Простое объяснение принципов решения неравенств с модулем и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения неравенств с модулем

Теорема

Неравенства с модулем – это неравенства, содержащее неизвестные под знаком модуля.

Алгоритм

При решении неравенств с модулем используется определение модуля числа.

Определение модуля числа.

$|x| = \left\{ \begin{array}{ll} x,\ \ x \geq 0, \\ -x,\ \ x < 0; \end{array} \right.$

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений неравенств с модулем

Пример 1

Задача

Решить неравенство:

$|2x^{2} - 9x + 15| \geq 20$

Решение

$|x| - x = 10$

При $x \in R,\ 2x^{2} - 9x + 15 > 0$

$2x^{2} - 9x + 15 \geq 20$

$2x^{2} - 9x - 5 \geq 0$

$2(x - 5)(x + \frac{1}{2}) \geq 0$

Отсюда $x \leq -\frac{1}{2}$ или $x \geq 5$

Ответ

$x \in \left(-\infty; -\frac{1}{2}\right)\cup[5; +\infty)$

Пример 2

Задача

Решить неравенство:

$|x^{2} - 5x| < 6$

Решение

Решить неравенство:

$-6 < x^{2} - 5x| < 6$

$|x| = \left\{ \begin{array}{ll} x^{2} - 5x - 6 < 0, \\ x^{2} - 5x - 6 > 0; \end{array} \right.$

$|x| = \left\{ \begin{array}{ll} (x + 1)(x - 6) < 0, \\ (x - 2)(x - 3) > 0; \end{array} \right.$

$x \in (-1; 2)\cup(3; 6)$

Ответ

$x \in (-1; 2)\cup(3; 6)$

Пример 3

Задача

Решить неравенство:

$|x - 3|^{2x^{2} - 7x} > 1$

Решение

$|x - 3|^{2x^{2} - 7x} > |x - 3|^{0}$

$\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} 0 < |x - 3| < 1, \\ 2x^{2} - 7x < 0; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} |x - 3| > 1, \\ 2x^{2} - 7x > 0 \end{array}\right. \end{array}\right.$

$\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} -1 < x - 3 < 1, \\ x - 3 \neq 0, \\ x(2x - 7) < 0; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x - 3 > 1, \\ x - 3 < -1, \end{array}\right. \\ x(2x - 7) > 0 \end{array}\right.$

$\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} 2 < x < 4, \\ x \neq 3, \\ 0 < x < \frac{7}{2}; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} \left[ \begin{array}{ccc} x > 4, \\ x < 2, \end{array}\right. \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > \frac{7}{2}, \\ x < 0. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.$

Решением системы $\left\{ \begin{array}{ll} 2 < x < 4, \\ x \neq 3, \\ 0 < x < \frac{7}{2}; \end{array}\right.$ является $(2; 3)\cup(3; \frac{7}{2})$

Решением системы $\left\{ \begin{array}{ll} \left[ \begin{array}{ccc} x > 4, \\ x < 2, \end{array}\right. \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > \frac{7}{2}, \\ x < 0. \end{array}\right. \end{array}\right.$ является $(-\infty; 0)\cup(4; +\infty)$

Окончательно $x \in (-\infty; 0)\cup(2; 3)\cup(3; \frac{7}{2})\cup(4; +\infty)$

Ответ

$x \in (-\infty; 0)\cup(2; 3)\cup(3; \frac{7}{2})\cup(4; +\infty)$

Пример 4

Задача

Решить неравенство:

$|x - 6| > |x^{2} - 5x + 9|$

Решение

При $x \in R,\ x^{2} - 5x + 9 > 0$

$|x - 6| > x^{2} - 5x + 9$

$x - 6 > x^{2} - 5x + 9$

$x^{2} - 5x + 9 < 0$ – решений нет

$x - 6 < -x^{2} + 5x - 9$

$x^{2} - 4x + 3 < 0,\ 1 < x < 3$

Ответ

$x \in (1; 3)$

Пример 5

Задача

Решить неравенство:

$\log_{0,25}\left|\frac{2x + 1}{x + 3} + \frac{1}{2}\right| > \frac{1}{2}$

Решение

$0 < \left|\frac{2x + 1}{x + 3} + \frac{1}{2}\right| < \frac{1}{2}$

$0 < \left|\frac{4x + 2 + x + 3}{2(x + 3)}\right| < \frac{1}{2}$

$0 < \left|\frac{5x + 5}{2(x + 3)}\right| < \frac{1}{2}$

$\left\{ \begin{array}{ll} \frac{5x + 5}{2(x + 3)} \neq 0, \\ \frac{5x + 5}{2(x + 3)} < \frac{1}{2}, \\ \frac{5x + 5}{2(x + 3)} > -\frac{1}{2}; \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} x \neq -1, \\ x \neq -3, \\ \frac{2x + 1}{x + 3} < 0, \\ \frac{3x + 4}{x + 3} > 0 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} x \neq -1, \\ x \neq -3, \\ -3 < x < -\frac{1}{2}, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > -\frac{4}{3}, \\ x < -3 \end{array}\right. \end{array} \right.$

$x \in \left(-\frac{4}{3}; -1\right)\cup\left(-1; -\frac{1}{2}\right)$

Ответ

$x \in \left(-\frac{4}{3}; -1\right)\cup\left(-1; -\frac{1}{2}\right)$

Пример 6

Задача

Решить неравенство:

$\left\{ \begin{array}{ll} |x^{2} + 5x| < 6, \\ |x + 1| \leq 1. \end{array} \right.$

Решение

$\left\{ \begin{array}{ll} -6 < x^{2} + 5x < 6, \\ -1 \leq x + 1 \leq 1. \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} + 5x < 6, \\ x^{2} + 5x > -6, \\ x + 1 \leq 1, \\ x + 1 \geq -1 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} + 5x - 6 < 0, \\ x^{2} + 5x + 6 > 0, \\ x \leq 0, \\ x \geq -2 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} -6 < x < 1, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > -2, \\ x < -3 \end{array}\right. \\ -2 \leq x \leq 0. \end{array} \right.$

$x \in (-2; 0]$

Ответ

$x \in (-2; 0]$

Пример 7

Задача

Решить неравенство:

$\left\{ \begin{array}{ll} |x^{2} - 4x| < 5, \\ |x + 1| < 3. \end{array} \right.$

Решение

$\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} - 4x < 5, \\ x^{2} - 4x > -5, \\ -3 < x + 1 < 3 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} - 4x - 5 < 0, \\ x^{2} - 4x + 5 > 0, \\ -4 < x < 2 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} -4 < x < 2, \\ x \in R, \\ -4 < x < 2 \end{array} \right.$

$-1 < x < 2$

$x \in (-1; 2)$

Ответ

$x \in (-1; 2)$

Пример 8

Задача

Решить неравенство:

$\frac{3^{2|x - 1|} + 3}{4} < 3^{|x - 1|}$

Решение

$3^{2|x - 1|} - 4\cdot3^{|x - 1|} + 3 < 0$

Неравенство является квадратным относительно $3^{|x - 1|}$

$1 < 3^{|x - 1|} < 3$

$0 < |x - 1| < 1$

$\left\{ \begin{array}{ll} -1 < x - 1 < 1, \\ x - 1 \neq 0 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{ll} 0 < x < 2, \\ x \neq 1 \end{array} \right.$

$x \in (0; 1)\cup(1; 2)$

Ответ

$x \in (0; 1)\cup(1; 2)$

Пример 9

Задача

Решить неравенство:

$|x^{3} - 1| > 1 - x$

Решение

$\left[ \begin{array}{ccc} x^{3} - 1 > 1 - x, \\ x^{3} - 1 < -1(1 - x) \end{array}\right. \\$

$\left[ \begin{array}{ccc} (x^{3} - 1) + (x - 1) > 0, \\ x(x^{2} - 1) < 0 \end{array}\right. \\$

$\left[ \begin{array}{ccc} (x - 1)(x^{2} + x + 1) + (x - 1) > 0, \\ x(x + 1)(x - 1) < 0 \end{array}\right. \\$

$\left[ \begin{array}{ccc} (x - 1)(x^{2} + x + 2) > 0, \\ x(x + 1)(x - 1) < 0 \end{array}\right. \\$

$\left[ \begin{array}{ccc} x > 1, \\ x < -1, \\ 0 < x < 1. \end{array}\right. \\$

$x \in (-\infty; -1)\cup(0; 1)\cup(1; +\infty)$

Ответ

$x \in (-\infty; -1)\cup(0; 1)\cup(1; +\infty)$

Пример 10

Задача

Решить неравенство:

$\frac{x^{2} - |x| - 12}{x - 3} \geq 2x$

Решение

$\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} x < 0, \\ \frac{x^{2} - x - 12}{x - 3} \geq 2x; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ \frac{x^{2} - x - 12}{x - 3} \geq 2x, \end{array} \right. \end{array}\right.$

$\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} x < 0, \\ \frac{x^{2} - x + 12}{x - 3} \leq 0; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ \frac{x^{2} - x + 12}{x - 3} \leq 0, \end{array} \right. \end{array}\right.$

$\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} x < 0, \\ (x^{2} - x + 12)(x - 3) \leq 0, \\ x - 3 \neq 0; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ (x^{2} - x + 12)(x - 3) \leq 0, \\ x - 3 \neq 0 \end{array} \right. \end{array}\right.$

$\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} x < 0, \\ (x - 4)(x - 3)^{3} \leq 0, \\ x - 3 \neq 0; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ x - 3 < 0 \end{array} \right. \end{array}\right.$

$\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} x < 0, \\ x \leq 4, \\ x \neq 3; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ x > 3, \end{array} \right. \end{array}\right.$