Что такое ранг матрицы: определения и теорема
Для данной матрицы можно составить миноры разных порядков, начиная от «1» (определитель первого порядка принимается одинаковым своему единственному элементу) к меньшему из чисел или
. Так, для матрицы
=
Можно составить 12 миноров первого порядка (одни элементы), 18 миноров второго порядка и 4 минора третьего порядка. Выпишем миноры 3-го порядка и найдём их значения.
,
,
,
.
Среди миноров второго порядка могут быть нулевые и не равны нулю. Все выписывать не будем, а покажем на примере,
,
Наивысший порядок минора матрицы который не равен нулю, называется рангом этой матрицы и обозначается
Из определения следует, что если ранг матрицы ,
, тогда среди миноров
-того порядка есть миноры, которые не равны нулю, а все миноры
-го порядка равняются нулю.
Если же матрица нулевая, тогда её ранг равен нулю, а если матрица квадратная и невырожденная, тогда её ранг равен порядку матрицы. Таким образом, для каждой матрицы размером
её ранг принимает соответствующее значение
, которое находится в пределах:
В вышеприведённом примере матрицы мы видели, что наивысший порядок её минора, не равного нулю, равняется 2,
Нахождение ранга матрицы путём перебора значений всех её возможных миноров связано со значимым объёмом вычислений, особенно когда размер матрицы большой. Поэтому существует способ нахождения ранга, который основан на элементарных преобразованиях:
К элементарным преобразованиям относятся:
- Транспонирование матрицы;
- умножение элементов строки (столбца) матрицы на число, которое не равно нулю;
- перестановка местами двух строк (столбцов);
- прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов второй строки (столбца), которые умножены на одно и то же число.
Две матрицы и
называются эквивалентными (обозначаются
), если одна из них может быть получена из другой при помощи конечного числа элементарны преобразований.
Ранги эквивалентных матриц равняются:
Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Примеры
Чтобы вы могли найти ранг матриц без проблем, разберём несколько примеров.
Найти ранг матрицы:
=
Решение:
Из второй строки матрицы отнимем первую и переставим их местами:
=
Получается
=
Прибавим ко второй и третьей строке первую, соответственно, умноженную на (-2) и (-4), а тогда поменяем местами второй и третий столбцы и получим:
=
Итого:
=
Умножим вторую строку на (-10) и прибавим с третьей строкой. Получается:
=
Матрица – трапециеподобная. Она получена из
при помощи конечного числа элементарных преобразований, её ранг равен 3.
Таким образом,
Найти ранг матрицы:
=
Далее следует:
=
Умножим третью строку на (-1) и переставим его со второй строкой, ведущим элементом выберем =
=
Следующая матрица:
=
В итоге получилось:
=
Очевидно, что ранг последней, а значит, и эквивалентной ей изначальной матрицы равен 3, то есть