Алгоритм решения неравенств с модулем

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Неравенства с модулем – это неравенства, содержащее неизвестные под знаком модуля.
Алгоритм

При решении неравенств с модулем используется определение модуля числа.

Определение модуля числа.

    \[|x| = \left\{ \begin{array}{ll} x,\ \ x \geq 0, \\ -x,\ \ x < 0; \end{array} \right.\]

Примеры решений неравенств с модулем

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

Пример 1

Задача

Решить неравенство:

    \[|2x^{2} - 9x + 15| \geq 20\]

Решение

    \[|x| - x = 10\]

При x \in R,\ 2x^{2} - 9x + 15 > 0

    \[2x^{2} - 9x + 15 \geq 20\]

    \[2x^{2} - 9x - 5 \geq 0\]

    \[2(x - 5)(x + \frac{1}{2}) \geq 0\]

Отсюда x \leq -\frac{1}{2} или x \geq 5

Ответ

x \in \left(-\infty; -\frac{1}{2}\right)\cup[5; +\infty)

Пример 2

Задача

Решить неравенство:

    \[|x^{2} - 5x| < 6\]

Решение

Решить неравенство:

    \[-6 < x^{2} - 5x| < 6\]

    \[|x| = \left\{ \begin{array}{ll} x^{2} - 5x - 6 < 0, \\ x^{2} - 5x - 6 > 0; \end{array} \right.\]

    \[|x| = \left\{ \begin{array}{ll} (x + 1)(x - 6) < 0, \\ (x - 2)(x - 3) > 0; \end{array} \right.\]

x \in (-1; 2)\cup(3; 6)

Ответ

x \in (-1; 2)\cup(3; 6)

Пример 3

Задача

Решить неравенство:

    \[|x - 3|^{2x^{2} - 7x} > 1\]

Решение

    \[|x - 3|^{2x^{2} - 7x} > |x - 3|^{0}\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} 0 < |x - 3| < 1, \\ 2x^{2} - 7x < 0; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} |x - 3| > 1, \\ 2x^{2} - 7x > 0 \end{array}\right. \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} -1 < x - 3 < 1, \\ x - 3 \neq 0, \\ x(2x - 7) < 0; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x - 3 > 1, \\ x - 3 < -1, \end{array}\right. \\ x(2x - 7) > 0 \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} 2 < x < 4, \\ x \neq 3, \\ 0 < x < \frac{7}{2}; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} \left[ \begin{array}{ccc} x > 4, \\ x < 2, \end{array}\right. \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > \frac{7}{2}, \\ x < 0. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\]

Решением системы \left\{ \begin{array}{ll} 2 < x < 4, \\ x \neq 3, \\ 0 < x < \frac{7}{2}; \end{array}\right. является (2; 3)\cup(3; \frac{7}{2})

Решением системы \left\{ \begin{array}{ll} \left[ \begin{array}{ccc} x > 4, \\ x < 2, \end{array}\right. \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > \frac{7}{2}, \\ x < 0. \end{array}\right. \end{array}\right. является (-\infty; 0)\cup(4; +\infty)

Окончательно x \in (-\infty; 0)\cup(2; 3)\cup(3; \frac{7}{2})\cup(4; +\infty)

Ответ

x \in (-\infty; 0)\cup(2; 3)\cup(3; \frac{7}{2})\cup(4; +\infty)

Пример 4

Задача

Решить неравенство:

    \[|x - 6| > |x^{2} - 5x + 9|\]

Решение

При x \in R,\ x^{2} - 5x + 9 > 0

    \[|x - 6| > x^{2} - 5x + 9\]

    \[x - 6 > x^{2} - 5x + 9\]

x^{2} - 5x + 9 < 0 – решений нет

    \[x - 6 < -x^{2} + 5x - 9\]

    \[x^{2} - 4x + 3 < 0,\ 1 < x < 3\]

Ответ

x \in (1; 3)

Пример 5

Задача

Решить неравенство:

    \[\log_{0,25}\left|\frac{2x + 1}{x + 3} + \frac{1}{2}\right| > \frac{1}{2}\]

Решение

    \[0 < \left|\frac{2x + 1}{x + 3} + \frac{1}{2}\right| < \frac{1}{2}\]

    \[0 < \left|\frac{4x + 2 + x + 3}{2(x + 3)}\right| < \frac{1}{2}\]

    \[0 < \left|\frac{5x + 5}{2(x + 3)}\right| < \frac{1}{2}\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} \frac{5x + 5}{2(x + 3)} \neq 0, \\ \frac{5x + 5}{2(x + 3)} < \frac{1}{2}, \\ \frac{5x + 5}{2(x + 3)} > -\frac{1}{2}; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x \neq -1, \\ x \neq -3, \\ \frac{2x + 1}{x + 3} < 0, \\ \frac{3x + 4}{x + 3} > 0 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x \neq -1, \\ x \neq -3, \\ -3 < x < -\frac{1}{2}, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > -\frac{4}{3}, \\ x < -3 \end{array}\right. \end{array} \right.\]

    \[x \in \left(-\frac{4}{3}; -1\right)\cup\left(-1; -\frac{1}{2}\right)\]

Ответ

    \[x \in \left(-\frac{4}{3}; -1\right)\cup\left(-1; -\frac{1}{2}\right)\]

Пример 6

Задача

Решить неравенство:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} |x^{2} + 5x| < 6, \\ |x + 1| \leq 1. \end{array} \right.\]

Решение

    \[\left\{ \begin{array}{ll} -6 < x^{2} + 5x < 6, \\ -1 \leq x + 1 \leq 1. \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} + 5x < 6, \\ x^{2} + 5x > -6, \\ x + 1 \leq 1, \\ x + 1 \geq -1 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} + 5x - 6 < 0, \\ x^{2} + 5x + 6 > 0, \\ x \leq 0, \\ x \geq -2 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} -6 < x < 1, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > -2, \\ x < -3 \end{array}\right. \\ -2 \leq x \leq 0. \end{array} \right.\]

    \[x \in (-2; 0]\]

Ответ

x \in (-2; 0]

Пример 7

Задача

Решить неравенство:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} |x^{2} - 4x| < 5, \\ |x + 1| < 3. \end{array} \right.\]

Решение

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} - 4x < 5, \\ x^{2} - 4x > -5, \\ -3 < x + 1 < 3 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} - 4x - 5 < 0, \\ x^{2} - 4x + 5 > 0, \\ -4 < x < 2 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} -4 < x < 2, \\ x \in R, \\ -4 < x < 2 \end{array} \right.\]

    \[-1 < x < 2\]

    \[x \in (-1; 2)\]

Ответ

    \[x \in (-1; 2)\]

Пример 8

Задача

Решить неравенство:

    \[\frac{3^{2|x - 1|} + 3}{4} < 3^{|x - 1|}\]

Решение

    \[3^{2|x - 1|} - 4\cdot3^{|x - 1|} + 3 < 0\]

Неравенство является квадратным относительно 3^{|x - 1|}

    \[1 < 3^{|x - 1|} < 3\]

    \[0 < |x - 1| < 1\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} -1 < x - 1 < 1, \\ x - 1 \neq 0 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} 0 < x < 2, \\ x \neq 1 \end{array} \right.\]

    \[x \in (0; 1)\cup(1; 2)\]

Ответ

    \[x \in (0; 1)\cup(1; 2)\]

Пример 9

Задача

Решить неравенство:

    \[|x^{3} - 1| > 1 - x\]

Решение

    \[\left[ \begin{array}{ccc} x^{3} - 1 > 1 - x, \\ x^{3} - 1 < -1(1 - x) \end{array}\right. \\\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} (x^{3} - 1) + (x - 1) > 0, \\ x(x^{2} - 1) < 0 \end{array}\right. \\\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} (x - 1)(x^{2} + x + 1) + (x - 1) > 0, \\ x(x + 1)(x - 1) < 0 \end{array}\right. \\\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} (x - 1)(x^{2} + x + 2) > 0, \\ x(x + 1)(x - 1) < 0 \end{array}\right. \\\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} x > 1, \\ x < -1, \\ 0 < x < 1. \end{array}\right. \\\]

    \[x \in (-\infty; -1)\cup(0; 1)\cup(1; +\infty)\]

Ответ

    \[x \in (-\infty; -1)\cup(0; 1)\cup(1; +\infty)\]

Пример 10

Задача

Решить неравенство:

    \[\frac{x^{2} - |x| - 12}{x - 3} \geq 2x\]

Решение

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} x < 0, \\ \frac{x^{2} - x - 12}{x - 3} \geq 2x; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ \frac{x^{2} - x - 12}{x - 3} \geq 2x, \end{array} \right. \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} x < 0, \\ \frac{x^{2} - x + 12}{x - 3} \leq 0; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ \frac{x^{2} - x + 12}{x - 3} \leq 0, \end{array} \right. \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} x < 0, \\ (x^{2} - x + 12)(x - 3) \leq 0, \\ x - 3 \neq 0; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ (x^{2} - x + 12)(x - 3) \leq 0, \\ x - 3 \neq 0 \end{array} \right. \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} x < 0, \\ (x - 4)(x - 3)^{3} \leq 0, \\ x - 3 \neq 0; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ x - 3 < 0 \end{array} \right. \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} x < 0, \\ x \leq 4, \\ x \neq 3; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ x > 3, \end{array} \right. \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} x < 0, \\ 0 \leq x < 3. \end{array}\right.\]

    \[x \in (-\infty; 3)\]

Ответ

    \[x \in (-\infty; 3)\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

2371

Помощь в написании работы

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также