Примеры решений дифференциала функции с ответами

Анатолий Овруцкий 0 82

Простое объяснение принципов решения дифференциала функции и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

 Алгоритм решения дифференциала функции

Теорема
Дифференциалом функции называется произведение её производной и дифференциала независимой переменной
Алгоритм
Для вычисления дифференциалов используются свойства дифференциалов, а также таблица их значений.
Таблица дифференциалов

  1.     \[d(u^{\alpha}) = \alpha\cdot u^{\alpha - 1}\cdot du\]

  2.     \[d(a^{u}) = a^{u}\cdot\ln a\cdot du\]

  3.     \[d(e^{u}) = e^{u}\cdot du\]

  4.     \[d(\log_{a}u) = \frac{1}{u\cdot\ln a}\cdot du\]

  5.     \[d(\ln u) = \frac{1}{u}\cdot du\]

  6.     \[d(\sin u) = \cos udu\]

  7.     \[d(\cos u) = -\sin udu\]

  8.     \[d(\ tgu) = \frac{1}{cos^{2}u}du\]

  9.     \[d(\ ctgu) = -\frac{1}{sin^{2}u}du\]

  10.     \[d(\arcsin u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}du\]

  11.     \[d(\arccos u) = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}du\]

  12.     \[d(\ arctg u) = \frac{1}{1 + u^{2}}du\]

  13.     \[d(\ arcctg u) = -\frac{1}{1 + u^{2}}du\]

  14.     \[d(\ shu) = \ chudu\]

  15.     \[d(\ chu) = \ shudu\]

  16.     \[d(\ thu) = \frac{1}{\ ch^{2}u}du\]

  17.     \[d(\ cthu) = -\frac{1}{\ sh^{2}u}du\]

 

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решения дифференциала функции

Пример 1

Задача

Найти дифференциал функции y = 3x^{2} - \sin(1 + 2x)

Решение

Найдём производную данной функции.

y' = 6x - 2\cos(1 + 2x)

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = (6x - 2\cos(1 + 2x))dx

Ответ

dy = (6x - 2\cos(1 + 2x))dx

Пример 2

Задача

Найти дифференциал функции y = \ln(1 + e^{10x}) + \sqrt{x^{2} + 1}

Решение

Найдём производную данной функции.

    \[y' = \frac{10e^{10x}}{1 + e^{10x}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\]

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

    \[dy = \left(\frac{10e^{10x}}{1 + e^{10x}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)dx\]

Ответ

    \[dy = \left(\frac{10e^{10x}}{1 + e^{10x}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)dx\]

Пример 3

Задача

Найти дифференциал функции y = \sin{x} + \cos{x}

Решение

Найдём производную данной функции.

y' = (\sin{x} + \cos{x})' = \cos x - \sin x

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = (\cos x - \sin x)dx

Ответ

dy = (\cos x - \sin x)dx

Пример 4

Задача

Найти дифференциал функции y = \sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}

Решение

Найдём производную данной функции.

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы {\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x. Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
y' = \frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4]

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = (\frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4])dx

Ответ

dy = (\frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4])dx

Пример 5

Задача

Найти дифференциал функции y = e^{\sqrt{\sin x}}

Решение

Найдём производную данной функции.

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием e, производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
y' = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos xdx

Ответ

dy = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos xdx

Пример 6

Задача

Найти дифференциал функции y = e^{\sin2x}

Решение

Найдём производную данной функции.

y' = 2e^{\sin2x}\cdot\cos2x

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = (2e^{\sin2x}\cdot\cos2x)dx

Ответ

dy = (2e^{\sin2x}\cdot\cos2x)dx

Пример 7

Задача

Найти дифференциал функции y = \frac{\sin x}{\cos x}

Решение

Найдём производную данной функции.

По правилу вычисления производной от дроби, получаем:

    \[y' = \frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x}\]

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = \frac{1}{\cos^{2}x}dx

Ответ

dy = \frac{1}{\cos^{2}x}dx

Пример 8

Задача

Найти дифференциал функции y = tg\ {x^{3}}

Решение

Найдём производную данной функции.

Функция tg\ {x^{3}} является сложной, поэтому процесс нахождения производной будет происходить в два этапа.

Обозначим x^{3} = u. Исходная функция примет следующий вид: y = tg\ {u}

Найдём её производную по таблице основных тригонометрических функций:

{y_{u}}' = \frac{1}{\cos^{2}{u}}

Далее найдём производную {u_{x}}':

{u_{x}}' = 3x^{2}

Производная сложной функции будет равна произведению {y_{u}}' = \frac{1}{\cos^{2}{u}} и {u_{x}}' = 3x^{2}:

{y_{x}}' = {z_{u}}'\cdot{{u_{x}}'} = \frac{1}{\cos^{2}{u}}\cdot{3x^{2}} = \frac{3x^{2}}{\cos^{2}{(x^{3})}}

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = \frac{3x^{2}}{\cos^{2}{(x^{3})}}dx

Ответ

dy = \frac{3x^{2}}{\cos^{2}{(x^{3})}}dx

Пример 9

Пример 9

Задача

Найти дифференциал функции z = \sqrt{\sin{x}}

Решение

Найдём производную данной функции.

Данная функция является сложной, т.к. подкоренным выражением является функция синус.

Найдём производную данной функции, как произведение производных корня и синуса:

(\sqrt{\sin{x}})' = (\sqrt{\sin{x}})'\cdot{(\sin{x})'}

(\sqrt{\sin{x}})' = \frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}

(\sin{x})' = \cos{x}

Окончательно получаем:

    \[(\sqrt{\sin{x}})' = \frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cos{x}\]

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

dy = \frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cos{x}dx

Ответ

dy = \frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cos{x}dx

Пример 10

Задача

Найти дифференциал функции z = \cos{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}

Решение

Найдём производную данной функции.

Процесс нахождения произвоной данной функции будет происходить в три этапа: на первом этапе требуется определить производную функции косинус, на втором – производную от корня, на третьем – производную от дроби подкоренного выражения.

Найдём производную (\cos{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}})'

По таблице производных определяем, что (\cos{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}})' = -\sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}

Т.к. аргумент косинуса сам является функцией от x, то необходимо найти его производную по x:
(\sqrt{\frac{1}{1 + x}})' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}

Подкоренное выражение является дробью, поэтому необходимо также найти производную этой дроби (\frac{1}{1 + x})':

(\frac{1}{1 + x})' = -\frac{1}{(1 + x)^2}

Перемножая найденные производные, получаем окончательный результат:

(\cos{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}})' = -\sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}\cdot{\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}}\cdot{(-\frac{1}{(1 + x)^2})} = -\sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}\cdot{\frac{\sqrt{1 + x}}{2}}\cdot{(-\frac{1}{(1 + x)^2})} = \sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}\cdot{(\frac{\sqrt{1 + x}}{2(1 + x)^2})} = \sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}\cdot{\frac{1}{2}}\cdot{(1 + x)^{-\frac{3}{2}}} = \sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}\cdot{\frac{1}{2\cdot{(1 + x)^{\frac{3}{2}}}}}

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента x:

    \[dy = \sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}\cdot{\frac{1}{2\cdot{(1 + x)^{\frac{3}{2}}}}}dx\]

Ответ

    \[dy = \sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}\cdot{\frac{1}{2\cdot{(1 + x)^{\frac{3}{2}}}}}dx\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

82

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *