Эллипс – фокусное расстояние, уравнение, свойства и эксцентриситет фигуры

Эллипс – это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки до двух точек равняется постоянной величине.

Елена
0 16767
Помощь в написании работы

Что такое эллипс и фокусное расстояние

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна 2a\quad{(a > 0)}.

Обозначим фокусы эллипса F_{1} и F_{2}. Допустим, что расстояние F_{1}{F_{2}} = 2c – фокусное расстояние.

Эллипс

Рис. 1

F_{1}, F_{2} – фокусы .

F_{1} = (c, 0); F_{2} = (- c ; 0),

c – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема:

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

a^2 = b^2 + c^2

 Если точка M находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r_{1} + r_{2} = 2 * \sqrt{b^2 + c^2} (теорема Пифагора). Если же точка M находится на пересечении его с горизонтальной осью, r_1} + r_{2} = a - c + a + c. Так как по определению сумма r_{1} + r_2} – постоянная величина, то приравнивая получается:

a^2 = b^2 + c^2\to{r_{1} + r_{2} = 2a.

Уравнение эллипса

Уравнение элиппса бывает двух видов:

  1. Каноническое уравнение эллипса.
  2. Параметрическое уравнение эллипса.

Сначала рассмотрим каноническое уравнение эллипса:

Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa O в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипс описывается уравнением:

1 = {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}}

Если центр эллипсa O смещен в точку с координатами (x_{0}, y_{0}) тогда уравнение:

1 = {(x - x_{0})^2\over{a^2}} +  {(y - y_{0})^2\over{b^2}}

Чтобы получить каноническое уравнение эллипса, разместим F_{1} и F_{2} на оси OX симметричной к началу координат. Тогда у фокусов будут такие координаты F_{2}(-c, 0) и F_{2}(c, 0) (см. рис. 2).

Пусть M(x, y) – произвольная точка эллипса. Обозначим через r_{2} и r_{1} – расстояние от точки M к фокусам. Согласно с определением эллипса:

r_{1} + r_{2} = 2a

(1)

Уравнение эллипса

Рис. 2

Подставим в (1) r_{1} = F_{1}M = \sqrt{(x - c)^2 + (y - 0)^2}, r_{2} = \sqrt{(x + c)^2 + y^2} и освободимся от иррациональности, подняв обе части к квадрату, получим:

r_{2} = 2a - r_{1}\to\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x - c)^2 + y^2}}\to{x^2 + 2cx + c^2 + y^2} = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2) + y^2} + x^2 - 2cx + c^2 + y^2\to{4a}\sqrt{(x - c^2 + y^2} = 4a^2 - 4cx\arrowvert:4

a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} =a^2 - cx

 (подносим к квадрату обе части): \to{a^2x^2 - 2ca^2x + a^2c^2 + a^2y^2} = {a^4 - 2ca^2x + c^2x^2\to{(a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)\arrowvert:a^2(a^2 - c^2),

{x^2\over{a^2}} + {y^2\over{a^2 - c^2}} = 1

Обозначим: a^2 - c^2 = b^2, получаем каноническое уравнение эллипса:

{x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = {1}

(2)

Отметим, что по известному свойству треугольника (сумма двух сторон  больше третьей) из \Delta{F_{1}}MF_{2} у нас получается F_{2}M + F_{1}M > F_{1}F_{2}\to{r_{1} + r_{2}} > 2c. Так как r_{1} + r_{2} = 2a, тогда 2a > 2c\to{a >c}, и поэтому b^2 = a^2 - c^2 >0.

Для построения эллипса обратим внимание, что если точка M_{1}(x, y) принадлежит эллипсу, то есть удовлетворяет уравнение (2), тогда точки M_{2}(-x, y), M_{3}(-x, -y), M_{4}(x, -y) тоже удовлетворяют это уравнение: из

{x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = 1\to{(\pm{x})^2\over{a^2}} + {(\pm{y})^2\over{b^2}} = {1}.

Точки M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4} – расположены симметрично относительно осей координат. Значит, эллипс – фигура, симметричная относительно координатных осей. Поэтому достаточно построить график в первой четверти, а тогда симметрично продолжить его.

Из уравнения (2) находим y = \pm{{b}\over{a}}\sqrt{a^2 - x^2, для первой четверти {y} = {b\over{a}}\sqrt{a^2 - x^2}.

Если y = 0, тогда x = a. Если же x = 0, тогда y = b. Точки A_{1}(a, 0) и B_{1}(0, b), а также симметричные с ними A_{2}(-a, 0), B_{2}(0, -b) – вершины эллипса, точка O(0, 0) – центр эллипса, A_{1}A_{2} = 2a большая ось, B_{1}B_{2} = 2b – малая ось эллипса.

Если M\in первой четверти, тогда из y = {b\over{a}}\sqrt{a^2 - x^2 получается, что при возрастании x от 0 к a значение y падает от b к 0. (рис. 3)

Параметрическое уравнение выглядит так:

\left\{ \begin{aligned} x = a{cos}\alpha\\ y = b{sin}\alpha \end{aligned}\quad {0\leq\alpha < 2\pi \right

Основные свойства эллипса

Рассмотрим основные свойства эллипса, которые необходимы для решения многих задач.

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом r_{1} равен углу между касательной и фокальным радиусом r_{2}.

2. Уравнение касательной к эллипсу в точке M с координатами (x_{M}, y_{M}):

1 = {x x_{M}\over{a^{2}}} + {y y_{M}\over{b^{2}}}.

3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, который соединяет середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда проходит через середину (центр) эллипсa. (При помощи данного свойства можно построить эллипс при помощи циркуля и линейка, а также найти центр эллипса).

4. Эволюта эллипсa – это астероида, которая растянута вдоль короткой оси.

5. Если вписать эллипс с фокусами F_{1} и F_{2} у треугольника ABC, тогда выполняется соотношение:

{1} = {{\overline{F_{1}A} * \overline{F_{2}A}}\over{\overline{CA} * \overline{AB}}} + {{\overline{F_{1}B} * \overline{F_{2}B}}\over{\overline{AB} * \overline{BC}}} + {{\overline{F_{1}C} * \overline{F_{2}C}}\over{\overline{BC} * \overline{CA}}}

Эксцентриситет эллипса

Определение
Эксентриситет эллипса – это величина отношения межфокусного расстояния к большей оси и после сокращения на 2 обозначается \varepsilon = {c\over{a}}

Значения эксентриситета характеризует степень “сплющенность” эллипса. Если a = b =R, тогда c = {\sqrt{a^2 + b^2}} = 0\to{\varepsilon = 0} – получается круг. Если же b = 0, тогда \varepsilon = 1 – эллипс превращается в отрезок. В некоторых случаях 0 < \varepsilon < 1. Для фокальных радиусов приведём без доказательства такие формулы:

\left\{ \begin{aligned} r_{1} = a - \varepsilon{x},\\ r_{2} = a + \varepsilon, \end{aligned} \quad{x\in[-a, a]. \right

Эксцентриситет

 Рис. 3

Эллипс можно построить механическим способом. Из канонического уравнения нужно найти полуоси a и b, тогда вычислим c = {\sqrt{a^2 + b^2}} – полуфокусное расстояние.

Строим фокусы F_{1} и F_{2} на расстоянии один от другого 2c Концы не растянутой нити длиной 2a закрепляем в точках F_{1} и F_{2}. Натягивая остриём карандаша нитку, водим остриём по плоскости таким образом, чтобы нитка скользила по острию. Карандаш при этом опишет полуось. Оттягивая нить в противоположную сторону, начертим вторую половину эллипса.

Примеры решения задач

Пример 1

Задача

Задан эллипс уравнением {x^2\over{25}} + {y^2\over{9}} = 1 и точки M_{0}(4; 1,8), M_{1}(3; 2,4).  Необходимо:

  1. убедиться, что точки M_{0} и M_{1} лежат на эллипсе;
  2. найти полуоси эллипса и координаты его фокусов;
  3. найти расстояние от точки M_{0} к фокусам;
  4. убедиться, что сумма этих расстояний равна длине большой оси;
  5. найти эксентриситет эллипса.

Решение

1. Подставим координаты x = 4 y = 1,8 точки M_{0} в левую часть уравнения эллипса:

{x^2\over{25}} + {y^2\over{9}} = {4^2\over25}} + {1,8 * 1,8\over{9}} = {16\over25}} + {36\over{100}} = {16\over{25}} + {9\over25}} = 1 – точка M_{0} лежит на эллипсе. Аналогично для M_{1}(3; 2,4):

{9\over{25}} + {2*4 * 2,4\over{9}} = {9\over{25}} + 0,64 = {9\over{25}} + {64\over{100}} = {9 + 16\over{25}} = 1 точка M_{1} лежит на эллипсе.

2. С канонического {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = {1} и данного уравнения {x^2\over{25}} + {y^2\over{9}} = 1 эллипса выходит: a^2 = {25},\quad{b^2 = 9}\to{a = 5, b = 3}. Из равенства b^2 = a^2 - c^2 > 0 получается:

b^2 = a^2 - c^2\to {c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9} = {16}\to{c = 4} – полуфокусное расстояние. Координаты фокусов F_{1}(4; 0) и F_{2}(-4; 0).

3.  Найдём фокальные радиусы точки M_{0}:

r_{2} = F_{2}M_{0} = \sqrt{(4 - (-4))^2 + 1,8^2} = \sqrt{64 + 3,24} = \sqrt{67,24} = 8,2

r_{1} = F_{1}M_{0} = \sqrt{(4 - 4)^2 + 1,8^2} = 1,8.

4. Найдём сумму r_{1} + r_{2} = 1, 8 + 8.2 = 10 = 2 * 5 = 2a, что отвечает определению эллипса.

5. Эксцентриситет находится по формуле \varepsilon = {c\over{a}} = {4\over{5}} = 0.8.

Пример 2

Задача

Найти оси, вершины и фокусы эллипса 169x^2 + 25y^2 - 4225 = 0

Решение

Сведём обычное уравнение к каноническому:

169x^2 + 25y^2 - 4225 = 0\to{x^2\over{25}} + {y^2\over{169}} = 1

a^2 = 25, b^2 = 169\to{a = 5, b = 13}. Вершины эллипса в точках A_{1}(5, 0), B_{1}(0, 13), A_{2}(-5, 0), B_{2}(0, -13). Строим вершины на координатных осях  и соединяем плавной линией (см. рис. 2). Так как в данном случае b = 13 больше, чем a = 5, то эллипс, который вытянут вдоль оси OY, находим полуфокусное расстояние c = \sqrt{b^2 - a^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12.

Фокусы в точках F_{1}(0, 12) и F_{2}(0, -12). (см. рис. 3)

Уравнение эллипса

Рис. 4

 

Пример 3

Найти оси, вершины и фокусы эллипса 25x^2 + 144y^2 = 3600\quad{:}\arrowvert\to{25x^2\over{3600}} + {144y^2\over{3600}} = {1}\to{x^2\over{144}} + {y^2\over{25}} = {1} или {X^2\over{12^2}} + {y^2\over{5^2}} = {1}. Построить эллипс.

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (2), у нас получается:

a^2 = 12^2, b^2 = 5^2\to{a = 12, b = 5}. Откуда находим оси эллипса: 2a = 24, 2b = 10 и координаты вершин: A_{1}(12, 0), A_{2} (-12, 0), B_{1}(0, 5), B_{2}(0, -5). Дальше из формулы:

b^2 = a^2 - c^2\to{c^2 = a^2 - b^2 = 144 - 25 = 119}\to{c = \sqrt{119}}\approx{10,91}. Значит, фокусами эллипса есть точки: F_{1}(\sqrt{119}, 0) и F_{2}(-\sqrt{119}, 0). Для построения эллипса отложим на осях OX и OY вершины A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2} соответственно  соединим их плавной линией, (см. задачу 1).

Замечание! Если в каноническом уравнении {x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = {1} большей полуосью будет b > a, тогда фокусы эллипса будут расположены на оси OY и тогда c = \sqrt{b^2 - a^2}.

Автор статьи

Елена Вечоркина
Елена Вечоркина

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *