Примеры решений дифференцирования параметрической функции с ответами

Задание

Найти производную функции:

$$\begin{cases} x=a \cos t \\ y=b\sin t \end{cases}$$

Решение

Найдём производные каждой строки:

$$x’_{t}=-a\sin t,

y’_{t}=b\cos t$$

Применив формулу из определения, найдем производную функции по параметру t:

$$y’_{x}=\frac{dy}{dx}=-\frac{b \cos t}{a \sin t}=-\frac{b}{a} \cdot ctg t$$

Ответ:

$$-\frac{b}{a} ctg t$$

Задание

Найти производную функции:

$$\begin{cases} x=t^2+1 \\ y=t \end{cases}$$

Решение

Также найдём производную каждой переменной:

$$x’_{t}=2t,

y’_{t}=1$$

И затем согласно правилу, найдём производную функции:

$$y’_{x}=\frac{1}{2t}$$

Ответ:

$$y’_{x}=\frac{1}{2t}$$

Задание

Вычислить производную параметрической функции:

$$\begin{cases} y=\cos t \\ x=\sqrt t \end{cases}$$

Решение

Согласно правилу найдём производные каждой переменной по параметру t :

$$y’_{t}=(\cos t)’=-\sin t$$

$$x’_{t}=(\sqrt t)’=\frac{1}{2\sqrt t}$$

Воспользуемся формулой и получим:

$$y’_{x}=\frac{-\sin t}{\frac{1}{2\sqrt t}}=-\sin t \cdot 2\sqrt t$$

Но это ещё не всё. Чтобы получить производную функции, нужно «избавиться» от параметра:

$$x=\sqrt t \Rightarrow$$

$$t=x^2$$

Таким образом производная функции будет равна:

$$y’_{x}=-\sin t \cdot 2\sqrt t=-\sin x^2 \cdot 2x$$

Однако эту задачу можно было решить, упростив условие сразу:

$$\begin{cases} y=\cos t \\ x=\sqrt t \end{cases}\Rightarrow t=x^2\Rightarrow \begin{cases} y=\cos x^2 \\ x=\sqrt t \end{cases}$$

Находим производную переменной y согласно правилу дифференцирования сложных функций.

Ответ

$$y’_{x}=-\sin x^2\cdot 2x$$

Задание

Вычислить производную параметрической функции:

$$\begin{cases} x=e^{-t} \\ y=e^{3t} \end{cases}$$

Решение

Также применим правило и найдём производные переменных по параметру t

$$x’_{t}=(e^{-t})’=-e^{-t}$$

$$y’_{t}=(e^{3t})’=3e^{3t}$$

Таким образом, производная функции по параметру t равна:

$$y’_{x}=\frac{3e^{3t}}{-e^{-t}}=\frac{3e^{3t}}{\frac{1}{-e^{t}}}=3e^{3t}\cdot (-e^{t})=-3e^{4t}$$

Найдем значение t:

$$x=e^{-t}=\left(\frac{1}{e} \right )^t$$

$$\ln(x)=t \cdot \ln \left(\frac{1}{e} \right )=t \cdot (-1)$$

$$t = -\ln(x)$$

Отсюда найдём производную функции:

$$y’_{t}=3e^{3t}=3e^{-3\ln(x)}$$

Ответ

$$y’_{x} = 3e^{-3\ln(x)}$$

Задание

Найти производную первого порядка:

$$\begin{cases} x=\sin 2t \\ y=cos^2 t \end{cases}$$

Решение

Имеем сложные функции. Применим правило дифференцирования сложных функций и получим:

$$y’_{t}=2\cos t \cdot (-\sin t)$$

$$x’_{t}=\cos 2t \cdot (2t)’=2\cos 2t$$

Найдём производную функции по параметру t

$$y’_{x}=\frac{2\cos t \cdot (-\sin t)}{2\cos 2t}=-\frac{\sin 2t}{2 \cos 2t}=-\frac{1}{2}tg 2t$$

Ответ

$$y’_{x}=-\frac{1}{2}tg 2t$$

Задание

Вычислить производную параметрической функции:

$$\begin{cases} x=\ln t \\ y=t^3 \end{cases}$$

Решение

Здесь мы взяли логарифмическую функцию, однако решение такое же простое:

$$y’_{t}=3t^2$$

$$x’_t=\frac{1}{t}$$

Подставим значения в формулу и получим производную функции:

$$y’_{x}=\frac{3t^2}{\frac{1}{t}}=3t^3$$

Ответ

$$y’_{x}=3t^3$$

Задание

Найти производную от функции, заданной параметрически:

$$\begin{cases} x=e^t \cos t \\ y=e^t \sin t \end{cases}$$

Решение

Здесь видим произведение функций. Следовательно, будем пользоваться правилом дифференцирования произведений:

$$y’_{t}=(e^t \cdot \sin t)=(e^t)’ \cdot \sin t + e^t \cdot (\sin t)’=e^t(\sin t + \cos t)$$

$$x’_{t}=(e^t \cdot \cos t)=(e^t)’ \cdot \cos t + e^t \cdot (\cos t)’=e^t(\cos t – \sin t)$$

Так как множитель  присутствует в обеих переменных, мы вынесли его за скобки сразу. Далее применим наше правило дифференцирования параметрических функций: $$y’_{x}=\frac{e^t(\sin t +\cos t)}{e^t(\cos t – \sin t)}=\frac{\sin t +\cos t}{\cos t – \sin t}$$

Ответ

$$y’_{x}=\frac{\sin t +\cos t}{\cos t – \sin t}$$

Задание

Найти производную от функции, заданной параметрически:

$$\begin{cases} x=6 \sin t \cos 4t \\ y=3\cos t- t\sin t \sin t \end{cases}$$

Решение

Применим правило дифференцирования произведения и найдем производную х по параметру t, а затем найдём производную y:

$$x’_{t}=(6\sin t \cos 4t)’=6(\sin t)’\cos 4t + 6 \sin t(\cos 4t)’=6 \cos t \cos 4t – 24\sin t \sin 4t$$

$$y’_{t}=(3 \cos t – t \sin t)’=(3\cos t)’-(t\sin t)’=-3\sin t – ((t)’\sin t+t(\sin t)’)$$ $$ =-3\sin t- \sin t – t \cos t$$

$$y’_{t}=-(4\sin t + t \cos t)$$

Пользуясь формулами преобразования тригонометрических функций, преобразуем производную переменной х:

$$x’_{t}=6 \cdot \frac{1}{2}(\cos 3t +\cos 5t)-24 \cdot \frac {1}{2}(\cos 3t – \cos 5t)=15\cos 5t – 9 \cos 3t$$

Полученные результаты подставим в формулу и найдём производную функции:

$$y’_{x}=\frac{-(4\sin t +t cos t)}{15 \cos 5t – 9\cos 3t}=\frac{-(4\sin t + t \cos t)}{-(9 \cos 3t – 15 \cos 5t)}=\frac{4\sin t +t\cos t}{9\cos 3t – 15 \cos 5t}$$

Ответ

$$y’_{x}=\frac{4\sin t +t\cos t}{9\cos 3t – 15 \cos 5t}$$

Задание

Пользуясь правилом дифференцирования параметрических функций, найти производную функции

$$\begin{cases} x=\ln^2(1-3t) \\ y=\ln(\sin^2 5t) \end{cases}$$

Решение

Применим правило дифференцирования сложной функции и найдём производную переменной х по параметру t:

$$x’_{t}=(\ln^2(1-3t))’=2\ln(1-3t)\cdot(\ln(1-3t))’=2\ln(1-3t)\cdot \frac{1}{1-3t}\cdot (1-3t)’$$ $$ =\frac{2\ln(1-3t)}{1-3t}\cdot(-3)=-\frac{6\ln(1-3t)}{1-3t}$$

Таким же образом найдём производную переменной у по параметру t:

$$y’_{t}=(\ln(\sin^2 5t))’=\frac{1}{\sin^2 5t}\cdot(\sin^25t)’=\frac{2\sin 5t \ cdot (\sin 5t)’ \cdot (5t)’}{\sin^25t}$$ $$=\frac{10\sin 5t \cos 5t}{\sin^2 5t}=\frac{10\cos 5t}{\sin 5t}=10 ctg 5t$$

Вычислим производную функции:

$$y’_{x}=\frac{10 ctg 5t}{-\frac{6\ln(1-3t)}{1-3t}}=\frac{10(1-3t)ctg 5t}{-6\ln(1-3t)}=-\frac {5(1-3t)ctg 5t}{3\ln(1-3t)}$$

Ответ

$$y’_{x}=-\frac {5(1-3t)ctg 5t}{3\ln(1-3t)}$$

Задание

Вычислить производную параметрической функции:

$$\begin{cases} x=3+cos^2t \\ y=ctg^2t-2 \end{cases}$$

Решение

Найдём производную по параметру t переменной x

$$x’_{t}=(3+\cos^2t)’=2\cos t \cdot (\cos t)=-2\cos t\sin t$$

Найдём производную по параметру t переменной y

$$y’_t=(ctg^2-2)’=2ctgt \cdot (ctgt)’=2ctg\left(-\frac{1}{\sin^2 t} \right)=-\frac{2\cos t}{\sin^2t \cdot \sin t}$$

$$y’_t=-\frac{2\cos t}{\sin^3t}$$

Имея полученные результаты, вычислим производную функции:

$$y’_{x}=\frac{-\frac{2\cos t}{\sin^3t}}{-2\cos t \sin t}=\frac{\cos t}{\cos t \sin t \sin^3 t}=\frac{1}{\sin^4 t}$$

Ответ

$$y’_{x}=\frac{1}{\sin^4 t}$$