Парабола, её каноническое уравнение, вершина, форма и характеристики параболы

Содержание

1 Парабола
2 Что такое вершина параболы
3 Форма и характеристики параболы
4 Оптическое свойство параболы
5 Примеры решения

Парабола

Определение

Парабола – это множество точек плоскости, которые равноотделённые от заданной точки, что называется фокусом и заданной прямой под названием директриса.

Чтобы получить каноническое уравнение параболы, расположим директрису перпендикулярно оси $OX$ , а фокус $F$ на оси $OX$ так, чтобы начало координат $O(0, 0)$ помещался на одинаковом расстоянии от них (см. рис. 1). Обозначим через $p$ расстояние от фокуса к директрисе, тогда у фокуса будут координаты ${x} = {p\over{2}}$ , $y = 0, F({p\over{2}}, 0)$ .

Для произвольной точки $M (x, y)$ параболы расстояний $FM = r$ , а расстояние к директрисе $MN = d$ . По определению $d = r$ из рис. 1 видим, что $d = {x} + {p\over{2}}$ , а ${r} = \sqrt{x - {p\over{2}}^2} + y^2$ и поэтому:

Парабола

Рис. 1

$\sqrt{(x - {p\over{2}})^2 + y^2} = x + {p\over{2}}\to{x}^2 - 2 * {p\over2}}x + {p^2\over{4}} + y^2 = x^2 + 2 * {p\over{2}}x + {p^2\over{4}}$

$y^2 = 2px$

(1)

– каноническое уравнение параболы.

Что такое вершина параболы

Вершина параболы – это парабола, которая проходит через точки $O (0, 0)$ . Если точка $M_{1}(x , y)$ принадлежит параболе, то и $M_{2}(x , -y)$ тоже принадлежит параболе, так как из:

$y^2 = 2px\to{(-y)^2 = 2px}$ .

Значит, парабола симметрична относительно оси $OX$ , её график достаточно построить в первой четверти, где из канонического уравнения параболы получается, что:

$y = \sqrt{2px}$

Чтобы найти вершину параболы, необходимо знать формулу: $ax^2 + bx + c = 0$ .

Давайте посмотрим, как данная формула действует, допустим дано уравнение:

$y^2 = x^2 + 9x + 18$

Тогда:

$a = 1$ , $b = 9$ , $c = 18$ . Чтобы найти величины $a$ , $b$ и $c$ , в квадратном уравнении коэффициент при $x^2 = a$ , при $x = b$ , постоянная (коэффициент без переменной) = $c$ . Если взять тот же пример, $y^2 = x^2 + 9x + 18$ , получается, что:

$x = {-b\over{2a}}$ , $x = {-9\over{2 * 1}}$ , $x = {-9\over{2}}$ .

Форма и характеристики параболы

Исследуем за каноническим уравнением форму и расположение параболы:

1. В уравнении $y^2 = 2px$ переменная входит в парной степени откуда получается, что парабола симметрична относительно оси $OX$ . Ось $OX$ – это ось, которая симметрична параболе.

2. Так как $p > 0$ , тогда $x\geq{0}$ , откуда получается, что парабола расположена справа от оси $Oy$ .

3. При $x = 0$ мы имеем $y = 0$ , то есть парабола проходит через начало координат. Точка $O(0, 0)$ – это вершина параболы.

4. При увеличении значений переменной $x$ модуль $y$ тоже возрастает. Изобразим параболу на рисунке:

Возрастание параболы

Рис. 2

5. В полярной системе координат, у канонического уравнения параболы такой вид:

${r} = {p\over{1 - cos\varphi}}$

6. Уравнение $y^2 = - 2px$ , $x^2 = 2py$ , $x^2 = -2py (p > 0)$ , тоже описывают параболы:

Парабола

Рис. 3

Оптическое свойство параболы

У параболы “оптическое” свойство, если: в фокусе параболы поместить источник света, тогда отбитые от параболы лучи будут параллельными оси $OX$ . Это свойство учитывают при изготовлении прожекторов, зеркальных телескопов, теле- и радио антенн.

При положительном $p$ уравнении:

$y = - 2px$

описывают параболу симметричную относительно $OX$ с вершиной в точке $O(0, 0)$ , ветви которой направлены влево (рис. 3 (а)).

Аналогично изложенному, уравнение $x^2 = 2py$ и $x^2 = -2py$ описывают параболы с вершиной в точке $O(0, 0)$ симметрично относительно $OY$ , ветви которой направлены соответственно вверх и вниз (см. рис. 3 (б) и (в)). Если например, уравнение $x^2 = 2py$ решить относительно $y$

$y = {1\over{2p}}x^2$ и обозначить ${1\over{2p}} = a$ , тогда получим известное со школьного курса уравнение параболы $y = ax^2$ . Теперь её фокусное расстояние ${p\over{2}} = {1\over{4a}}$ .

Примеры решения

Пример 1

Задача

Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы $y^2 = 6x$ .

Решение

Сравнивая каноническое уравнение $y^2 = 2px$ и данное $y^2 = 6x$ , получим $2p = 6\to{p = 3$ , ${p\over{2}} = {3\over{2}}$ , тогда $F ({3\over{2}}, 0)$ . Так как уравнение директрисы $x = -{p\over{2}}$ , тогда в данном случае $x = -{3\over{2}}$ .

Ответ

координаты фокуса: $F ({3\over{2}}, 0)$ , а уравнение директрисы параболы: $x = -{3\over{2}}$ .

Пример 2

Задача

Составить каноническое уравнение параболы:

а) с фокусом в точке $F(2, 0)$ ;

б) с фокусом в точке $F(0, -6)$ .

Решение

а). Так как фокус $F(2, 0)$ на положительной полуоси $OX$ , тогда парабола симметрична относительно $OX$ с вершиной в точке $O(0, 0)$ и ${p\over{2}} = 2$ , поэтому $p = 4$ и согласно формуле (1) $y^2 = 8x$ .

б). Фокус $F(0, -6)$ лежит на отрицательной полуоси $OY$ с вершиной в точке $O(0, 0)$ , ветви направлены вниз, каноническое уравнение следует искать в виде $x^2 = -2py$ . Фокусное расстояние параболы $|OF| = {p\over{2}} = 6\to{p} = 12$ и уравнение запишется $x^2 = -24y$ .

Ответ

а) каноническое уравнение параболы с фокусом в точке $F(2, 0)$ : $y^2 = 8x$ ;

б) каноническое уравнение с фокусом в точке $F(0, -6)$ : $x^2 = -24y$ .

Пример 3

Задача

Показать путём выделения полного квадрата, что уравнение $4x^2 - 12x + y + 6 = 0$ – это уравнение параболы. Привести его к каноническому виду. Найти вершину, фокус, ось и директрису этой параболы.

Решение

Выделим относительно переменной $x$ полный квадрат

$(4x^2 - 12x) + y + 6$ = $0\to{4(x^2 - 3x)} + y + 6$ = $0\to{4((x^2 - 2 * {3\over{2}}x + {9\over{4}}) - {9\over{4}}) + y + 6$ = $0}\to{4((x - {3\over{2}}})^2 - 9 + y + 6$ = $0\to{y - 3$ = $-4(x - {3\over{2}})^2}\to{(x - {3\over{2}})^2}$ = $-{1\over{4}}(y - 3)$ .

Обозначим $y_{1} = y - 3$ , $x_{1} = x - {3\over{2}}$ . Тогда в результате параллельного переноса координатных осей в новое начало, то есть в точку $O_{1}({3\over{2}}, 3)$ , получим каноническое уравнение параболы ${x_{1}^2} = -{1\over{4}}y_{1}$ .

Ветви этой параболы направлены вниз симметрично относительно оси $O_{1}Y_{1}$ , $2p = {1\over{4}}\to{p} = {1\over{8}}$ , ${p\over{2}} = -{1\over{16}}$ – фокусное расстояние. В новой системе координат фокус находится в точке $F(0, -{1\over{16}})$ , уравнение директрисы в новой системе $y_{1} = {1\over{16}}$ .

Повернёмся к старым координатам при помощи замены $y_{1} = y - 3$ , $x_{1} = x - {3\over{2}}$ . Уравнение оси в новой системе $x_{1} = 0$ , а в старой $x - {3\over{2}} = 0\to {2x - 3 = 0}$ – уравнение оси параболы.

Уравнение директрисы в новой системе координат $y_{1} = {1\over{16}}$ , а в старой $y - 3 = {1\over{16}}\to{y - {49\over{16}}} = 0\to{16y - 49} = 0$ .

В новой системе $X_{1}O_{1}Y_{1}$ для фокуса $F(0, -{1\over{16}}) x_{1} = 0$ , $y_{1} = -{1\over{16}}$ , а в старой системе $x_{F} - {3\over{2}} = 0\to{x_{F}} = {3\over{2}}$ , $y_{F} - 3 = -{1\over{16}}\to{y_{F} = -{1\over{16}} + 3\to{y_{F}} = {47\over{16}}$ , то есть $F({3\over{2}}, {47\over{16}})$ .

Ответ

Каноническое уравнение параболы – ${x_{1}^2} = -{1\over{4}}y_{1}$ ;

вершина – ветви параболы направлены вниз;

$O_{1}Y_{1}$ , $2p = {1\over{4}}\to{p} = {1\over{8}}$ , $p_{2} = -{1\over{16}}$ – фокусное расстояние, а фокус находится в точке $F(0, -{1\over{16}})$ ;