Ранг матрицы – наивысший порядок минора матрицы, который не равен нулю. В статье рассмотрим разберём несколько определений и на примере покажем, как правильно искать ранг матрицы.

Что такое ранг матрицы: определения и теорема

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости

Определение
 Определитель, составленный из элементов матрицы A размером m*n которые находятся на пересечении производных её k строк и k столбцов, называется минором k-того порядка данной матрицы.

Для данной матрицы можно составить миноры разных порядков, начиная от «1» (определитель первого порядка принимается одинаковым своему единственному элементу) к меньшему из чисел m или n. Так, для матрицы

A = \begin{pmatrix} 3&2&1&2\\ 2&0&-1&1\\ 0&4&5&1 \end{pmatrix}

Можно составить 12 миноров первого порядка (одни элементы), 18 миноров второго порядка и 4 минора третьего порядка. Выпишем миноры 3-го порядка и найдём их значения.

\begin{vmatrix}  3&2&1\\  2&0&-1\\  0&4&5  \end{vmatrix} = 0,  \begin{vmatrix}  3&2&2\\  2&0&1\\  0&4&1  \end{vmatrix} = 0,  \begin{vmatrix}  3&1&1\\  2&-1&1\\  0&5&1  \end{vmatrix} = 0,

\begin{vmatrix}  2&1&2\\  0&-1&1\\  4&5&1  \end{vmatrix} = 0  \right.

Среди миноров второго порядка могут быть нулевые и не равны нулю. Все выписывать не будем, а покажем на примере,

 \begin{vmatrix} 3&2\\ 2&0\\ \end{vmatrix} \neq 0 \right,

Определение
 

Наивысший порядок минора матрицы A, который не равен нулю, называется рангом этой матрицы и обозначается r(A).

 

Из определения следует, что если ранг матрицы A, r(A) = r, тогда среди миноров r-того порядка есть миноры, которые не равны нулю, а все миноры (r + 1)-го порядка равняются нулю.

Если же матрица нулевая, тогда её ранг равен нулю, а если матрица квадратная и невырожденная, тогда её ранг равен порядку матрицы. Таким образом, для каждой матрицы A размером m * n её ранг принимает соответствующее значение r(A), которое находится в пределах:

0 \leq r(A)\leq min(m, n).

В вышеприведённом примере матрицы мы видели, что наивысший порядок её минора, не равного нулю, равняется 2, r(A) = 2.

Нахождение ранга матрицы путём перебора значений всех её возможных миноров связано со значимым объёмом вычислений, особенно когда размер матрицы большой. Поэтому существует способ нахождения ранга, который основан на элементарных преобразованиях:

К элементарным преобразованиям относятся:

  1. Транспонирование матрицы;
  2. умножение элементов строки (столбца) матрицы на число, которое не равно нулю;
  3. перестановка местами двух строк (столбцов);
  4. прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов второй строки (столбца), которые умножены на одно и то же число.
Теорема
При элементарном преобразовании ранг матриц не меняется.

Две матрицы A и B называются эквивалентными (обозначаются A и B), если одна из них может быть получена из другой при помощи конечного числа элементарны преобразований.

Ранги эквивалентных матриц равняются:

A-{B}\rightarrow r(A) = r(B).

Примеры

Чтобы вы могли найти ранг матриц без проблем, разберём несколько примеров.

Пример 1

Найти ранг матрицы:

A = \begin{pmatrix} 2&-2&3&4\\ 3&3&5&2\\ 4&6&-2&7 \end{pmatrix} \right

Решение:

Из второй строки матрицы A отнимем первую и переставим их местами:

A =\begin{pmatrix} 2&-2&3&4\\ 1&5&2&-2\\ 4&6&-2&7 \end{pmatrix} \right

Получается

A =\begin{pmatrix} 1&5&2&-2\\ 2&-2&3&4\\ 4&6&-2&7 \end{pmatrix} \right

Прибавим ко второй и третьей строке первую, соответственно, умноженную на (-2) и (-4), а тогда поменяем местами второй и третий столбцы и получим:

A =\begin{pmatrix} 1&5&2&-2\\ 0&-12&-1&8\\ 0&-14&-10&5 \end{pmatrix} \right

Итого:

A =\begin{pmatrix} 1&2&5&-2\\ 0&-1&-12&8\\ 0&-10&-14&15 \end{pmatrix} \right

Умножим вторую строку на (-10) и прибавим с третьей строкой. Получается:

A =\begin{pmatrix} 1&2&5&-2\\ 0&-1&-12&8\\ 0&0&106&-65 \end{pmatrix} = B \right

 

Матрица B – трапециеподобная. Она получена из A при помощи конечного числа элементарных преобразований, её ранг равен 3.

 

Таким образом,

r(A) = r(B) = 3

Обратите внимание!
Ранг матрицы можно находить, если воспользоваться правилом прямоугольника, которое по сути, отвечает последовательному применению элементарных преобразований матриц.
Пример 2

Найти ранг матрицы:

A =\begin{pmatrix} 1&2&3&4&0\\ -2&-1&0&-3&2\\ 1&1&1&1&1\\ -1&0&1&-2&3 \end{pmatrix} \right

Далее следует:

A =\begin{pmatrix} 1&2&3&4&0\\ 0&3&6&5&2\\ 0&-1&-2&-3&1\\ 0&2&4&2&3 \end{pmatrix} \right

Умножим третью строку на (-1) и переставим его со второй строкой, ведущим элементом выберем a_{22} = 1

A =\begin{pmatrix} 1&2&3&4&0\\ 0&1&2&3&-1\\ 0&3&6&5&2\\ 0&2&4&2&3 \end{pmatrix} \right

Следующая матрица:

A =\begin{pmatrix} 1&2&3&4&0\\ 0&1&2&3&-1\\ 0&0&0&-4&5\\ 0&0&0&-4&5 \end{pmatrix} \right

В итоге получилось:

A =\begin{pmatrix} 1&2&3&4&0\\ 0&1&2&3&-1\\ 0&0&0&-4&5\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \right

Очевидно, что ранг последней, а значит, и эквивалентной ей изначальной матрицы A равен 3, то есть r(A) = 3.

Обратите внимание!
При нахождении ранга матрицы большого размера рациональнее использовать калькулятор, а ещё лучше, компьютер, применяя относительно простой алгоритм правила прямоугольников.

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

2485

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *