Два произвольных линейных пространства V и 
над одним и тем же полем 
называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что если векторам 
отвечают соответственные вектора 
, то вектору 
отвечает вектор 
, а вектору 
при 
отвечает вектор 
.
Свойства изоморфных пространств.
10. Нулевому элементу V соответствует нулевой элемент и наоборот.
Док-во: Если 
.
20. Если элементам 
соответствуют 
, то линейная комбинация векторов равна нулю V, т.е. 
линейная комбинация 
с теми же коэффициентами 
равна нулю, т.е. 
.
Док-во следует из 10.
30. Если V и изоморфны, то максимальное число линейно независимых векторов в каждом из пространств одно и тоже, т.е. два изоморфных пространства имеют одну и туже размерность.
40. Пространства разных размерностей не могут быть изоморфными.
Теорема: Любые два n-мерных линейных пространства V и над одним и тем же полем 
изоморфны.
Док-во. Выберем в V базис 
− базис 
Каждому элементу 
, поставим в соответствие элемент 
с теми же координатами 
в базисе 
.
Однако это соответствие взаимнооднозначно, т.к. 
имеет единственным образом определенные координаты 
, которые в свою очередь, определяют единственный элемент 
.
В силу равноправности V и , 
соответствует единственный 
. Легко видеть, что если 
в силу введенного соответствия.
Т.о., все линейные пространства данной размерности n-ная полем изоморфны, т.е. их свойства, связанные с линейными операциями неразличимы.