О чем статья
Парабола
[stextbox id=»info» defcaption=»true»]Парабола – это множество точек плоскости, которые равноотделённые от заданной точки, что называется фокусом и заданной прямой под названием директриса.[/stextbox]
Чтобы получить каноническое уравнение параболы, расположим директрису перпендикулярно оси , а фокус
на оси
так, чтобы начало координат
помещался на одинаковом расстоянии от них (см. рис. 1). Обозначим через
расстояние от фокуса к директрисе, тогда у фокуса будут координаты
,
.
Для произвольной точки параболы расстояний
, а расстояние к директрисе
. По определению
из рис. 1 видим, что
, а
и поэтому:
Рис. 1
(1)
— каноническое уравнение параболы.
Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Что такое вершина параболы
Вершина параболы – это парабола, которая проходит через точки . Если точка
принадлежит параболе, то и
тоже принадлежит параболе, так как из:
.
Значит, парабола симметрична относительно оси , её график достаточно построить в первой четверти, где из канонического уравнения параболы получается, что:
Чтобы найти вершину параболы, необходимо знать формулу: .
Давайте посмотрим, как данная формула действует, допустим дано уравнение:
Тогда:
,
,
. Чтобы найти величины
,
и
, в квадратном уравнении коэффициент при
, при
, постоянная (коэффициент без переменной) =
. Если взять тот же пример,
, получается, что:
,
,
.
Форма и характеристики параболы
Исследуем за каноническим уравнением форму и расположение параболы:
1. В уравнении переменная входит в парной степени откуда получается, что парабола симметрична относительно оси
. Ось
— это ось, которая симметрична параболе.
2. Так как , тогда
, откуда получается, что парабола расположена справа от оси
.
3. При мы имеем
, то есть парабола проходит через начало координат. Точка
— это вершина параболы.
4. При увеличении значений переменной модуль
тоже возрастает. Изобразим параболу на рисунке:
Рис. 2
5. В полярной системе координат, у канонического уравнения параболы такой вид:
6. Уравнение ,
,
, тоже описывают параболы:
Рис. 3
Оптическое свойство параболы
У параболы «оптическое» свойство, если: в фокусе параболы поместить источник света, тогда отбитые от параболы лучи будут параллельными оси . Это свойство учитывают при изготовлении прожекторов, зеркальных телескопов, теле- и радио антенн.
При положительном уравнении:
описывают параболу симметричную относительно с вершиной в точке
, ветви которой направлены влево (рис. 3 (а)).
Аналогично изложенному, уравнение и
описывают параболы с вершиной в точке
симметрично относительно
, ветви которой направлены соответственно вверх и вниз (см. рис. 3 (б) и (в)). Если например, уравнение
решить относительно
и обозначить
, тогда получим известное со школьного курса уравнение параболы
. Теперь её фокусное расстояние
.
Примеры решения
[stextbox id=»warning» caption=»Пример 1″]
Задача
Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы .
Решение
Сравнивая каноническое уравнение и данное
, получим
,
, тогда
. Так как уравнение директрисы
, тогда в данном случае
.
Ответ
координаты фокуса: , а уравнение директрисы параболы:
.
[/stextbox]
[stextbox id=»warning» caption=»Пример 2″]
Задача
Составить каноническое уравнение параболы:
а) с фокусом в точке ;
б) с фокусом в точке .
Решение
а). Так как фокус на положительной полуоси
, тогда парабола симметрична относительно
с вершиной в точке
и
, поэтому
и согласно формуле (1)
.
б). Фокус лежит на отрицательной полуоси
с вершиной в точке
, ветви направлены вниз, каноническое уравнение следует искать в виде
. Фокусное расстояние параболы
и уравнение запишется
.
Ответ
а) каноническое уравнение параболы с фокусом в точке :
;
б) каноническое уравнение с фокусом в точке :
.
[/stextbox]
[stextbox id=»warning» caption=»Пример 3″]
Задача
Показать путём выделения полного квадрата, что уравнение — это уравнение параболы. Привести его к каноническому виду. Найти вершину, фокус, ось и директрису этой параболы.
Решение
Выделим относительно переменной полный квадрат
=
=
=
=
=
=
.
Обозначим ,
. Тогда в результате параллельного переноса координатных осей в новое начало, то есть в точку
, получим каноническое уравнение параболы
.
Ветви этой параболы направлены вниз симметрично относительно оси ,
,
— фокусное расстояние. В новой системе координат фокус находится в точке
, уравнение директрисы в новой системе
.
Повернёмся к старым координатам при помощи замены ,
. Уравнение оси в новой системе
, а в старой
— уравнение оси параболы.
Уравнение директрисы в новой системе координат , а в старой
.
В новой системе для фокуса
,
, а в старой системе
,
, то есть
.
Ответ
Каноническое уравнение параболы — ;
вершина — ветви параболы направлены вниз;
,
,
— фокусное расстояние, а фокус находится в точке
;
уравнение оси ;
уравнение директрисы .
[/stextbox]