Алгоритм решения квадратных уравнений

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Квадратным уравнением называется уравнение вида: ax^{2} + bx + c = 0,\ a \neq 0
Алгоритм

Для решения квадратного уравнения необходимо вычислить дискриминант: D = b^{2} - 4\cdot a\cdot c.

Квадратное уравнение имеет 2 корня, если D > 0, один корень, если D = 0 и не имеет корней, если D < 0.

Формулы нахождения корней квадратного уравнения.

    \[x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4\cdot a\cdot c}}{2a}\]

Примеры решений квадратных уравнений

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

Пример 1

Задача

Решить уравнение:

    \[x^{2} - 4x + 2 = 0\]

Решение

Найдём дискриминант:

    \[D = (-4)^{2} - 4\cdot1\cdot2 = 8\]

    \[x_{1} = \frac{-(-4) + \sqrt{8}}{2\cdot1} = \frac{4 + \sqrt{8}}{2}\]

    \[x_{2} = \frac{-(-4) - \sqrt{8}}{2\cdot1} = \frac{4 - \sqrt{8}}{2}\]

Ответ

x_{1} = \frac{4 + \sqrt{8}}{2},\ x_{2} = \frac{4 - \sqrt{8}}{2}

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

    \[x^{2} - 1 = \frac{x + 1}{4}\]

Решение

    \[4(x^{2} - 1) = x + 1\]

    \[4x^{2} - x - 2 = 0\]

Найдём дискриминант:

    \[D = (-1)^{2} - 4\cdot4\cdot(-2) = 33\]

    \[x_{1} = \frac{-(-1) + \sqrt{33}}{2\cdot4} = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}\]

    \[x_{2} = \frac{-(-1) - \sqrt{33}}{2\cdot4} = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}\]

Ответ

x_{1} = \frac{1 + \sqrt{33}}{8},\ x_{2} = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}

Пример 3

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{x^{2} + 1}{x - 4} - \frac{x^{2} - 1}{x + 3} = 23\]

Решение

ОДЗ: x \neq -3, x \neq 4

    \[\frac{16x^{2} - 25x -275}{(x + 3)(x - 4)} = 0\]

    \[16x^{2} - 25x -275 = 0\]

    \[x_{1} = \frac{-(-25) + \sqrt{(-25)^{2} - 4\cdot16\cdot(-275)}}{2\cdot16} = -\frac{55}{16}\]

    \[x_{2} = \frac{-(-25) - \sqrt{(-25)^{2} - 4\cdot16\cdot(-275)}}{2\cdot16} = 5\]

Ответ

x_{1} = -\frac{55}{16},\ x_{2} = 5

Пример 4

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{b}{x - a} - \frac{a}{x - b} = 2\]

Решение

ОДЗ: x \neq a, x \neq b

    \[\frac{2x^{2} - 3(a + b)x + (a + b)^{2}}{(x - a)(x - b)} = 0\]

    \[2x^{2} - 3(a + b)x + (a + b)^{2} = 0\]

    \[x_{1} = \frac{-(- 3(a + b)) + \sqrt{(- 3(a + b))^{2} - 4\cdot2\cdot(a + b)^{2}}}{2\cdot2} = \frac{a + b}{2}\]

    \[x_{2} = \frac{-(- 3(a + b)) - \sqrt{(- 3(a + b))^{2} - 4\cdot2\cdot(a + b)^{2}}}{2\cdot2} = a + b\]

Ответ

x_{1} = \frac{a + b}{2},\ x_{2} = a + b

Пример 5

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{x^{2} + x - 5}{x} + \frac{3x}{x^{2} + x - 5} + 4 = 0\]

Решение

ОДЗ: x \neq 0, x \neq \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}

Обозначим:

    \[\frac{x^{2} + x - 5}{x} = z\]

Тогда:

    \[z + \frac{1}{z} + 4 = 0\]

    \[z^{2} + 4z + 3 = 0\]

    \[z_{1} = \frac{-4 + \sqrt{4^{2} - 4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1} = -3\]

    \[z_{2} = \frac{-4 - \sqrt{4^{2} - 4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1} = -1\]

    \[\frac{x^{2} + x - 5}{x} = -3\]

    \[x^{2} + 4x - 5 = 0\]

    \[x_{1} = \frac{-4 - \sqrt{4^{2} - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = -5\]

    \[x_{2} = \frac{-4 + \sqrt{4^{2} - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = 1\]

    \[\frac{x^{2} + x - 5}{x} = -1\]

    \[x^{2} + 2x - 5 = 0\]

    \[x_{3} = \frac{-2 - \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = - 1 - \sqrt{6}\]

    \[x_{4} = \frac{-2 + \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = -1 + \sqrt{6}\]

Ответ

x_{1} = -5,\ x_{2} = -1,\ x_{3} = - 1 - \sqrt{6},\ x_{4} = - 1 + \sqrt{6}

Пример 6

Задача

Решить уравнение:

    \[x^{4} - \frac{50}{2x^{4} - 7} = 14\]

Решение

ОДЗ: x \neq \pm \sqrt[4]{\frac{7}{2}}

Обозначим:

    \[2x^{4} - 7 = z\]

Тогда:

    \[\frac{z + 2}{2} - \frac{50}{z} = 14\]

    \[z^{2} - 21z - 100 = 0\]

    \[z_{1} = \frac{-(-21) - \sqrt{(-21)^{2} - 4\cdot1\cdot(-100)}}{2\cdot1} = -4\]

    \[z_{2} = \frac{-(-21) + \sqrt{(-21)^{2} - 4\cdot1\cdot(-100)}}{2\cdot1} = 25\]

    \[2x^{4} - 7 = - 4\]

    \[x_{1} = -\sqrt[4]{\frac{3}{2}}\]

    \[x_{2} = \sqrt[4]{\frac{3}{2}}\]

    \[2x^{4} - 7 = 25\]

    \[x_{3} = -2\]

    \[x_{4} = 2\]

Ответ

x_{1} = -\sqrt[4]{\frac{3}{2}},\ x_{2} = \sqrt[4]{\frac{3}{2}},\ x_{3} = -2,\ x_{4} = 2

Пример 7

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{1}{x(x + 2)} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} = \frac{1}{12}\]

Решение

ОДЗ: x \neq 0,\ x \neq -1,\ x \neq -2

Обозначим:

    \[x^{2} + 2x = z\]

Тогда:

    \[\frac{1}{z} - \frac{1}{z + 1} = \frac{1}{12}\]

    \[\frac{1}{z} - \frac{1}{z + 1} = 0\]

    \[-z^{2} - z + 12 = 0\]

    \[z_{1} = \frac{-(-1) + \sqrt{(-1)^{2} - 4\cdot(-1)\cdot12}}{2\cdot(-1)} = -4\]

    \[z_{2} = \frac{-(-1) - \sqrt{(-1)^{2} - 4\cdot(-1)\cdot12}}{2\cdot(-1)} = 3\]

    \[x^{2} + 2x = -4\]

    \[x^{2} + 2x + 4 = 0\]

D = 2^{2} - 4\cdot1\cdot4 = -12 < 0 – корней нет

    \[x^{2} + 2x = 3\]

    \[x^{2} + 2x - 3 = 0\]

    \[x_{1} = \frac{-2 + \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} = 1\]

    \[x_{2} = \frac{-2 - \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} = -3\]

Ответ

x_{1} = 1,\ x_{2} = -3

Пример 8

Задача

Решить уравнение:

    \[x + \frac{1}{x} = 2\frac{m^{2} + n^{2}}{m^{2} - n^{2}}\]

Решение

ОДЗ: x \neq 0,\ m \neq \pm n

    \[x_{1} = \frac{m + n}{m - n}\]

    \[x_{2} = \frac{m - n}{m + n}\]

Ответ

x_{1} = \frac{m + n}{m - n},\ x_{2} = \frac{m - n}{m + n}

Пример 9

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{x - 3}{x - 1} + \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{x + 6}{x + 2} - \frac{x - 6}{x - 2}\]

Решение

ОДЗ: x \neq 1,\ x \neq 2

    \[\frac{2x^{2} - 6}{x^{2} - 1} = \frac{2x^{2} - 24}{x^{2} - 4}\]

    \[\frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 1} = \frac{2x^{2} - 12}{x^{2} - 4}\]

    \[\frac{6x^{2}}{(x^{2} - 1)(x^{2} - 4)} = 0\]

Отсюда x = 0

Ответ

x = 0

Пример 10

Задача

Решить уравнение:

    \[(x - 1)(x^{2} - 3) + (2x - 1)(x^{2} + 2) = 3\]

Решение

    \[x^{3} - x^{2} -3x + 3 + 2x^{3} - x^{2} + 4x - 2 = 0\]

    \[3x^{3} - 2x^{2} + x - 2 = 0\]

    \[3x^{3} - 3x^{2} + x^{2} - x + 2x - 2 = 0\]

    \[3x^{2}(x - 1) + x(x - 1) + 2(x - 1) = 0\]

    \[(x - 1)(3x^{2} + x + 2) = 0\]

    \[(x - 1) = 0,\ x = 1\]

    \[3x^{2} + x + 2 = 0\]

D = 1^{2} - 4\cdot3\cdot2 = -23 < 0 – корней нет

Ответ

x = 1

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

1848

Помощь в написании работы

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также