Алгоритм решения квадратных уравнений

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Квадратным уравнением называется уравнение вида: ax^{2} + bx + c = 0,\ a \neq 0
Алгоритм

Для решения квадратного уравнения необходимо вычислить дискриминант: D = b^{2} - 4\cdot a\cdot c.

Квадратное уравнение имеет 2 корня, если D > 0, один корень, если D = 0 и не имеет корней, если D < 0.

Формулы нахождения корней квадратного уравнения.

    \[x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4\cdot a\cdot c}}{2a}\]

Примеры решений квадратных уравнений

Пример 1

Задача

Решить уравнение:

    \[x^{2} - 4x + 2 = 0\]

Решение

Найдём дискриминант:

    \[D = (-4)^{2} - 4\cdot1\cdot2 = 8\]

    \[x_{1} = \frac{-(-4) + \sqrt{8}}{2\cdot1} = \frac{4 + \sqrt{8}}{2}\]

    \[x_{2} = \frac{-(-4) - \sqrt{8}}{2\cdot1} = \frac{4 - \sqrt{8}}{2}\]

Ответ

x_{1} = \frac{4 + \sqrt{8}}{2},\ x_{2} = \frac{4 - \sqrt{8}}{2}

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

    \[x^{2} - 1 = \frac{x + 1}{4}\]

Решение

    \[4(x^{2} - 1) = x + 1\]

    \[4x^{2} - x - 2 = 0\]

Найдём дискриминант:

    \[D = (-1)^{2} - 4\cdot4\cdot(-2) = 33\]

    \[x_{1} = \frac{-(-1) + \sqrt{33}}{2\cdot4} = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}\]

    \[x_{2} = \frac{-(-1) - \sqrt{33}}{2\cdot4} = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}\]

Ответ

x_{1} = \frac{1 + \sqrt{33}}{8},\ x_{2} = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}

Пример 3

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{x^{2} + 1}{x - 4} - \frac{x^{2} - 1}{x + 3} = 23\]

Решение

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

ОДЗ: x \neq -3, x \neq 4

    \[\frac{16x^{2} - 25x -275}{(x + 3)(x - 4)} = 0\]

    \[16x^{2} - 25x -275 = 0\]

    \[x_{1} = \frac{-(-25) + \sqrt{(-25)^{2} - 4\cdot16\cdot(-275)}}{2\cdot16} = -\frac{55}{16}\]

    \[x_{2} = \frac{-(-25) - \sqrt{(-25)^{2} - 4\cdot16\cdot(-275)}}{2\cdot16} = 5\]

Ответ

x_{1} = -\frac{55}{16},\ x_{2} = 5

Пример 4

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{b}{x - a} - \frac{a}{x - b} = 2\]

Решение

ОДЗ: x \neq a, x \neq b

    \[\frac{2x^{2} - 3(a + b)x + (a + b)^{2}}{(x - a)(x - b)} = 0\]

    \[2x^{2} - 3(a + b)x + (a + b)^{2} = 0\]

    \[x_{1} = \frac{-(- 3(a + b)) + \sqrt{(- 3(a + b))^{2} - 4\cdot2\cdot(a + b)^{2}}}{2\cdot2} = \frac{a + b}{2}\]

    \[x_{2} = \frac{-(- 3(a + b)) - \sqrt{(- 3(a + b))^{2} - 4\cdot2\cdot(a + b)^{2}}}{2\cdot2} = a + b\]

Ответ

x_{1} = \frac{a + b}{2},\ x_{2} = a + b

Пример 5

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{x^{2} + x - 5}{x} + \frac{3x}{x^{2} + x - 5} + 4 = 0\]

Решение

ОДЗ: x \neq 0, x \neq \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}

Обозначим:

    \[\frac{x^{2} + x - 5}{x} = z\]

Тогда:

    \[z + \frac{1}{z} + 4 = 0\]

    \[z^{2} + 4z + 3 = 0\]

    \[z_{1} = \frac{-4 + \sqrt{4^{2} - 4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1} = -3\]

    \[z_{2} = \frac{-4 - \sqrt{4^{2} - 4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1} = -1\]

    \[\frac{x^{2} + x - 5}{x} = -3\]

    \[x^{2} + 4x - 5 = 0\]

    \[x_{1} = \frac{-4 - \sqrt{4^{2} - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = -5\]

    \[x_{2} = \frac{-4 + \sqrt{4^{2} - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = 1\]

    \[\frac{x^{2} + x - 5}{x} = -1\]

    \[x^{2} + 2x - 5 = 0\]

    \[x_{3} = \frac{-2 - \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = - 1 - \sqrt{6}\]

    \[x_{4} = \frac{-2 + \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = -1 + \sqrt{6}\]

Ответ

x_{1} = -5,\ x_{2} = -1,\ x_{3} = - 1 - \sqrt{6},\ x_{4} = - 1 + \sqrt{6}

Пример 6

Задача

Решить уравнение:

    \[x^{4} - \frac{50}{2x^{4} - 7} = 14\]

Решение

ОДЗ: x \neq \pm \sqrt[4]{\frac{7}{2}}

Обозначим:

    \[2x^{4} - 7 = z\]

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Тогда:

    \[\frac{z + 2}{2} - \frac{50}{z} = 14\]

    \[z^{2} - 21z - 100 = 0\]

    \[z_{1} = \frac{-(-21) - \sqrt{(-21)^{2} - 4\cdot1\cdot(-100)}}{2\cdot1} = -4\]

    \[z_{2} = \frac{-(-21) + \sqrt{(-21)^{2} - 4\cdot1\cdot(-100)}}{2\cdot1} = 25\]

    \[2x^{4} - 7 = - 4\]

    \[x_{1} = -\sqrt[4]{\frac{3}{2}}\]

    \[x_{2} = \sqrt[4]{\frac{3}{2}}\]

    \[2x^{4} - 7 = 25\]

    \[x_{3} = -2\]

    \[x_{4} = 2\]

Ответ

x_{1} = -\sqrt[4]{\frac{3}{2}},\ x_{2} = \sqrt[4]{\frac{3}{2}},\ x_{3} = -2,\ x_{4} = 2

Пример 7

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{1}{x(x + 2)} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} = \frac{1}{12}\]

Решение

ОДЗ: x \neq 0,\ x \neq -1,\ x \neq -2

Обозначим:

    \[x^{2} + 2x = z\]

Тогда:

    \[\frac{1}{z} - \frac{1}{z + 1} = \frac{1}{12}\]

    \[\frac{1}{z} - \frac{1}{z + 1} = 0\]

    \[-z^{2} - z + 12 = 0\]

    \[z_{1} = \frac{-(-1) + \sqrt{(-1)^{2} - 4\cdot(-1)\cdot12}}{2\cdot(-1)} = -4\]

    \[z_{2} = \frac{-(-1) - \sqrt{(-1)^{2} - 4\cdot(-1)\cdot12}}{2\cdot(-1)} = 3\]

    \[x^{2} + 2x = -4\]

    \[x^{2} + 2x + 4 = 0\]

D = 2^{2} - 4\cdot1\cdot4 = -12 < 0 – корней нет

    \[x^{2} + 2x = 3\]

    \[x^{2} + 2x - 3 = 0\]

    \[x_{1} = \frac{-2 + \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} = 1\]

    \[x_{2} = \frac{-2 - \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} = -3\]

Ответ

x_{1} = 1,\ x_{2} = -3

Пример 8

Задача

Решить уравнение:

    \[x + \frac{1}{x} = 2\frac{m^{2} + n^{2}}{m^{2} - n^{2}}\]

Решение

ОДЗ: x \neq 0,\ m \neq \pm n

    \[x_{1} = \frac{m + n}{m - n}\]

    \[x_{2} = \frac{m - n}{m + n}\]

Ответ

x_{1} = \frac{m + n}{m - n},\ x_{2} = \frac{m - n}{m + n}

Пример 9

Задача

Решить уравнение:

    \[\frac{x - 3}{x - 1} + \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{x + 6}{x + 2} - \frac{x - 6}{x - 2}\]

Решение

ОДЗ: x \neq 1,\ x \neq 2

    \[\frac{2x^{2} - 6}{x^{2} - 1} = \frac{2x^{2} - 24}{x^{2} - 4}\]

    \[\frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 1} = \frac{2x^{2} - 12}{x^{2} - 4}\]

    \[\frac{6x^{2}}{(x^{2} - 1)(x^{2} - 4)} = 0\]

Отсюда x = 0

Ответ

x = 0

Пример 10

Задача

Решить уравнение:

    \[(x - 1)(x^{2} - 3) + (2x - 1)(x^{2} + 2) = 3\]

Решение

    \[x^{3} - x^{2} -3x + 3 + 2x^{3} - x^{2} + 4x - 2 = 0\]

    \[3x^{3} - 2x^{2} + x - 2 = 0\]

    \[3x^{3} - 3x^{2} + x^{2} - x + 2x - 2 = 0\]

    \[3x^{2}(x - 1) + x(x - 1) + 2(x - 1) = 0\]

    \[(x - 1)(3x^{2} + x + 2) = 0\]

    \[(x - 1) = 0,\ x = 1\]

    \[3x^{2} + x + 2 = 0\]

D = 1^{2} - 4\cdot3\cdot2 = -23 < 0 – корней нет

Ответ

x = 1

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

350

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также