Парабола

Определение
Парабола – это множество точек плоскости, которые равноотделённые  от заданной точки, что называется фокусом и заданной прямой под названием директриса.

Чтобы получить каноническое уравнение параболы, расположим директрису перпендикулярно оси OX, а фокус F на оси OX так, чтобы начало координат O(0, 0) помещался на одинаковом расстоянии от них (см. рис. 1). Обозначим через p расстояние от фокуса к директрисе, тогда у фокуса будут координаты {x} = {p\over{2}}, y = 0, F({p\over{2}}, 0).

Для произвольной точки M (x, y) параболы расстояний FM = r, а расстояние к директрисе MN = d. По определению d = r из рис. 1 видим, что d = {x} + {p\over{2}}, а {r} = \sqrt{x - {p\over{2}}^2} + y^2 и поэтому:

Парабола

Рис. 1

\sqrt{(x - {p\over{2}})^2 + y^2} = x + {p\over{2}}\to{x}^2 - 2 * {p\over2}}x + {p^2\over{4}} + y^2 = x^2 + 2 * {p\over{2}}x + {p^2\over{4}}

y^2 = 2px

(1)

– каноническое уравнение параболы.

Что такое вершина параболы

Вершина параболы – это парабола, которая проходит через точки O (0, 0). Если точка M_{1}(x , y) принадлежит параболе, то и M_{2}(x , -y) тоже принадлежит параболе, так как из:

y^2 = 2px\to{(-y)^2 = 2px}.

Значит, парабола симметрична относительно оси OX, её график достаточно построить в первой четверти, где из канонического уравнения параболы получается, что:

y = \sqrt{2px}

Чтобы найти вершину параболы, необходимо знать формулу: ax^2 + bx + c = 0.

Давайте посмотрим, как данная формула действует, допустим дано уравнение:

y^2 = x^2 + 9x + 18

Тогда:

a = 1, b = 9, c = 18.  Чтобы найти величины a, b и c, в квадратном уравнении коэффициент при x^2 = a, при x = b, постоянная (коэффициент без переменной) = c. Если взять тот же пример, y^2 = x^2 + 9x + 18, получается, что:

x = {-b\over{2a}}, x = {-9\over{2 * 1}}, x = {-9\over{2}}.

Форма и характеристики параболы

Исследуем за каноническим уравнением форму и расположение параболы:

1. В уравнении y^2 = 2px переменная входит в парной степени откуда получается, что парабола симметрична относительно оси OX.  Ось OX – это ось, которая симметрична параболе.

2. Так как p > 0, тогда x\geq{0}, откуда получается, что парабола расположена справа от оси Oy.

3. При x = 0 мы имеем y = 0, то есть парабола проходит через начало координат. Точка O(0, 0) – это вершина параболы.

4. При увеличении значений переменной x модуль y тоже возрастает. Изобразим параболу на рисунке:

Возрастание параболы

Рис. 2

5. В полярной системе координат, у канонического уравнения параболы такой вид:

{r} = {p\over{1 - cos\varphi}}

6. Уравнение y^2 = - 2px, x^2 = 2py, x^2 = -2py (p > 0), тоже описывают параболы:

Парабола

Рис. 3

Оптическое свойство параболы

У параболы “оптическое” свойство, если: в фокусе параболы поместить источник света, тогда отбитые от параболы лучи будут параллельными оси OX. Это свойство учитывают при изготовлении прожекторов, зеркальных телескопов, теле- и радио антенн.

При положительном p уравнении:

y = - 2px

описывают параболу симметричную относительно OX с вершиной в точке O(0, 0), ветви которой направлены влево (рис. 3 (а)).

Аналогично изложенному, уравнение x^2 = 2py и x^2 = -2py описывают параболы с вершиной в точке O(0, 0) симметрично относительно OY, ветви которой направлены соответственно вверх и вниз (см. рис. 3 (б) и (в)). Если например, уравнение x^2 = 2py решить относительно y

y = {1\over{2p}}x^2  и обозначить {1\over{2p}} = a, тогда получим известное со школьного курса уравнение параболы y = ax^2. Теперь её фокусное расстояние {p\over{2}} = {1\over{4a}}.

Примеры решения

Пример 1

Задача

Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы y^2 = 6x.

Решение

Сравнивая каноническое уравнение y^2 = 2px и данное y^2 = 6x, получим 2p = 6\to{p = 3, {p\over{2}} = {3\over{2}}, тогдаF ({3\over{2}}, 0). Так как уравнение директрисы x = -{p\over{2}}, тогда в данном случае x = -{3\over{2}}.

Ответ

координаты фокуса: F ({3\over{2}}, 0), а уравнение директрисы параболы: x = -{3\over{2}}.

Пример 2

Задача

Составить каноническое уравнение параболы:

а) с фокусом в точке F(2, 0);

б) с фокусом в точке F(0, -6).

Решение

а). Так как фокус F(2, 0) на положительной полуоси OX, тогда парабола симметрична относительно OX с вершиной в точке O(0, 0) и {p\over{2}} = 2, поэтому p = 4 и согласно формуле (1) y^2 = 8x.

б). Фокус F(0, -6) лежит на отрицательной полуоси OY с вершиной в точке O(0, 0), ветви направлены вниз, каноническое уравнение следует искать в виде x^2 = -2py. Фокусное расстояние параболы |OF| = {p\over{2}} = 6\to{p} = 12 и уравнение запишется x^2 = -24y.

Ответ

а) каноническое уравнение параболы с фокусом в точке F(2, 0):  y^2 = 8x;

б) каноническое уравнение с фокусом в точке F(0, -6): x^2 = -24y.

Пример 3

Задача

Показать путём выделения полного квадрата, что уравнение 4x^2 - 12x + y + 6 = 0 – это уравнение параболы. Привести его к каноническому виду. Найти вершину, фокус, ось и директрису этой параболы.

Решение

Выделим относительно переменной x полный квадрат

(4x^2 - 12x) + y + 6 = 0\to{4(x^2 - 3x)} + y + 6 = 0\to{4((x^2 - 2 * {3\over{2}}x + {9\over{4}}) - {9\over{4}}) + y + 6 = 0}\to{4((x - {3\over{2}}})^2 - 9 + y + 6 = 0\to{y - 3 = -4(x - {3\over{2}})^2}\to{(x - {3\over{2}})^2} = -{1\over{4}}(y - 3).

Обозначим y_{1} = y - 3, x_{1} = x - {3\over{2}}.  Тогда в результате параллельного переноса координатных осей в новое начало, то есть в точку O_{1}({3\over{2}}, 3), получим каноническое уравнение параболы {x_{1}^2} = -{1\over{4}}y_{1}.

Ветви этой параболы направлены вниз симметрично относительно оси O_{1}Y_{1}, 2p = {1\over{4}}\to{p} = {1\over{8}}, {p\over{2}} = -{1\over{16}} – фокусное расстояние. В новой системе координат фокус находится в точке F(0, -{1\over{16}}), уравнение директрисы в новой системе y_{1} = {1\over{16}}.

Повернёмся к старым координатам при помощи замены y_{1} = y - 3, x_{1} = x - {3\over{2}}. Уравнение оси в новой системе x_{1} = 0, а в старой x - {3\over{2}} = 0\to {2x - 3 = 0} – уравнение оси параболы.

Уравнение директрисы в новой системе координат y_{1} = {1\over{16}}, а в старой y - 3 = {1\over{16}}\to{y - {49\over{16}}} = 0\to{16y - 49} = 0.

В новой системе X_{1}O_{1}Y_{1} для фокуса F(0, -{1\over{16}}) x_{1} = 0, y_{1} = -{1\over{16}}, а в старой системе x_{F} - {3\over{2}} = 0\to{x_{F}} = {3\over{2}}, y_{F} - 3 = -{1\over{16}}\to{y_{F} = -{1\over{16}} + 3\to{y_{F}} = {47\over{16}}, то есть F({3\over{2}}, {47\over{16}}).

Ответ

Каноническое уравнение параболы – {x_{1}^2} = -{1\over{4}}y_{1};

вершина – ветви параболы направлены вниз;

O_{1}Y_{1}, 2p = {1\over{4}}\to{p} = {1\over{8}}, p_{2} = -{1\over{16}} – фокусное расстояние, а фокус находится в точке F(0, -{1\over{16}});

уравнение оси x_{1} = 0;

уравнение директрисы y_{1} = {1\over{16}}.