, 
, 
, … и множество 
. Введем на 
ставит в соответствие третий элемент 
, называемый суммой 
и обозначаемый 
, а также операцию умножения скаляра на вектора, которая
и 
, называемый произведением вектора 
на скаляр 
Определение 1. Множество 
вместе с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр называется линейным (векторным) пространством над полем 
, если удовлетворяются следующие аксиомы:
1) 
является абелевой группой;
2) Для любых 
и
выполняются равенства:
а) Умножение 
на 
не изменяет 
, т.е. 
.
б) 
.
в) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров, т.е. 
.
г) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е. 
.
Обозначение. 
.
Замечание. Так как − абелева группа, то существует единственный нейтральный (нулевой) элемент, обозначаемый 
, для каждого вектора 
существует единственный симметричный (противоположенный) элемент, обозначаемый 
, и для 
уравнение 
имеет единственное решение 
, называемое разностью 
и 
.
Свойства линейного пространства.
1) 
выполняется 
.
2) 
выполняется 
.
3) 
выполняется 
.
4) 
выполняется 
.
5) 
.
6) 
.
7) 
.