Ранг матрицы: основные концепции и применения

Ранг матрицы – наивысший порядок минора матрицы, который не равен нулю. В статье рассмотрим разберём несколько определений и на примере покажем, как правильно искать ранг матрицы.

Что такое ранг матрицы: определения и теорема

Определение

Определитель, составленный из элементов матрицы $A$ размером $m*n$ которые находятся на пересечении производных её $k$ строк и $k$ столбцов, называется минором $k$ -того порядка данной матрицы.

Для данной матрицы можно составить миноры разных порядков, начиная от «1» (определитель первого порядка принимается одинаковым своему единственному элементу) к меньшему из чисел $m$ или $n$ . Так, для матрицы

$A$ = $\begin{pmatrix} 3&2&1&2\\ 2&0&-1&1\\ 0&4&5&1 \end{pmatrix}$

Можно составить 12 миноров первого порядка (одни элементы), 18 миноров второго порядка и 4 минора третьего порядка. Выпишем миноры 3-го порядка и найдём их значения.

$\begin{vmatrix} 3&2&1\\ 2&0&-1\\ 0&4&5 \end{vmatrix} = 0$ , $\begin{vmatrix} 3&2&2\\ 2&0&1\\ 0&4&1 \end{vmatrix} = 0$ , $\begin{vmatrix} 3&1&1\\ 2&-1&1\\ 0&5&1 \end{vmatrix} = 0$ ,

$\begin{vmatrix} 2&1&2\\ 0&-1&1\\ 4&5&1 \end{vmatrix} = 0 \right$ .

Среди миноров второго порядка могут быть нулевые и не равны нулю. Все выписывать не будем, а покажем на примере,

$\begin{vmatrix} 3&2\\ 2&0\\ \end{vmatrix} \neq 0 \right$ ,

Определение

Наивысший порядок минора матрицы $A,$ который не равен нулю, называется рангом этой матрицы и обозначается $r(A).$

Из определения следует, что если ранг матрицы $A$ , $r(A) = r$ , тогда среди миноров $r$ -того порядка есть миноры, которые не равны нулю, а все миноры $(r + 1)$ -го порядка равняются нулю.

Если же матрица нулевая, тогда её ранг равен нулю, а если матрица квадратная и невырожденная, тогда её ранг равен порядку матрицы. Таким образом, для каждой матрицы $A$ размером $m * n$ её ранг принимает соответствующее значение $r(A)$ , которое находится в пределах:

$0 \leq r(A)\leq min(m, n).$

В вышеприведённом примере матрицы мы видели, что наивысший порядок её минора, не равного нулю, равняется 2, $r(A) = 2.$

Нахождение ранга матрицы путём перебора значений всех её возможных миноров связано со значимым объёмом вычислений, особенно когда размер матрицы большой. Поэтому существует способ нахождения ранга, который основан на элементарных преобразованиях:

К элементарным преобразованиям относятся:

Транспонирование матрицы;
умножение элементов строки (столбца) матрицы на число, которое не равно нулю;
перестановка местами двух строк (столбцов);
прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов второй строки (столбца), которые умножены на одно и то же число.

Теорема

При элементарном преобразовании ранг матриц не меняется.

Две матрицы $A$ и $B$ называются эквивалентными (обозначаются $A и B$ ), если одна из них может быть получена из другой при помощи конечного числа элементарны преобразований.

Ранги эквивалентных матриц равняются:

$A-{B}\rightarrow r(A) = r(B).$

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры

Чтобы вы могли найти ранг матриц без проблем, разберём несколько примеров.

Пример 1

Найти ранг матрицы:

$A$ = $\begin{pmatrix} 2&-2&3&4\\ 3&3&5&2\\ 4&6&-2&7 \end{pmatrix} \right$

Решение:

Из второй строки матрицы $A$ отнимем первую и переставим их местами:

$A$ = $\begin{pmatrix} 2&-2&3&4\\ 1&5&2&-2\\ 4&6&-2&7 \end{pmatrix} \right$

Получается

$A$ = $\begin{pmatrix} 1&5&2&-2\\ 2&-2&3&4\\ 4&6&-2&7 \end{pmatrix} \right$

Прибавим ко второй и третьей строке первую, соответственно, умноженную на (-2) и (-4), а тогда поменяем местами второй и третий столбцы и получим:

$A$ = $\begin{pmatrix} 1&5&2&-2\\ 0&-12&-1&8\\ 0&-14&-10&5 \end{pmatrix} \right$

Итого:

$A$ = $\begin{pmatrix} 1&2&5&-2\\ 0&-1&-12&8\\ 0&-10&-14&15 \end{pmatrix} \right$

Умножим вторую строку на (-10) и прибавим с третьей строкой. Получается:

$A$ = $\begin{pmatrix} 1&2&5&-2\\ 0&-1&-12&8\\ 0&0&106&-65 \end{pmatrix} = B \right$

Матрица $B$ – трапециеподобная. Она получена из $A$ при помощи конечного числа элементарных преобразований, её ранг равен 3.

Таким образом,

$r(A) = r(B) = 3$

Обратите внимание!

Ранг матрицы можно находить, если воспользоваться правилом прямоугольника, которое по сути, отвечает последовательному применению элементарных преобразований матриц.

Пример 2

Найти ранг матрицы:

$A$ = $\begin{pmatrix} 1&2&3&4&0\\ -2&-1&0&-3&2\\ 1&1&1&1&1\\ -1&0&1&-2&3 \end{pmatrix} \right$

Далее следует:

$A$ = $\begin{pmatrix} 1&2&3&4&0\\ 0&3&6&5&2\\ 0&-1&-2&-3&1\\ 0&2&4&2&3 \end{pmatrix} \right$

Умножим третью строку на (-1) и переставим его со второй строкой, ведущим элементом выберем $a_{22}$ = $1$

$A$ = $\begin{pmatrix} 1&2&3&4&0\\ 0&1&2&3&-1\\ 0&3&6&5&2\\ 0&2&4&2&3 \end{pmatrix} \right$

Следующая матрица:

$A$ = $\begin{pmatrix} 1&2&3&4&0\\ 0&1&2&3&-1\\ 0&0&0&-4&5\\ 0&0&0&-4&5 \end{pmatrix} \right$

В итоге получилось:

$A$ = $\begin{pmatrix} 1&2&3&4&0\\ 0&1&2&3&-1\\ 0&0&0&-4&5\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \right$

Очевидно, что ранг последней, а значит, и эквивалентной ей изначальной матрицы $A$ равен 3, то есть $r(A) = 3.$

Обратите внимание!

При нахождении ранга матрицы большого размера рациональнее использовать калькулятор, а ещё лучше, компьютер, применяя относительно простой алгоритм правила прямоугольников.

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Елена М.

Редактор.

Сертифицированный копирайтер, автор текстов для публичных выступлений и презентаций.

Добавить комментарий Отменить ответ

Алексей Иванков на Все, что вам нужно знать о программе CorelDRAW: определение, основные функции и преимуществаПри всем уважении к автору. Но при чем здесь Photoshop, когда вы говорите об ограниченности COrel в работе с растровой
Елена на Уникальные методы активизации учения школьников: исследование Т. И. ШамовойПочему-то в последние годы упрочилась практика писать тексты без списков изученных публикаций и прочих источников и даже более или менее
Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная