О чем статья
Понятие комплексного числа
Комплексные числа – это мнимые числа или выражение такого вида, как 
, где 
и 
– действительные числа (ещё про них говорят вещественные числа), а 
– это мнимая единица, символ, квадрат которого равен 1 
. Число – действительная часть, – мнимая часть комплексного числа 
. Если 
тогда вместо 
пишется просто . Из вышесказанного понятно, что действительные числа – частный случай комплексных чисел.
С комплексными числами можно проводить разные арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление.
Рассмотрим уравнение 
. Его можно отнести к возведённому квадратному уравнению 
., корни которого находятся по формуле 
.
Для данного случая получается:
.
Среди действительных чисел выражение 
не имеет смысла, то есть не есть действительным числом. Запишем формально 
.
Символ 
принято обозначать буквой , то есть 
. Его называют мнимой единицей.
Корни нашего уравнения теперь запишутся:
.
Проверка:
Для 
имеем:
.
Аналогично для 
.
Значит, введение символа , где 
помогает нам записывать выражение для корней квадратного уравнения и тогда, когда дискриминант отрицательный.
Алгебраические формы комплексного числа
[stextbox id=”info” defcaption=”true”]Алгебраические формы комплексного числа – это комплексное число 
в виде , где и – действительные числа; число называется действительной, а – мнимой частью комплексного числа.[/stextbox]
Обозначения: 
; символ формально определяется равенством 
называется мнимой единицей.
Два комплексных числа называются равными, если в соответствии равные их действительные и мнимые числа.
Ниже будут рассмотрены более подробно основные операции над комплексными числами в алгебраической форме.
Дальше договоримся выражения 
и т. д. считать комплексными числами, записанными в алгебраической форме, значит, 
и т. п. приобретаются только действительные значения.
Пусть дано число . Если 
, тогда – действительное число: 
; если 
тогда – это мнимое число: 
Сложение и вычитание комплексных чисел
;
.
Допустим:
.
Умножение комплексных чисел
Умножение комплексных чисел выполняется согласно правилу (считая, что ):
.
Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел согласно правилу (при условии 
.
= 
= 
= 
= 
= 
.
Сопряженные комплексные числа
Сопряженные числа – это числа и 
. Таким образом, если 
и 
сопряженные числа, тогда 
и 
.
Очевидно, если 
– действительное число, тогда 
; если 
– чисто мнимое число, тогда 
. Наоборот, если и 
, тогда соответственно и – действительные и чисто мнимые числа.
Модуль комплексного числа
Модуль числа 
называется число 
.
Модуль действительного числа равняется его абсолютной величине. Правда, если 
, тогда 
.
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Примеры решения задач
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 1″]
Задача
Решить уравнение 
, где 
– действительные числа.
Решение
Из уравнения комплексных чисел получается: 
, 
. Решая эту систему, у нас получается 
, 
.
Ответ
, .
[/stextbox]
Рассмотрим на примере сложение и вычитание комплексных чисел.
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 2″]
Задача
Решить уравнение: 
Решение
Согласно формуле на сложение и отнимание комплексных чисел – .
Ответ
[/stextbox]
Рассмотрим на примере умножение комплексных чисел.
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 3″]
Задача
Найти произведение комплексных чисел 
и 
Решение
Ответ
[/stextbox]
Делить комплексные числа необходимо исключительно ориентируясь на формулу. Покажем на примере, как находить частное.
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 4″]
Задача
Найти частное: 
Решение
.
Ответ
.
[/stextbox]