Что такое эллипс и фокусное расстояние

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна 2a\quad{(a > 0)}.

Обозначим фокусы эллипса F_{1} и F_{2}. Допустим, что расстояние F_{1}{F_{2}} = 2c – фокусное расстояние.

Эллипс

Рис. 1

F_{1}, F_{2} – фокусы .

F_{1} = (c, 0); F_{2} = (- c ; 0),

c – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема:

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

a^2 = b^2 + c^2

 Если точка M находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r_{1} + r_{2} = 2 * \sqrt{b^2 + c^2} (теорема Пифагора). Если же точка M находится на пересечении его с горизонтальной осью, r_1} + r_{2} = a - c + a + c. Так как по определению сумма r_{1} + r_2} – постоянная величина, то приравнивая получается:

a^2 = b^2 + c^2\to{r_{1} + r_{2} = 2a.

Уравнение эллипса

Уравнение элиппса бывает двух видов:

  1. Каноническое уравнение эллипса.
  2. Параметрическое уравнение эллипса.

Сначала рассмотрим каноническое уравнение эллипса:

Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa O в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипс описывается уравнением:

1 = {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}}

Если центр эллипсa O смещен в точку с координатами (x_{0}, y_{0}) тогда уравнение:

1 = {(x - x_{0})^2\over{a^2}} +  {(y - y_{0})^2\over{b^2}}

Чтобы получить каноническое уравнение эллипса, разместим F_{1} и F_{2} на оси OX симметричной к началу координат. Тогда у фокусов будут такие координаты F_{2}(-c, 0) и F_{2}(c, 0) (см. рис. 2).

Пусть M(x, y) – произвольная точка эллипса. Обозначим через r_{2} и r_{1} – расстояние от точки M к фокусам. Согласно с определением эллипса:

r_{1} + r_{2} = 2a

(1)

Уравнение эллипса

Рис. 2

Подставим в (1) r_{1} = F_{1}M = \sqrt{(x - c)^2 + (y - 0)^2}, r_{2} = \sqrt{(x + c)^2 + y^2} и освободимся от иррациональности, подняв обе части к квадрату, получим:

r_{2} = 2a - r_{1}\to\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x - c)^2 + y^2}}\to{x^2 + 2cx + c^2 + y^2} = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2) + y^2} + x^2 - 2cx + c^2 + y^2\to{4a}\sqrt{(x - c^2 + y^2} = 4a^2 - 4cx\arrowvert:4

a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} =a^2 - cx

 (подносим к квадрату обе части): \to{a^2x^2 - 2ca^2x + a^2c^2 + a^2y^2} = {a^4 - 2ca^2x + c^2x^2\to{(a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)\arrowvert:a^2(a^2 - c^2),

{x^2\over{a^2}} + {y^2\over{a^2 - c^2}} = 1

Обозначим: a^2 - c^2 = b^2, получаем каноническое уравнение эллипса:

{x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = {1}

(2)

Отметим, что по известному свойству треугольника (сумма двух сторон  больше третьей) из \Delta{F_{1}}MF_{2} у нас получается F_{2}M + F_{1}M > F_{1}F_{2}\to{r_{1} + r_{2}} > 2c. Так как r_{1} + r_{2} = 2a, тогда 2a > 2c\to{a >c}, и поэтому b^2 = a^2 - c^2 >0.

Для построения эллипса обратим внимание, что если точка M_{1}(x, y) принадлежит эллипсу, то есть удовлетворяет уравнение (2), тогда точки M_{2}(-x, y), M_{3}(-x, -y), M_{4}(x, -y) тоже удовлетворяют это уравнение: из

{x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = 1\to{(\pm{x})^2\over{a^2}} + {(\pm{y})^2\over{b^2}} = {1}.

Точки M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4} – расположены симметрично относительно осей координат. Значит, эллипс – фигура, симметричная относительно координатных осей. Поэтому достаточно построить график в первой четверти, а тогда симметрично продолжить его.

Из уравнения (2) находим y = \pm{{b}\over{a}}\sqrt{a^2 - x^2, для первой четверти {y} = {b\over{a}}\sqrt{a^2 - x^2}.

Если y = 0, тогда x = a. Если же x = 0, тогда y = b. Точки A_{1}(a, 0) и B_{1}(0, b), а также симметричные с ними A_{2}(-a, 0), B_{2}(0, -b) – вершины эллипса, точка O(0, 0) – центр эллипса, A_{1}A_{2} = 2a большая ось, B_{1}B_{2} = 2b – малая ось эллипса.

Если M\in первой четверти, тогда из y = {b\over{a}}\sqrt{a^2 - x^2 получается, что при возрастании x от 0 к a значение y падает от b к 0. (рис. 3)

Параметрическое уравнение выглядит так:

\left\{ \begin{aligned} x = a{cos}\alpha\\ y = b{sin}\alpha \end{aligned}\quad {0\leq\alpha < 2\pi \right

Основные свойства эллипса

Рассмотрим основные свойства эллипса, которые необходимы для решения многих задач.

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом r_{1} равен углу между касательной и фокальным радиусом r_{2}.

2. Уравнение касательной к эллипсу в точке M с координатами (x_{M}, y_{M}):

1 = {x x_{M}\over{a^{2}}} + {y y_{M}\over{b^{2}}}.

3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, который соединяет середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда проходит через середину (центр) эллипсa. (При помощи данного свойства можно построить эллипс при помощи циркуля и линейка, а также найти центр эллипса).

4. Эволюта эллипсa – это астероида, которая растянута вдоль короткой оси.

5. Если вписать эллипс с фокусами F_{1} и F_{2} у треугольника ABC, тогда выполняется соотношение:

{1} = {{\overline{F_{1}A} * \overline{F_{2}A}}\over{\overline{CA} * \overline{AB}}} + {{\overline{F_{1}B} * \overline{F_{2}B}}\over{\overline{AB} * \overline{BC}}} + {{\overline{F_{1}C} * \overline{F_{2}C}}\over{\overline{BC} * \overline{CA}}}

Эксцентриситет эллипса

Определение
Эксентриситет эллипса – это величина отношения межфокусного расстояния к большей оси и после сокращения на 2 обозначается \varepsilon = {c\over{a}}

Значения эксентриситета характеризует степень “сплющенность” эллипса. Если a = b =R, тогда c = {\sqrt{a^2 + b^2}} = 0\to{\varepsilon = 0} – получается круг. Если же b = 0, тогда \varepsilon = 1 – эллипс превращается в отрезок. В некоторых случаях 0 < \varepsilon < 1. Для фокальных радиусов приведём без доказательства такие формулы:

\left\{ \begin{aligned} r_{1} = a - \varepsilon{x},\\ r_{2} = a + \varepsilon, \end{aligned} \quad{x\in[-a, a]. \right

Эксцентриситет

 Рис. 3

Эллипс можно построить механическим способом. Из канонического уравнения нужно найти полуоси a и b, тогда вычислим c = {\sqrt{a^2 + b^2}} – полуфокусное расстояние.

Строим фокусы F_{1} и F_{2} на расстоянии один от другого 2c Концы не растянутой нити длиной 2a закрепляем в точках F_{1} и F_{2}. Натягивая остриём карандаша нитку, водим остриём по плоскости таким образом, чтобы нитка скользила по острию. Карандаш при этом опишет полуось. Оттягивая нить в противоположную сторону, начертим вторую половину эллипса.

Примеры решения задач

Пример 1

Задача

Задан эллипс уравнением {x^2\over{25}} + {y^2\over{9}} = 1 и точки M_{0}(4; 1,8), M_{1}(3; 2,4).  Необходимо:

  1. убедиться, что точки M_{0} и M_{1} лежат на эллипсе;
  2. найти полуоси эллипса и координаты его фокусов;
  3. найти расстояние от точки M_{0} к фокусам;
  4. убедиться, что сумма этих расстояний равна длине большой оси;
  5. найти эксентриситет эллипса.

Решение

1. Подставим координаты x = 4 y = 1,8 точки M_{0} в левую часть уравнения эллипса:

{x^2\over{25}} + {y^2\over{9}} = {4^2\over25}} + {1,8 * 1,8\over{9}} = {16\over25}} + {36\over{100}} = {16\over{25}} + {9\over25}} = 1 – точка M_{0} лежит на эллипсе. Аналогично для M_{1}(3; 2,4):

{9\over{25}} + {2*4 * 2,4\over{9}} = {9\over{25}} + 0,64 = {9\over{25}} + {64\over{100}} = {9 + 16\over{25}} = 1 точка M_{1} лежит на эллипсе.

2. С канонического {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = {1} и данного уравнения {x^2\over{25}} + {y^2\over{9}} = 1 эллипса выходит: a^2 = {25},\quad{b^2 = 9}\to{a = 5, b = 3}. Из равенства b^2 = a^2 - c^2 > 0 получается:

b^2 = a^2 - c^2\to {c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9} = {16}\to{c = 4} – полуфокусное расстояние. Координаты фокусов F_{1}(4; 0) и F_{2}(-4; 0).

3.  Найдём фокальные радиусы точки M_{0}:

r_{2} = F_{2}M_{0} = \sqrt{(4 - (-4))^2 + 1,8^2} = \sqrt{64 + 3,24} = \sqrt{67,24} = 8,2

r_{1} = F_{1}M_{0} = \sqrt{(4 - 4)^2 + 1,8^2} = 1,8.

4. Найдём сумму r_{1} + r_{2} = 1, 8 + 8.2 = 10 = 2 * 5 = 2a, что отвечает определению эллипса.

5. Эксцентриситет находится по формуле \varepsilon = {c\over{a}} = {4\over{5}} = 0.8.

Пример 2

Задача

Найти оси, вершины и фокусы эллипса 169x^2 + 25y^2 - 4225 = 0

Решение

Сведём обычное уравнение к каноническому:

169x^2 + 25y^2 - 4225 = 0\to{x^2\over{25}} + {y^2\over{169}} = 1

a^2 = 25, b^2 = 169\to{a = 5, b = 13}. Вершины эллипса в точках A_{1}(5, 0), B_{1}(0, 13), A_{2}(-5, 0), B_{2}(0, -13). Строим вершины на координатных осях  и соединяем плавной линией (см. рис. 2). Так как в данном случае b = 13 больше, чем a = 5, то эллипс, который вытянут вдоль оси OY, находим полуфокусное расстояние c = \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12.

Фокусы в точках F_{1}(0, 12) и F_{2}(0, -12). (см. рис. 3)

Уравнение эллипса

Рис. 4

 

Пример 3

Найти оси, вершины и фокусы эллипса 25x^2 + 144y^2 = 3600\quad{:}\arrowvert\to{25x^2\over{3600}} + {144y^2\over{3600}} = {1}\to{x^2\over{144}} + {y^2\over{25}} = {1} или {X^2\over{12^2}} + {y^2\over{5^2}} = {1}. Построить эллипс.

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (2), у нас получается:

a^2 = 12^2, b^2 = 5^2\to{a = 12, b = 5}. Откуда находим оси эллипса: 2a = 24, 2b = 10 и координаты вершин: A_{1}(12, 0), A_{2} (-12, 0), B_{1}(0, 5), B_{2}(0, -5). Дальше из формулы:

b^2 = a^2 - c^2\to{c^2 = a^2 - b^2 = 144 - 25 = 119}\to{c = \sqrt{119}}\approx{10,91}. Значит, фокусами эллипса есть точки: F_{1}(\sqrt{119}, 0) и F_{2}(-\sqrt{119}, 0). Для построения эллипса отложим на осях OX и OY вершины A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2} соответственно  соединим их плавной линией, (см. задачу 1).

Замечание! Если в каноническом уравнении {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = {1} большей полуосью будет b > a, тогда фокусы эллипса будут расположены на оси OY и тогда c = \sqrt{b^2 - a^2}.

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

7592

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также