояние от каждого значения до среднего значения | Выборка: 2, 4, 6, 8, 10 Стандартное отклонение: 2.83 |
Заключение
Выборочная дисперсия – это мера разброса значений в выборке. Она позволяет оценить, насколько данные отклоняются от среднего значения. Формула выборочной дисперсии основана на разности каждого значения выборки и среднего значения, возведенных в квадрат, и суммировании этих квадратов. Выборочная дисперсия имеет несколько свойств, таких как неотрицательность и масштабируемость. Она также может быть интерпретирована как мера разброса данных вокруг среднего значения. Примеры вычисления выборочной дисперсии помогут лучше понять, как применять эту концепцию на практике.
