0 +1 -1
Виола спросил 4 месяца назад

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста, как решить уравнение: {\sqrt{2x - 4}} - {\sqrt{x + 5}} = 1

1 ответ
0 +1 -1
Елена Вечоркина Админ. ответил 4 месяца назад

Здравствуйте.

Итак, сначала один из корней перенесём вправо:
{\sqrt{2x - 4}} = 1 + {\sqrt{x + 5}}

Теперь обе части неотрицательны, и мы возводим в квадрат обе части равенства:

{(\sqrt{2x - 4})^2} = (1 + {\sqrt{x + 5})^2}
2x - 4 = 1 + 2 {\sqrt{x + 5}} + x + 5
2x - 4 - x - 5 - 1 = 2{\sqrt{x + 5}}
x - 10 = 2{\sqrt{x + 5}}

Полученное уравнение равносильно исходному. Чтобы его решить, рассмотрим систему уравнения:

\left\{ \begin{aligned} {(x - 10)^2} = (2{\sqrt{x + 5})^2\\ x - 10\geq \end{aligned} \right

Далее получается:

\left\{ \begin{aligned} {x^2} - 20x + 100 = 4 (x + 5)\\ x {\geq{10}} \end{aligned} \right

И в итоге:

\left\{ \begin{aligned} {x^2} - 24x + 80 = 0\\ x {\geq{10}} \end{aligned} \right

Найдём корни полученного уравнения по теореме Виета. Предположим, что корни этого уравнения x_1 и x_2, тогда {x_1} + {x_2} = 24, а {x_1}*{x_2} = 80, тогда x_1 = 20, x_2 = 4.

Согласно неравенству системы x{\sqrt{10}}, поэтому корень x_2 = 4 – не подходит.

Ответ: x = 20.

Чтобы добавить ответ, войдите или зарегистрируйтесь