О чем статья
Аргумент комплексного числа
Рассмотрим аргумент комплексного числа на примере. Пусть вектор изображает комплексное число (рис. 1). Аргументом числа называется любое из значений угла наклона вектора к оси :
, где .
Таким образом, у аргумента комплексного числа появляется бесконечное множество значений. Аргумент не определяется.
Рис. 1
Наименьшее за абсолютной величиной значение (то есть значение с интервалом ) называется главным значением аргумента комплексного числа и обозначается , поэтому .
Вычисление аргумента
Вычисление аргумента знать необходимо, но сначала нужно отметить свойство: .
1) Аргумент действительного и чисто мнимого числа: если , тогда .
2) Аргумент любого числа можно находить по формуле:
(1)
В первой формуле, если четверти, во второй формуле, если четверти, а в третьей, если четверти.
Доведём последнюю формулу в случае, если изображается точкой во второй четверти (рис. 2). С . Так как тогда
Рис. 2
Другие случаи расположения числа на плоскости рассматриваются аналогично.
Если не требуется высокой точности, тогда аргумент комплексных чисел можно находить графическим способом. С этой целью стоит построить комплексные числа на миллиметровом листе и измерять соответствующий угол при помощи транспортира. Этот способ иногда используют для грубой проверки вычислений.
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Пусть известны модуль и аргумент комплексного числа (см. рис. 1).
– полярные координаты точки , которая изображает число ( если – полярная ось).
[stextbox id=”info” defcaption=”true”]
В случае размещения осей и , показанному на рисунке 1 известны формулы перехода от полярных к прямоугольным координатам точки , . Добавим эти равенства, умножив вторую часть на :
.
Последняя форма записи комплексного числа называется тригонометрической.
[/stextbox]
Как видим, чтобы найти тригонометрическую форму, достаточно вычислить модуль и аргумент комплексных чисел.
Показательная форма комплексного числа
Показательная форма комплексного числа в практике встречается реже, чем в тригонометрической форме, но всё же иногда встречается и поэтому, о ней необходимо знать хотя бы самое основное.
Пусть . Если число записать в тригонометрической форме , а потом применить формулу Эйлера , где – любое действительное число, получим так званую показательную форму комплексного числа:
.
Такая форма записи чисел позволяет использовать свойства экспоненты и поэтому удобна для разных преобразований.
Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел: если
, тогда
, ;
, где – целое.
Примеры решений
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 1″]
Задача
Записать в тригонометрической форме следующие числа: 1) , 2) , 3) .
Решение
1)
2) .
3) .
Ответ
1) .
2) .
3) .
[/stextbox]
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 2″]
Задача
Используя тригонометрическую форму, вычислить произведение чисел . Выяснить геометрическое содержание операции множества этих чисел.
Решение
, = ; , = ;
.
С геометрической точки зрения были выполнены следующие преобразования:
1) поворот вектора на угол – результат поворота;
2) сжатие (без изменения направления) вектора в два раза – результат умножения.
При помощи рисунка 3 в данном случае легко проверить, что .
Рис. 3
Ответ
Произведение чисел .
[/stextbox]
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 3″]
Задача
Записать в показательной форме число .
Решение
, .
Ответ
.
[/stextbox]
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 4″]
Задача
Используя показательную форму чисел , , . Вычислить приблизительно ( все вычисления выполнять с четырьмя знаками после запятой). Для контроля найти точно значение , выполняя вычисления в алгебраической форме.
Решение
Находим квадраты модулей и аргументы (в градусах) данных чисел: , , ;
,
,
.
Выполняя действия над числами в показательной форме, получаем:
.
К алгебраической форме записи числа переходим при помощи формулы Эйлера:
.
Контроль
Выполняем действия в алгебраической форме:
.
[/stextbox]