О чем статья
Парабола
Чтобы получить каноническое уравнение параболы, расположим директрису перпендикулярно оси , а фокус на оси так, чтобы начало координат помещался на одинаковом расстоянии от них (см. рис. 1). Обозначим через расстояние от фокуса к директрисе, тогда у фокуса будут координаты , .
Для произвольной точки параболы расстояний , а расстояние к директрисе . По определению из рис. 1 видим, что , а и поэтому:
Рис. 1
(1)
– каноническое уравнение параболы.
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Что такое вершина параболы
Вершина параболы – это парабола, которая проходит через точки . Если точка принадлежит параболе, то и тоже принадлежит параболе, так как из:
.
Значит, парабола симметрична относительно оси , её график достаточно построить в первой четверти, где из канонического уравнения параболы получается, что:
Чтобы найти вершину параболы, необходимо знать формулу: .
Давайте посмотрим, как данная формула действует, допустим дано уравнение:
Тогда:
, , . Чтобы найти величины , и , в квадратном уравнении коэффициент при , при , постоянная (коэффициент без переменной) = . Если взять тот же пример, , получается, что:
, , .
Форма и характеристики параболы
Исследуем за каноническим уравнением форму и расположение параболы:
1. В уравнении переменная входит в парной степени откуда получается, что парабола симметрична относительно оси . Ось – это ось, которая симметрична параболе.
2. Так как , тогда , откуда получается, что парабола расположена справа от оси .
3. При мы имеем , то есть парабола проходит через начало координат. Точка – это вершина параболы.
4. При увеличении значений переменной модуль тоже возрастает. Изобразим параболу на рисунке:
Рис. 2
5. В полярной системе координат, у канонического уравнения параболы такой вид:
6. Уравнение , , , тоже описывают параболы:
Рис. 3
Оптическое свойство параболы
У параболы “оптическое” свойство, если: в фокусе параболы поместить источник света, тогда отбитые от параболы лучи будут параллельными оси . Это свойство учитывают при изготовлении прожекторов, зеркальных телескопов, теле- и радио антенн.
При положительном уравнении:
описывают параболу симметричную относительно с вершиной в точке , ветви которой направлены влево (рис. 3 (а)).
Аналогично изложенному, уравнение и описывают параболы с вершиной в точке симметрично относительно , ветви которой направлены соответственно вверх и вниз (см. рис. 3 (б) и (в)). Если например, уравнение решить относительно
и обозначить , тогда получим известное со школьного курса уравнение параболы . Теперь её фокусное расстояние .