Определение 1. Множество вместе с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр называется линейным (векторным) пространством над полем , если удовлетворяются следующие аксиомы:
1) является абелевой группой;
2) Для любых и выполняются равенства:
а) Умножение на не изменяет , т.е. .
б) .
в) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров, т.е. .
г) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е. .
Обозначение. .
Замечание. Так как − абелева группа, то существует единственный нейтральный (нулевой) элемент, обозначаемый , для каждого вектора существует единственный симметричный (противоположенный) элемент, обозначаемый , и для уравнение имеет единственное решение , называемое разностью и .
Свойства линейного пространства.
1) выполняется .
2) выполняется .
3) выполняется .
4) выполняется .
5) .
6) .
7) .