Примеры решений неравенств с модулем с ответами

Задача

Решить неравенство: $$|2x^{2} – 9x + 15| \geq 20$$

Решение

$$|x| – x = 10$$

При $x \in R,\ 2x^{2} – 9x + 15 > 0$

$$2x^{2} – 9x + 15 \geq 20$$

$$2x^{2} – 9x – 5 \geq 0$$

$$2(x – 5)(x + \frac{1}{2}) \geq 0$$

Отсюда $x \leq -\frac{1}{2}$ или $x \geq 5$

Ответ

$x \in \left(-\infty; -\frac{1}{2}\right)\cup[5; +\infty)$

Задача

Решить неравенство: $$|x^{2} – 5x| < 6$$

Решение

Решить неравенство: $$-6 < x^{2} – 5x| < 6$$

$$|x| = \left\{ \begin{array}{ll}
x^{2} – 5x – 6 < 0, \\ x^{2} – 5x – 6 > 0;
\end{array} \right.$$

$$|x| = \left\{ \begin{array}{ll}
(x + 1)(x – 6) < 0, \\ (x – 2)(x – 3) > 0;
\end{array} \right.$$

$x \in (-1; 2)\cup(3; 6)$

Ответ

$x \in (-1; 2)\cup(3; 6)$

Задача

Решить неравенство: $$|x – 3|^{2x^{2} – 7x} > 1$$

Решение

$$|x – 3|^{2x^{2} – 7x} > |x – 3|^{0}$$

$$\left[ \begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{ll}
0 < |x – 3| < 1, \\
2x^{2} – 7x < 0; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} |x – 3| > 1, \\
2x^{2} – 7x > 0
\end{array}\right.
\end{array}\right.$$

$$\left[ \begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{ll}
-1 < x – 3 < 1, \\
x – 3 \neq 0, \\
x(2x – 7) < 0; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x – 3 > 1, \\
x – 3 < -1, \end{array}\right. \\ x(2x – 7) > 0
\end{array}\right.$$

$$\left[ \begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{ll}
2 < x < 4, \\
x \neq 3, \\
0 < x < \frac{7}{2}; \end{array}\right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} \left[ \begin{array}{ccc} x > 4, \\
x < 2, \end{array}\right. \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > \frac{7}{2}, \\
x < 0.
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\end{array}\right.$$

Решением системы $\left\{ \begin{array}{ll}
2 < x < 4, \\
x \neq 3, \\
0 < x < \frac{7}{2};
\end{array}\right.$ является $(2; 3)\cup(3; \frac{7}{2})$

Решением системы $\left\{ \begin{array}{ll}
\left[ \begin{array}{ccc}
x > 4, \\
x < 2, \end{array}\right. \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > \frac{7}{2}, \\
x < 0.
\end{array}\right.
\end{array}\right.$ является $(-\infty; 0)\cup(4; +\infty)$

Окончательно $x \in (-\infty; 0)\cup(2; 3)\cup(3; \frac{7}{2})\cup(4; +\infty)$

Ответ

$x \in (-\infty; 0)\cup(2; 3)\cup(3; \frac{7}{2})\cup(4; +\infty)$

Задача

Решить неравенство: $$|x – 6| > |x^{2} – 5x + 9|$$

Решение

При $x \in R,\ x^{2} – 5x + 9 > 0$

$$|x – 6| > x^{2} – 5x + 9$$

$$x – 6 > x^{2} – 5x + 9$$

$x^{2} – 5x + 9 < 0$ – решений нет

$$x – 6 < -x^{2} + 5x – 9$$

$$x^{2} – 4x + 3 < 0,\ 1 < x < 3$$

Ответ

$x \in (1; 3)$

Задача

Решить неравенство: $$\log_{0,25}\left|\frac{2x + 1}{x + 3} + \frac{1}{2}\right| > \frac{1}{2}$$

Решение

$$0 < \left|\frac{2x + 1}{x + 3} + \frac{1}{2}\right| < \frac{1}{2}$$

$$0 < \left|\frac{4x + 2 + x + 3}{2(x + 3)}\right| < \frac{1}{2}$$

$$0 < \left|\frac{5x + 5}{2(x + 3)}\right| < \frac{1}{2}$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
\frac{5x + 5}{2(x + 3)} \neq 0, \\
\frac{5x + 5}{2(x + 3)} < \frac{1}{2}, \\ \frac{5x + 5}{2(x + 3)} > -\frac{1}{2};
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x \neq -1, \\
x \neq -3, \\
\frac{2x + 1}{x + 3} < 0, \\ \frac{3x + 4}{x + 3} > 0
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x \neq -1, \\
x \neq -3, \\
-3 < x < -\frac{1}{2}, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > -\frac{4}{3}, \\
x < -3
\end{array}\right.
\end{array} \right.$$

$$x \in \left(-\frac{4}{3}; -1\right)\cup\left(-1; -\frac{1}{2}\right)$$

Ответ

$$x \in \left(-\frac{4}{3}; -1\right)\cup\left(-1; -\frac{1}{2}\right)$$

Задача

Решить неравенство: $$\left\{ \begin{array}{ll}
|x^{2} + 5x| < 6, \\
|x + 1| \leq 1.
\end{array} \right.$$

Решение

$$\left\{ \begin{array}{ll}
-6 < x^{2} + 5x < 6, \\
-1 \leq x + 1 \leq 1.
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x^{2} + 5x < 6, \\ x^{2} + 5x > -6, \\
x + 1 \leq 1, \\
x + 1 \geq -1
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x^{2} + 5x – 6 < 0, \\ x^{2} + 5x + 6 > 0, \\
x \leq 0, \\
x \geq -2
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
-6 < x < 1, \\ \left[ \begin{array}{ccc} x > -2, \\
x < -3
\end{array}\right. \\
-2 \leq x \leq 0.
\end{array} \right.$$

$$x \in (-2; 0]$$

Ответ

$x \in (-2; 0]$

Задача

Решить неравенство: $$\left\{ \begin{array}{ll}
|x^{2} – 4x| < 5, \\
|x + 1| < 3.
\end{array} \right.$$

Решение

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x^{2} – 4x < 5, \\ x^{2} – 4x > -5, \\
-3 < x + 1 < 3
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
x^{2} – 4x – 5 < 0, \\ x^{2} – 4x + 5 > 0, \\
-4 < x < 2
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
-4 < x < 2, \\
x \in R, \\
-4 < x < 2
\end{array} \right.$$

$$-1 < x < 2$$

$$x \in (-1; 2)$$

Ответ

$$x \in (-1; 2)$$

Задача

Решить неравенство: $$\frac{3^{2|x – 1|} + 3}{4} < 3^{|x – 1|}$$

Решение

$$3^{2|x – 1|} – 4\cdot3^{|x – 1|} + 3 < 0$$

Неравенство является квадратным относительно $3^{|x – 1|}$

$$1 < 3^{|x – 1|} < 3$$

$$0 < |x – 1| < 1$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
-1 < x – 1 < 1, \\
x – 1 \neq 0
\end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{ll}
0 < x < 2, \\
x \neq 1
\end{array} \right.$$

$$x \in (0; 1)\cup(1; 2)$$

Ответ

$$x \in (0; 1)\cup(1; 2)$$

Задача

Решить неравенство: $$|x^{3} – 1| > 1 – x$$

Решение

$$\left[ \begin{array}{ccc}
x^{3} – 1 > 1 – x, \\
x^{3} – 1 < -1(1 – x)
\end{array}\right. \\$$

$$\left[ \begin{array}{ccc}
(x^{3} – 1) + (x – 1) > 0, \\
x(x^{2} – 1) < 0
\end{array}\right. \\$$

$$\left[ \begin{array}{ccc}
(x – 1)(x^{2} + x + 1) + (x – 1) > 0, \\
x(x + 1)(x – 1) < 0
\end{array}\right. \\$$

$$\left[ \begin{array}{ccc}
(x – 1)(x^{2} + x + 2) > 0, \\
x(x + 1)(x – 1) < 0
\end{array}\right. \\$$

$$\left[ \begin{array}{ccc}
x > 1, \\
x < -1, \\
0 < x < 1.
\end{array}\right. \\$$

$$x \in (-\infty; -1)\cup(0; 1)\cup(1; +\infty)$$

Ответ

$$x \in (-\infty; -1)\cup(0; 1)\cup(1; +\infty)$$

Задача

Решить неравенство: $$\frac{x^{2} – |x| – 12}{x – 3} \geq 2x$$

Решение

$$\left[ \begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{ll}
x < 0, \\
\frac{x^{2} – x – 12}{x – 3} \geq 2x;
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{ll}
x \geq 0, \\
\frac{x^{2} – x – 12}{x – 3} \geq 2x,
\end{array} \right.
\end{array}\right.$$

$$\left[ \begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{ll}
x < 0, \\
\frac{x^{2} – x + 12}{x – 3} \leq 0;
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{ll}
x \geq 0, \\
\frac{x^{2} – x + 12}{x – 3} \leq 0,
\end{array} \right.
\end{array}\right.$$

$$\left[ \begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{ll}
x < 0, \\
(x^{2} – x + 12)(x – 3) \leq 0, \\
x – 3 \neq 0;
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{ll}
x \geq 0, \\
(x^{2} – x + 12)(x – 3) \leq 0, \\
x – 3 \neq 0
\end{array} \right.
\end{array}\right.$$

$$\left[ \begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{ll}
x < 0, \\
(x – 4)(x – 3)^{3} \leq 0, \\
x – 3 \neq 0;
\end{array} \right. \\
\left\{ \begin{array}{ll}
x \geq 0, \\
x – 3 < 0
\end{array} \right.
\end{array}\right.$$

$$\left[ \begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{ll}
x < 0, \\ x \leq 4, \\ x \neq 3; \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{ll} x \geq 0, \\ x > 3,
\end{array} \right.
\end{array}\right.$$

$$\left[ \begin{array}{ccc}
x < 0, \\
0 \leq x < 3.
\end{array}\right.$$

$$x \in (-\infty; 3)$$

Ответ

$$x \in (-\infty; 3)$$