О чем статья
Понятие комплексного числа
Комплексные числа – это мнимые числа или выражение такого вида, как , где и – действительные числа (ещё про них говорят вещественные числа), а – это мнимая единица, символ, квадрат которого равен 1 . Число – действительная часть, – мнимая часть комплексного числа . Если тогда вместо пишется просто . Из вышесказанного понятно, что действительные числа – частный случай комплексных чисел.
С комплексными числами можно проводить разные арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление.
Рассмотрим уравнение . Его можно отнести к возведённому квадратному уравнению ., корни которого находятся по формуле .
Для данного случая получается:
.
Среди действительных чисел выражение не имеет смысла, то есть не есть действительным числом. Запишем формально .
Символ принято обозначать буквой , то есть . Его называют мнимой единицей.
Корни нашего уравнения теперь запишутся:
.
Проверка:
Для имеем:
.
Аналогично для .
Значит, введение символа , где помогает нам записывать выражение для корней квадратного уравнения и тогда, когда дискриминант отрицательный.
Алгебраические формы комплексного числа
[stextbox id=”info” defcaption=”true”]Алгебраические формы комплексного числа – это комплексное число в виде , где и – действительные числа; число называется действительной, а – мнимой частью комплексного числа.[/stextbox]
Обозначения: ; символ формально определяется равенством называется мнимой единицей.
Два комплексных числа называются равными, если в соответствии равные их действительные и мнимые числа.
Ниже будут рассмотрены более подробно основные операции над комплексными числами в алгебраической форме.
Дальше договоримся выражения и т. д. считать комплексными числами, записанными в алгебраической форме, значит, и т. п. приобретаются только действительные значения.
Пусть дано число . Если , тогда – действительное число: ; если тогда – это мнимое число:
Сложение и вычитание комплексных чисел
;
.
Допустим:
.
Умножение комплексных чисел
Умножение комплексных чисел выполняется согласно правилу (считая, что ):
.
Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел согласно правилу (при условии .
= = = = = .
Сопряженные комплексные числа
Сопряженные числа – это числа и . Таким образом, если и сопряженные числа, тогда и .
Очевидно, если – действительное число, тогда ; если – чисто мнимое число, тогда . Наоборот, если и , тогда соответственно и – действительные и чисто мнимые числа.
Модуль комплексного числа
Модуль числа называется число .
Модуль действительного числа равняется его абсолютной величине. Правда, если , тогда .
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Примеры решения задач
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 1″]
Задача
Решить уравнение , где – действительные числа.
Решение
Из уравнения комплексных чисел получается: , . Решая эту систему, у нас получается , .
Ответ
, .
[/stextbox]
Рассмотрим на примере сложение и вычитание комплексных чисел.
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 2″]
Задача
Решить уравнение:
Решение
Согласно формуле на сложение и отнимание комплексных чисел – .
Ответ
[/stextbox]
Рассмотрим на примере умножение комплексных чисел.
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 3″]
Задача
Найти произведение комплексных чисел и
Решение
Ответ
[/stextbox]
Делить комплексные числа необходимо исключительно ориентируясь на формулу. Покажем на примере, как находить частное.
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 4″]
Задача
Найти частное:
Решение
.
Ответ
.
[/stextbox]