Алгоритм решения неравенств с модулем

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Неравенства с модулем – это неравенства, содержащее неизвестные под знаком модуля.
Алгоритм

При решении неравенств с модулем используется определение модуля числа.

Определение модуля числа.

    \[|x| = \left\{ \begin{array}{ll} x,\ \ x \geq 0, \\ -x,\ \ x < 0; \end{array} \right.\]

Примеры решений неравенств с модулем

Пример 1

Задача

Решить неравенство:

    \[|2x^{2} - 9x + 15| \geq 20\]

Решение

    \[|x| - x = 10\]

При x \in R,\ 2x^{2} - 9x + 15 > 0

    \[2x^{2} - 9x + 15 \geq 20\]

    \[2x^{2} - 9x - 5 \geq 0\]

    \[2(x - 5)(x + \frac{1}{2}) \geq 0\]

Отсюда x \leq -\frac{1}{2} или x \geq 5

Ответ

x \in \left(-\infty; -\frac{1}{2}\right)\cup[5; +\infty)

Пример 2

Задача

Решить неравенство:

    \[|x^{2} - 5x| < 6\]

Решение

Решить неравенство:

    \[-6 < x^{2} - 5x| < 6\]

    \[|x| = \left\{ \begin{array}{ll} x^{2} - 5x - 6 < 0, \\ x^{2} - 5x - 6 > 0; \end{array} \right.\]

    \[|x| = \left\{ \begin{array}{ll} (x + 1)(x - 6) < 0, \\ (x - 2)(x - 3) > 0; \end{array} \right.\]

x \in (-1; 2)\cup(3; 6)

Ответ

x \in (-1; 2)\cup(3; 6)

Пример 3

Задача

Решить неравенство:

    \[|x - 3|^{2x^{2} - 7x} > 1\]

Решение

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[|x - 3|^{2x^{2} - 7x} > |x - 3|^{0}\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} 0 < |x - 3| < 1, \\ 2x^{2} - 7x < 0; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} |x - 3| > 1, \\ 2x^{2} - 7x > 0 \end{array}\right. \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} -1 < x - 3 < 1, \\ x - 3 \neq 0, \\ x(2x - 7) < 0; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x - 3 > 1, \\ x - 3 < -1, \end{array}\right. \\ x(2x - 7) > 0 \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} 2 < x < 4, \\ x \neq 3, \\ 0 < x < \frac{7}{2}; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} \left[ \begin{array}{ccc} x > 4, \\ x < 2, \end{array}\right. \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > \frac{7}{2}, \\ x < 0. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\]

Решением системы \left\{ \begin{array}{ll} 2 < x < 4, \\ x \neq 3, \\ 0 < x < \frac{7}{2}; \end{array}\right. является (2; 3)\cup(3; \frac{7}{2})

Решением системы \left\{ \begin{array}{ll} \left[ \begin{array}{ccc} x > 4, \\ x < 2, \end{array}\right. \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > \frac{7}{2}, \\ x < 0. \end{array}\right. \end{array}\right. является (-\infty; 0)\cup(4; +\infty)

Окончательно x \in (-\infty; 0)\cup(2; 3)\cup(3; \frac{7}{2})\cup(4; +\infty)

Ответ

x \in (-\infty; 0)\cup(2; 3)\cup(3; \frac{7}{2})\cup(4; +\infty)

Пример 4

Задача

Решить неравенство:

    \[|x - 6| > |x^{2} - 5x + 9|\]

Решение

При x \in R,\ x^{2} - 5x + 9 > 0

    \[|x - 6| > x^{2} - 5x + 9\]

    \[x - 6 > x^{2} - 5x + 9\]

x^{2} - 5x + 9 < 0 – решений нет

    \[x - 6 < -x^{2} + 5x - 9\]

    \[x^{2} - 4x + 3 < 0,\ 1 < x < 3\]

Ответ

x \in (1; 3)

Пример 5

Задача

Решить неравенство:

    \[\log_{0,25}\left|\frac{2x + 1}{x + 3} + \frac{1}{2}\right| > \frac{1}{2}\]

Решение

    \[0 < \left|\frac{2x + 1}{x + 3} + \frac{1}{2}\right| < \frac{1}{2}\]

    \[0 < \left|\frac{4x + 2 + x + 3}{2(x + 3)}\right| < \frac{1}{2}\]

    \[0 < \left|\frac{5x + 5}{2(x + 3)}\right| < \frac{1}{2}\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} \frac{5x + 5}{2(x + 3)} \neq 0, \\ \frac{5x + 5}{2(x + 3)} < \frac{1}{2}, \\ \frac{5x + 5}{2(x + 3)} > -\frac{1}{2}; \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x \neq -1, \\ x \neq -3, \\ \frac{2x + 1}{x + 3} < 0, \\ \frac{3x + 4}{x + 3} > 0 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x \neq -1, \\ x \neq -3, \\ -3 < x < -\frac{1}{2}, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > -\frac{4}{3}, \\ x < -3 \end{array}\right. \end{array} \right.\]

    \[x \in \left(-\frac{4}{3}; -1\right)\cup\left(-1; -\frac{1}{2}\right)\]

Ответ

    \[x \in \left(-\frac{4}{3}; -1\right)\cup\left(-1; -\frac{1}{2}\right)\]

Пример 6

Задача

Решить неравенство:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} |x^{2} + 5x| < 6, \\ |x + 1| \leq 1. \end{array} \right.\]

Решение

    \[\left\{ \begin{array}{ll} -6 < x^{2} + 5x < 6, \\ -1 \leq x + 1 \leq 1. \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} + 5x < 6, \\ x^{2} + 5x > -6, \\ x + 1 \leq 1, \\ x + 1 \geq -1 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} + 5x - 6 < 0, \\ x^{2} + 5x + 6 > 0, \\ x \leq 0, \\ x \geq -2 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} -6 < x < 1, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > -2, \\ x < -3 \end{array}\right. \\ -2 \leq x \leq 0. \end{array} \right.\]

    \[x \in (-2; 0]\]

Ответ

x \in (-2; 0]

Пример 7

Задача

Решить неравенство:

    \[\left\{ \begin{array}{ll} |x^{2} - 4x| < 5, \\ |x + 1| < 3. \end{array} \right.\]

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Решение

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} - 4x < 5, \\ x^{2} - 4x > -5, \\ -3 < x + 1 < 3 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} x^{2} - 4x - 5 < 0, \\ x^{2} - 4x + 5 > 0, \\ -4 < x < 2 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} -4 < x < 2, \\ x \in R, \\ -4 < x < 2 \end{array} \right.\]

    \[-1 < x < 2\]

    \[x \in (-1; 2)\]

Ответ

    \[x \in (-1; 2)\]

Пример 8

Задача

Решить неравенство:

    \[\frac{3^{2|x - 1|} + 3}{4} < 3^{|x - 1|}\]

Решение

    \[3^{2|x - 1|} - 4\cdot3^{|x - 1|} + 3 < 0\]

Неравенство является квадратным относительно 3^{|x - 1|}

    \[1 < 3^{|x - 1|} < 3\]

    \[0 < |x - 1| < 1\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} -1 < x - 1 < 1, \\ x - 1 \neq 0 \end{array} \right.\]

    \[\left\{ \begin{array}{ll} 0 < x < 2, \\ x \neq 1 \end{array} \right.\]

    \[x \in (0; 1)\cup(1; 2)\]

Ответ

    \[x \in (0; 1)\cup(1; 2)\]

Пример 9

Задача

Решить неравенство:

    \[|x^{3} - 1| > 1 - x\]

Решение

    \[\left[ \begin{array}{ccc} x^{3} - 1 > 1 - x, \\ x^{3} - 1 < -1(1 - x) \end{array}\right. \\\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} (x^{3} - 1) + (x - 1) > 0, \\ x(x^{2} - 1) < 0 \end{array}\right. \\\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} (x - 1)(x^{2} + x + 1) + (x - 1) > 0, \\ x(x + 1)(x - 1) < 0 \end{array}\right. \\\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} (x - 1)(x^{2} + x + 2) > 0, \\ x(x + 1)(x - 1) < 0 \end{array}\right. \\\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} x > 1, \\ x < -1, \\ 0 < x < 1. \end{array}\right. \\\]

    \[x \in (-\infty; -1)\cup(0; 1)\cup(1; +\infty)\]

Ответ

    \[x \in (-\infty; -1)\cup(0; 1)\cup(1; +\infty)\]

Пример 10

Задача

Решить неравенство:

    \[\frac{x^{2} - |x| - 12}{x - 3} \geq 2x\]

Решение

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} x < 0, \\ \frac{x^{2} - x - 12}{x - 3} \geq 2x; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ \frac{x^{2} - x - 12}{x - 3} \geq 2x, \end{array} \right. \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} x < 0, \\ \frac{x^{2} - x + 12}{x - 3} \leq 0; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ \frac{x^{2} - x + 12}{x - 3} \leq 0, \end{array} \right. \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} x < 0, \\ (x^{2} - x + 12)(x - 3) \leq 0, \\ x - 3 \neq 0; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ (x^{2} - x + 12)(x - 3) \leq 0, \\ x - 3 \neq 0 \end{array} \right. \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} x < 0, \\ (x - 4)(x - 3)^{3} \leq 0, \\ x - 3 \neq 0; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ x - 3 < 0 \end{array} \right. \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{ll} x < 0, \\ x \leq 4, \\ x \neq 3; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ x > 3, \end{array} \right. \end{array}\right.\]

    \[\left[ \begin{array}{ccc} x < 0, \\ 0 \leq x < 3. \end{array}\right.\]

    \[x \in (-\infty; 3)\]

Ответ

    \[x \in (-\infty; 3)\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

996

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также