Определение. В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.
В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.
Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.
Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.
Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.
Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы – понятия совершенно различные.
Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.
Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.
Пример. Определить ранг матрицы.
, 
RgA = 2.
Если ранг матрицы (r) больше количества неизвестных (n), то системы несовместна и решений нет
Если r=n, то существует единственное решение
Если r<n, то существует бесконечное число решений
Свойства ранга:
1. При транспонировании матрицы ранг не меняется
2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится
3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях