Определение и свойства проекции

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Определение
Проекция вектора на ось (вектор – \overline{a}, ось l – обозначается pr_l\overline{a}) называется длина отрезка, которая соединяет проекции на эту ось начала и конца вектора, взята со знаком (+), если угол между вектором и осью острый и со знаком (-), если этот угол тупой (см. рис. 2). 

Очевидно, что когда \overline{a} перпендикулярна \overline{l}, тогда pr_l\overline{a} = 0, и наоборот.

Основные свойства проекций:

1).pr_l\overline{a} = |\overline{a}|cos(a,^\overline{l}) (рис. 2);

2).  pr_l(\lambda\overline{a}) = \lambda{pr_l}\overline{a} (рис. 3);

3). pr_l(\overline{a} + \overline{b}) =  pr_l\overline{a} + pr_l\overline{b} (рис. 4).

Свойство 3 выполняется  для суммы конечного числа векторов.

Графическое изображение - свойства проекций

Примеры нахождения проекции

Пример 1

Задача

Найти проекцию вектора \overline{a} = (1, 2) на вектор \overline{b} = (3, 4)

Решение

Сначала находим скалярное произведение вектора:

\overline{a} x \overline{b} = 1 x 3 + 2 x 4 = 3 + 8 = 11.

Найдём модуль вектора \overline{b}:

\overline{|b|} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Найдём проекцию вектора \overline{a} на вектор \overline{b}

pr_\overline{b} x \overline{a} = \overline{a} x \overline{b}\over{|\overline{b}|} = 11\over{5} = 2,2

Ответ: pr_\overline{b} \overline{a} = 2,2

Пример 2

Задача

Вычислить числовую проекцию вектора  \overline{a} на ось, направление которой определяется вектором \overline{b}, если модуль вектора \overline{a} равен 3, а угол между векторами \overline{a} и \overline{b} равен 30^0.

Решение

Итак, у нас есть \overline{a} = 3 (\overline{a}, ^ \overline{b} = 30^0, тогда искомая числовая проекция

pr_\overline{b}.\overline{a} = 3 x cos 30^0 = 3 x \sqrt{3}\over{2} = 3\sqrt3\over{2}.

Ответ: pr_\overline{b}.\overline{a}3\sqrt3\over{2}

Пример 3

Задача

Вектор \overline{b} = (-1, 0) задает направление оси l. Найдите числовую проекцию вектора \overline{a} = (-3, 4) на эту ось.

Решение

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат, то есть для данных векторов имеем:

\overline{a}, \overline{b} = -3 x (-1) +4 x 0 = 3 + 0 = 3

Модуль вектора \overline{b} равен корню квадратному из суммы квадратов координат:

|\overline{b}| = \sqrt{-1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0} = \sqrt{1} = 1

Тогда: pr_l\overline{a} = pr_b.\overline{a} = 3\over{1} = 3

Ответ: pr_l\overline{a} = 3.