О чем статья

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим аргумент комплексного числа на примере. Пусть вектор $\overline {OM}$ изображает комплексное число $z$ (рис. 1). Аргументом числа $z\neq{0}$ называется любое из значений угла наклона вектора $\overline{OM}$ к оси $OX$ :

$Argz = \varphi + 2k\pi$ , где $k = 0, \pm{1}, \pm{2},...$ .

Таким образом, у аргумента комплексного числа появляется бесконечное множество значений. Аргумент $z = 0$ не определяется.

Аргумент комплексного числа

Рис. 1

Наименьшее за абсолютной величиной значение $Argz$ (то есть значение с интервалом $(-\pi, \pi]$ ) называется главным значением аргумента комплексного числа и обозначается $arg z$ , поэтому $Argz = arg z + 2k\pi, (k = 0, \pm{1},...)$ .

Вычисление аргумента

Вычисление аргумента знать необходимо, но сначала нужно отметить свойство: $arctg(-a) = -arctg(a)$ .

1) Аргумент действительного и чисто мнимого числа: если $a > 0$ , тогда $arg {a} = 0, arg (-a) = \pi, arg(ai) = \pi/2, arg(-ai) = -\pi/2$ .

2) Аргумент любого числа $z = a + bi(a\neq{0})$ можно находить по формуле:

$\varphi = arg\quad{z} = \left\{ \begin{aligned} arctg{b\over{a}}\\ arctg{b\over{a}} + \pi\\ arctg{b\over{a}} - \pi \end{aligned} \tight$

(1)

В первой формуле, если $z\in{I, IV}$ четверти, во второй формуле, если $z\in{II$ четверти, а в третьей, если $z\in{III}$ четверти.

Доведём последнюю формулу в случае, если $z$ изображается точкой $M$ во второй четверти (рис. 2). С $\DeltaOMM_{1}\to{tg{a}} = {b\over{-a}}\to\alpha = - arctg{b\over{a}}$ . Так как $\varphi + \alpha = \pi$ тогда $\varphi = \pi - \alpha = \pi + arctg{b\over{a}}$

Вычисление аргумента

Рис. 2

Другие случаи расположения числа $z$ на плоскости рассматриваются аналогично.

Если не требуется высокой точности, тогда аргумент комплексных чисел можно находить графическим способом. С этой целью стоит построить комплексные числа на миллиметровом листе и измерять соответствующий угол при помощи транспортира. Этот способ иногда используют для грубой проверки вычислений.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть известны модуль $|z| = r > 0$ и аргумент $Argz = \varphi$ комплексного числа $z = a + bi$ (см. рис. 1).

$r, \varphi$ – полярные координаты точки $M (a, b)$ , которая изображает число $z$ ( если $OX$ – полярная ось).

[stextbox id=”info” defcaption=”true”]

В случае размещения осей $OX$ и $OY$ , показанному на рисунке 1 известны формулы перехода от полярных к прямоугольным координатам точки $M: a = r cos\varphi$ , $b = r sin\varphi$ . Добавим эти равенства, умножив вторую часть на $i$ :

$z = a + bi = r(cos\varphi + i * sin\varphi)$ .

Последняя форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

[/stextbox]

Как видим, чтобы найти тригонометрическую форму, достаточно вычислить модуль и аргумент комплексных чисел.

Показательная форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа в практике встречается реже, чем в тригонометрической форме, но всё же иногда встречается и поэтому, о ней необходимо знать хотя бы самое основное.

Пусть $|z| = r > 0, Argz = \varphi$ . Если число $z$ записать в тригонометрической форме $z = r(cos\varphi + i\quad{sin\varphi})$ , а потом применить формулу Эйлера $e^i^\varphi = cos\varphi + i\quad{sin\varphi}$ , где $\varphi$ – любое действительное число, получим так званую показательную форму комплексного числа:

$z = re^i^\varphi$ .

Такая форма записи чисел позволяет использовать свойства экспоненты и поэтому удобна для разных преобразований.

Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел: если

$z_{1} = r_{1}e^{i\varphi_{1}}, z_{2} = r_{2}e^{i\varphi_{2}}$ , тогда

$z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}e^{i(\varphi_{1} + \varphi_{2})$ , ${z_1\over{z_2}} = {r_1\over{r_{2}}}e^{i(\varphi_{1} - \varphi_{2})$ ;

$z^n = (re^{i\varphi})^n = r^ne^{in\varphi}$ , где $n$ – целое.

Примеры решений

[stextbox id=”warning” caption=”Пример 1″]

Задача

Записать в тригонометрической форме следующие числа: 1) $z_{1} = -i$ , 2) $z_{2} = -2$ , 3) $z_{3} = -2 - 2i$ .

Решение

1) $z_{1} = |-i| = 1, arg {z_{1}} = arg(-i) = -90^0$

2) $|z_{2}| = |-2| = 2, arg {z_{2}} = arg(-2) = 180^0$ .

3) $|z_{3} = -2 - 2i| = \sqrt{8}, arg {z_{3}} = arg(-2 - 2i) = -135^0$ .

Ответ

1) $-i = 1 * (cos(-90^0) + i {sin(-90^0))}$ .

2) $-2 = 2(cos 180^0 + i {sin 180^0})$ .

3) $-2 -2i = \sqrt{8}(cos(-135^0) + i {sin} - (-135^0))$ .

[/stextbox]

[stextbox id=”warning” caption=”Пример 2″]

Задача

Используя тригонометрическую форму, вычислить произведение чисел $z_{1} = 1 + i, z_{2} = {1\over{2}}i$ . Выяснить геометрическое содержание операции множества этих чисел.

Решение

$|z_{1}| = \sqrt{2}$ , $arg$ $z_{1}$ = $45^0$ ; $|z_{2}| = {1\over{2}}$ , $arg$ $z_{2}$ = $90^0$ ;

$z_{1}z_{2} = \sqrt{2}(cos 45^0 + {i} sin 90^0) = {\sqrt{2}\over{2}}(cos 135^0 + i sin 135^0) = {1\over{2}}(-1 + i)$ .

С геометрической точки зрения были выполнены следующие преобразования:

1) поворот вектора $\overline{OM} = 1 + i$ на угол $90^0\to{OM}$ – результат поворота;

2) сжатие (без изменения направления) вектора $\overline{OM}'$ в два раза $\to\overline{OM''}$ – результат умножения.

При помощи рисунка 3 в данном случае легко проверить, что $OM'' = -{1\over{2}} + {1\over{2}}i$ .

Тригонометрическая форма комплексного числа

Рис. 3

Ответ

Произведение чисел $z_{1}z_{2} = {1\over{2}}(- 1 + i)$ .

[/stextbox]

[stextbox id=”warning” caption=”Пример 3″]

Задача

Записать в показательной форме число $z = -1 + i\sqrt{3}$ .

Решение

$r = |z| = 2$ , $\varphi = Arg z = \pi - arctg\sqrt{3} = \pi - \pi/3 = 2\pi/3$ .

Ответ

$z = 2e^{i2\pi/3}$ .

[/stextbox]

[stextbox id=”warning” caption=”Пример 4″]

Задача

Используя показательную форму чисел $z_{1} = 2 - 3i$ , $z_{2} = -4 + 3i$ , $z_{3} = 2 + 4i$ . Вычислить приблизительно $W = {z_{1}z_{2}\over{z_{3}}$ ( все вычисления выполнять с четырьмя знаками после запятой). Для контроля найти точно значение $W$ , выполняя вычисления в алгебраической форме.

Решение

Находим квадраты модулей и аргументы (в градусах) данных чисел: $|z_{1}|^2 = 13$ , $|z_{2}|^2 = 25$ , $|z_{3}|^2 = 20$ ;

$arg$ $z_{1} = -arctg{3\over{2}} = -56,3099^0$ ,

$arg$ $z_{2} = 180^0 - arctg 3/4 = 180^0 - 36,8699^0 = 143,1301^0$ ,

$arg$ $z_{3} = arctg 2 = 63,4349^0$ .

Выполняя действия над числами в показательной форме, получаем:

$W = \sqrt{{13 * 25\over{20}}}* e^{i(-56,3099 + 143,1301 - 63,4349)^0} = 4,0311 * e^{i * 23,3853^0}$ .

К алгебраической форме записи числа $W$ переходим при помощи формулы Эйлера:

$W = 4,0311(cos 23,3853^0 + i sin 23,3853^0) = 4,0311(0,9178 + i * 0.3969) = 3,7000 + i * 1,6000$ .

Контроль

Выполняем действия в алгебраической форме:

$W = {(2 - 3i)(-4 + 3i)\over{2 + 4i}} = {-8 + 12i + 6i - 9i^2\over{2 + 4i}} = {(1 + 18i)(2 - 4i)\over{(2 + 4i)(2 - 4i)}} = {2 - 4i + 36i - 72i^2\over{4 + 16}} = {74 + 32i\over{20}} = 3,7 + i * 1,6$ .

[/stextbox]

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CTRL + Enter

сагдиана на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно!
акмарал на Более 50 основных формул по физике с пояснениема эти формулы обычно используют в олимпиядах
всем пока на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно. калькулятор не работает.
Великий гей Никола Тесла на Более 50 основных формул по физике с пояснениемСайт параша, я пытался списать ЕГЭ по физике с помощью них, я блять сдал его на 99999 балов, и теперь
некто на Примеры решения матриц с ответамиНеправильные ответы, учите матрицу гении

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Аргумент комплексного числа

Вычисление аргумента

Тригонометрическая форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа

Примеры решений

Авторизуйтесь