Простое объяснение принципов решения квадратных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения квадратных уравнений

Теорема

Квадратным уравнением называется уравнение вида: $ax^{2} + bx + c = 0,\ a \neq 0$

Алгоритм

Для решения квадратного уравнения необходимо вычислить дискриминант: $D = b^{2} - 4\cdot a\cdot c$ .

Квадратное уравнение имеет 2 корня, если $D > 0$ , один корень, если $D = 0$ и не имеет корней, если $D < 0$ .

Формулы нахождения корней квадратного уравнения.

$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4\cdot a\cdot c}}{2a}$

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений квадратных уравнений

Пример 1

Задача

Решить уравнение:

$x^{2} - 4x + 2 = 0$

Решение

Найдём дискриминант:

$D = (-4)^{2} - 4\cdot1\cdot2 = 8$

$x_{1} = \frac{-(-4) + \sqrt{8}}{2\cdot1} = \frac{4 + \sqrt{8}}{2}$

$x_{2} = \frac{-(-4) - \sqrt{8}}{2\cdot1} = \frac{4 - \sqrt{8}}{2}$

Ответ

$x_{1} = \frac{4 + \sqrt{8}}{2},\ x_{2} = \frac{4 - \sqrt{8}}{2}$

Пример 2

Задача

Решить уравнение:

$x^{2} - 1 = \frac{x + 1}{4}$

Решение

$4(x^{2} - 1) = x + 1$

$4x^{2} - x - 5 = 0$

Найдём дискриминант:

$D = (-1)^{2} - 4\cdot4\cdot(-5) = 81$

$x_{1} = \frac{-(-1) + \sqrt{33}}{2\cdot4} = \frac{1 + \sqrt{81}}{8}$

$x_{2} = \frac{-(-1) - \sqrt{33}}{2\cdot4} = \frac{1 - \sqrt{81}}{8}$

Ответ

$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{81}}{8}=1,25,\ x_{2} = \frac{1 - \sqrt{81}}{8}=-1$

Пример 3

Задача

Решить уравнение:

$\frac{x^{2} + 1}{x - 4} - \frac{x^{2} - 1}{x + 3} = 23$

Решение

ОДЗ: $x \neq -3, x \neq 4$

$\frac{16x^{2} - 25x -275}{(x + 3)(x - 4)} = 0$

$16x^{2} - 25x -275 = 0$

$x_{1} = \frac{-(-25) + \sqrt{(-25)^{2} - 4\cdot16\cdot(-275)}}{2\cdot16} = -\frac{55}{16}$

$x_{2} = \frac{-(-25) - \sqrt{(-25)^{2} - 4\cdot16\cdot(-275)}}{2\cdot16} = 5$

Ответ

$x_{1} = -\frac{55}{16},\ x_{2} = 5$

Пример 4

Задача

Решить уравнение:

$\frac{b}{x - a} - \frac{a}{x - b} = 2$

Решение

ОДЗ: $x \neq a, x \neq b$

$\frac{2x^{2} - 3(a + b)x + (a + b)^{2}}{(x - a)(x - b)} = 0$

$2x^{2} - 3(a + b)x + (a + b)^{2} = 0$

$x_{1} = \frac{-(- 3(a + b)) + \sqrt{(- 3(a + b))^{2} - 4\cdot2\cdot(a + b)^{2}}}{2\cdot2} = \frac{a + b}{2}$

$x_{2} = \frac{-(- 3(a + b)) - \sqrt{(- 3(a + b))^{2} - 4\cdot2\cdot(a + b)^{2}}}{2\cdot2} = a + b$

Ответ

$x_{1} = \frac{a + b}{2},\ x_{2} = a + b$

Пример 5

Задача

Решить уравнение:

$\frac{x^{2} + x - 5}{x} + \frac{3x}{x^{2} + x - 5} + 4 = 0$

Решение

ОДЗ: $x \neq 0, x \neq \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Обозначим:

$\frac{x^{2} + x - 5}{x} = z$

Тогда:

$z + \frac{1}{z} + 4 = 0$

$z^{2} + 4z + 3 = 0$

$z_{1} = \frac{-4 + \sqrt{4^{2} - 4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1} = -3$

$z_{2} = \frac{-4 - \sqrt{4^{2} - 4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1} = -1$

$\frac{x^{2} + x - 5}{x} = -3$

$x^{2} + 4x - 5 = 0$

$x_{1} = \frac{-4 - \sqrt{4^{2} - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = -5$

$x_{2} = \frac{-4 + \sqrt{4^{2} - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = 1$

$\frac{x^{2} + x - 5}{x} = -1$

$x^{2} + 2x - 5 = 0$

$x_{3} = \frac{-2 - \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = - 1 - \sqrt{6}$

$x_{4} = \frac{-2 + \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = -1 + \sqrt{6}$

Ответ

$x_{1} = -5,\ x_{2} = -1,\ x_{3} = - 1 - \sqrt{6},\ x_{4} = - 1 + \sqrt{6}$

Пример 6

Задача

Решить уравнение:

$x^{4} - \frac{50}{2x^{4} - 7} = 14$

Решение

ОДЗ: $x \neq \pm \sqrt[4]{\frac{7}{2}}$

Обозначим:

$2x^{4} - 7 = z$

Тогда:

$\frac{z + 2}{2} - \frac{50}{z} = 14$

$z^{2} - 21z - 100 = 0$

$z_{1} = \frac{-(-21) - \sqrt{(-21)^{2} - 4\cdot1\cdot(-100)}}{2\cdot1} = -4$

$z_{2} = \frac{-(-21) + \sqrt{(-21)^{2} - 4\cdot1\cdot(-100)}}{2\cdot1} = 25$

$2x^{4} - 7 = - 4$

$x_{1} = -\sqrt[4]{\frac{3}{2}}$

$x_{2} = \sqrt[4]{\frac{3}{2}}$

$2x^{4} - 7 = 25$

$x_{3} = -2$

$x_{4} = 2$

Ответ

$x_{1} = -\sqrt[4]{\frac{3}{2}},\ x_{2} = \sqrt[4]{\frac{3}{2}},\ x_{3} = -2,\ x_{4} = 2$

Пример 7

Задача

Решить уравнение:

$\frac{1}{x(x + 2)} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} = \frac{1}{12}$

Решение

ОДЗ: $x \neq 0,\ x \neq -1,\ x \neq -2$

Обозначим:

$x^{2} + 2x = z$

Тогда:

$\frac{1}{z} - \frac{1}{z + 1} = \frac{1}{12}$

$\frac{1}{z} - \frac{1}{z + 1} = 0$

$-z^{2} - z + 12 = 0$

$z_{1} = \frac{-(-1) + \sqrt{(-1)^{2} - 4\cdot(-1)\cdot12}}{2\cdot(-1)} = -4$

$z_{2} = \frac{-(-1) - \sqrt{(-1)^{2} - 4\cdot(-1)\cdot12}}{2\cdot(-1)} = 3$

$x^{2} + 2x = -4$

$x^{2} + 2x + 4 = 0$

$D = 2^{2} - 4\cdot1\cdot4 = -12 < 0$ – корней нет

$x^{2} + 2x = 3$

$x^{2} + 2x - 3 = 0$

$x_{1} = \frac{-2 + \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} = 1$

$x_{2} = \frac{-2 - \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} = -3$

Ответ

$x_{1} = 1,\ x_{2} = -3$

Пример 8

Задача

Решить уравнение:

$x + \frac{1}{x} = 2\frac{m^{2} + n^{2}}{m^{2} - n^{2}}$

Решение

ОДЗ: $x \neq 0,\ m \neq \pm n$

$x_{1} = \frac{m + n}{m - n}$

$x_{2} = \frac{m - n}{m + n}$

Ответ

$x_{1} = \frac{m + n}{m - n},\ x_{2} = \frac{m - n}{m + n}$

Пример 9

Задача

Решить уравнение:

$\frac{x - 3}{x - 1} + \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{x + 6}{x + 2} - \frac{x - 6}{x - 2}$

Решение

ОДЗ: $x \neq 1,\ x \neq 2$

$\frac{2x^{2} - 6}{x^{2} - 1} = \frac{2x^{2} - 24}{x^{2} - 4}$

$\frac{x^{2} - 3}{x^{2} - 1} = \frac{2x^{2} - 12}{x^{2} - 4}$

$\frac{6x^{2}}{(x^{2} - 1)(x^{2} - 4)} = 0$

Отсюда $x = 0$

Ответ

$x = 0$

Пример 10

Задача

Решить уравнение:

$(x - 1)(x^{2} - 3) + (2x - 1)(x^{2} + 2) = 3$

Решение

$x^{3} - x^{2} -3x + 3 + 2x^{3} - x^{2} + 4x - 2 = 0$

$3x^{3} - 2x^{2} + x - 2 = 0$

$3x^{3} - 3x^{2} + x^{2} - x + 2x - 2 = 0$

$3x^{2}(x - 1) + x(x - 1) + 2(x - 1) = 0$

$(x - 1)(3x^{2} + x + 2) = 0$

$(x - 1) = 0,\ x = 1$

$3x^{2} + x + 2 = 0$

$D = 1^{2} - 4\cdot3\cdot2 = -23 < 0$ – корней нет

Ответ

$x = 1$

Примеры решения квадратных уравнений с ответами

Алгоритм решения квадратных уравнений

Примеры решений квадратных уравнений