Примеры решений дифференцирования параметрической функции с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференцирования параметрической функции и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения дифференцирования параметрической функции

Алгоритм

Если Y имеет функциональную зависимость от X с помощью некоей величины t, то такая функция имеет параметрическое представление:

$\begin{cases} y=x(t) \\ y=y(t) \end{cases}$

Производная такой функции будет равна отношению производной у по параметру t к производной x по параметру t:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{y'_{t}}{x'_{t}}$

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решения дифференцирования параметрической функции

Пример 1

Задание

Найти производную функции:

$\begin{cases} x=a \cos t \\ y=b\sin t \end{cases}$

Решение

Найдём производные каждой строки:

$x'_{t}=-a\sin t, y'_{t}=b\cos t$

Применив формулу из определения, найдем производную функции по параметру t:

$y'_{x}=\frac{dy}{dx}=-\frac{b \cos t}{a \sin t}=-\frac{b}{a} \cdot ctg t$

Ответ:

$-\frac{b}{a} ctg t$

Пример 2

Задание

Найти производную функции:

$\begin{cases} x=t^2+1 \\ y=t \end{cases}$

Решение

Также найдём производную каждой переменной:

$x'_{t}=2t, y'_{t}=1$

И затем согласно правилу, найдём производную функции:

$y'_{x}=\frac{1}{2t}$

Ответ:

$y'_{x}=\frac{1}{2t}$

Пример 3

Задание

Вычислить производную параметрической функции:

$\begin{cases} y=\cos t \\ x=\sqrt t \end{cases}$

Решение

Согласно правилу найдём производные каждой переменной по параметру t :

$y'_{t}=(\cos t)'=-\sin t$

$x'_{t}=(\sqrt t)'=\frac{1}{2\sqrt t}$

Воспользуемся формулой и получим:

$y'_{x}=\frac{-\sin t}{\frac{1}{2\sqrt t}}=-\sin t \cdot 2\sqrt t$

Но это ещё не всё. Чтобы получить производную функции, нужно «избавиться» от параметра:

$x=\sqrt t \Rightarrow$

$t=x^2$

Таким образом производная функции будет равна:

$y'_{x}=-\sin t \cdot 2\sqrt t=-\sin x^2 \cdot 2x$

Однако эту задачу можно было решить, упростив условие сразу:

$\begin{cases} y=\cos t \\ x=\sqrt t \end{cases}\Rightarrow t=x^2\Rightarrow \begin{cases} y=\cos x^2 \\ x=\sqrt t \end{cases}$

Находим производную переменной y согласно правилу дифференцирования сложных функций.

Ответ

$y'_{x}=-\sin x^2\cdot 2x$

Пример 4

Задание

Вычислить производную параметрической функции:

$\begin{cases} x=e^{-t} \\ y=e^{3t} \end{cases}$

Решение

Также применим правило и найдём производные переменных по параметру t

$x'_{t}=(e^{-t})'=-e^{-t}$

$y'_{t}=(e^{3t})'=3e^{3t}$

Таким образом, производная функции по параметру t равна:

$y'_{x}=\frac{3e^{3t}}{-e^{-t}}=\frac{3e^{3t}}{\frac{1}{-e^{t}}}=3e^{3t}\cdot (-e^{t})=-3e^{4t}$

Найдем значение t:

$x=e^{-t}=\left(\frac{1}{e} \right )^t$

$\ln(x)=t \cdot \ln \left(\frac{1}{e} \right )=t \cdot (-1)$

$t = -\ln(x)$

Отсюда найдём производную функции:

$y'_{t}=3e^{3t}=3e^{-3\ln(x)}$

Ответ

$y'_{x} = 3e^{-3\ln(x)}$

Пример 5

Задание

Найти производную первого порядка:

$\begin{cases} x=\sin 2t \\ y=cos^2 t \end{cases}$

Решение

Имеем сложные функции. Применим правило дифференцирования сложных функций и получим:

$y'_{t}=2\cos t \cdot (-\sin t)$

$x'_{t}=\cos 2t \cdot (2t)'=2\cos 2t$

Найдём производную функции по параметру t

$y'_{x}=\frac{2\cos t \cdot (-\sin t)}{2\cos 2t}=-\frac{\sin 2t}{2 \cos 2t}=-\frac{1}{2}tg 2t$

Ответ

$y'_{x}=-\frac{1}{2}tg 2t$

Пример 6

Задание

Вычислить производную параметрической функции:

$\begin{cases} x=\ln t \\ y=t^3 \end{cases}$

Решение

Здесь мы взяли логарифмическую функцию, однако решение такое же простое:

$y'_{t}=3t^2$

$x'_t=\frac{1}{t}$

Подставим значения в формулу и получим производную функции:

$y'_{x}=\frac{3t^2}{\frac{1}{t}}=3t^3$

Ответ

$y'_{x}=3t^3$

Пример 7

Задание

Найти производную от функции, заданной параметрически:

$\begin{cases} x=e^t \cos t \\ y=e^t \sin t \end{cases}$

Решение

Здесь видим произведение функций. Следовательно, будем пользоваться правилом дифференцирования произведений:

$y'_{t}=(e^t \cdot \sin t)=(e^t)' \cdot \sin t + e^t \cdot (\sin t)'=e^t(\sin t + \cos t)$

$x'_{t}=(e^t \cdot \cos t)=(e^t)' \cdot \cos t + e^t \cdot (\cos t)'=e^t(\cos t - \sin t)$

Так как множитель присутствует в обеих переменных, мы вынесли его за скобки сразу. Далее применим наше правило дифференцирования параметрических функций:

$y'_{x}=\frac{e^t(\sin t +\cos t)}{e^t(\cos t - \sin t)}=\frac{\sin t +\cos t}{\cos t - \sin t}$

Ответ

$y'_{x}=\frac{\sin t +\cos t}{\cos t - \sin t}$

Пример 8

Задание

Найти производную от функции, заданной параметрически:

$\begin{cases} x=6 \sin t \cos 4t \\ y=3\cos t- t\sin t \sin t \end{cases}$

Решение

Применим правило дифференцирования произведения и найдем производную х по параметру t, а затем найдём производную y:

$x'_{t}=(6\sin t \cos 4t)'=6(\sin t)'\cos 4t + 6 \sin t(\cos 4t)'=6 \cos t \cos 4t - 24\sin t \sin 4t$

$y'_{t}=(3 \cos t - t \sin t)'=(3\cos t)'-(t\sin t)'=-3\sin t - ((t)'\sin t+t(\sin t)')$

$=-3\sin t- \sin t - t \cos t$

$y'_{t}=-(4\sin t + t \cos t)$

Пользуясь формулами преобразования тригонометрических функций, преобразуем производную переменной х:

$x'_{t}=6 \cdot \frac{1}{2}(\cos 3t +\cos 5t)-24 \cdot \frac {1}{2}(\cos 3t - \cos 5t)=15\cos 5t - 9 \cos 3t$

Полученные результаты подставим в формулу и найдём производную функции:

$y'_{x}=\frac{-(4\sin t +t cos t)}{15 \cos 5t - 9\cos 3t}=\frac{-(4\sin t + t \cos t)}{-(9 \cos 3t - 15 \cos 5t)}=\frac{4\sin t +t\cos t}{9\cos 3t - 15 \cos 5t}$