Алгоритм решения дифференциала функции

Теорема

Дифференциалом функции называется произведение её производной и дифференциала независимой переменной

Алгоритм

Для вычисления дифференциалов используются свойства дифференциалов, а также таблица их значений.

Таблица дифференциалов

$d(u^{\alpha}) = \alpha\cdot u^{\alpha - 1}\cdot du$
$d(a^{u}) = a^{u}\cdot\ln a\cdot du$
$d(e^{u}) = e^{u}\cdot du$
$d(\log_{a}u) = \frac{1}{u\cdot\ln a}\cdot du$
$d(\ln u) = \frac{1}{u}\cdot du$
$d(\sin u) = \cos udu$
$d(\cos u) = -\sin udu$
$d(\ tgu) = \frac{1}{cos^{2}u}du$
$d(\ ctgu) = -\frac{1}{sin^{2}u}du$
$d(\arcsin u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}du$
$d(\arccos u) = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}du$
$d(\ arctg u) = \frac{1}{1 + u^{2}}du$
$d(\ arcctg u) = -\frac{1}{1 + u^{2}}du$
$d(\ shu) = \ chudu$
$d(\ chu) = \ shudu$
$d(\ thu) = \frac{1}{\ ch^{2}u}du$
$d(\ cthu) = -\frac{1}{\ sh^{2}u}du$

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решения дифференциала функции

Пример 1

Задача

Найти дифференциал функции $y = 3x^{2} - \sin(1 + 2x)$

Решение

Найдём производную данной функции.

$y' = 6x - 2\cos(1 + 2x)$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = (6x - 2\cos(1 + 2x))dx$

Ответ

$dy = (6x - 2\cos(1 + 2x))dx$

Пример 2

Задача

Найти дифференциал функции $y = \ln(1 + e^{10x}) + \sqrt{x^{2} + 1}$

Решение

Найдём производную данной функции.

$y' = \frac{10e^{10x}}{1 + e^{10x}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = \left(\frac{10e^{10x}}{1 + e^{10x}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)dx$

Ответ

$dy = \left(\frac{10e^{10x}}{1 + e^{10x}} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)dx$

Пример 3

Задача

Найти дифференциал функции $y = \sin{x} + \cos{x}$

Решение

Найдём производную данной функции.

$y' = (\sin{x} + \cos{x})' = \cos x - \sin x$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = (\cos x - \sin x)dx$

Ответ

$dy = (\cos x - \sin x)dx$

Пример 4

Задача

Найти дифференциал функции $y = \sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}$

Решение

Найдём производную данной функции.

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы ${\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x$ . Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4]$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = (\frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4])dx$

Ответ

$dy = (\frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4])dx$

Пример 5

Задача

Найти дифференциал функции $y = e^{\sqrt{\sin x}}$

Решение

Найдём производную данной функции.

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием $e$ , производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
$y' = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos xdx$

Ответ

$dy = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos xdx$

Пример 6

Задача

Найти дифференциал функции $y = e^{\sin2x}$

Решение

Найдём производную данной функции.

$y' = 2e^{\sin2x}\cdot\cos2x$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = (2e^{\sin2x}\cdot\cos2x)dx$

Ответ

$dy = (2e^{\sin2x}\cdot\cos2x)dx$

Пример 7

Задача

Найти дифференциал функции $y = \frac{\sin x}{\cos x}$

Решение

Найдём производную данной функции.

По правилу вычисления производной от дроби, получаем:

$y' = \frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x}$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = \frac{1}{\cos^{2}x}dx$

Ответ

$dy = \frac{1}{\cos^{2}x}dx$

Пример 8

Задача

Найти дифференциал функции $y = tg\ {x^{3}}$

Решение

Найдём производную данной функции.

Функция $tg\ {x^{3}}$ является сложной, поэтому процесс нахождения производной будет происходить в два этапа.

Обозначим $x^{3} = u$ . Исходная функция примет следующий вид: $y = tg\ {u}$

Найдём её производную по таблице основных тригонометрических функций:

${y_{u}}' = \frac{1}{\cos^{2}{u}}$

Далее найдём производную ${u_{x}}'$ :

${u_{x}}' = 3x^{2}$

Производная сложной функции будет равна произведению ${y_{u}}' = \frac{1}{\cos^{2}{u}}$ и ${u_{x}}' = 3x^{2}$ :

${y_{x}}' = {z_{u}}'\cdot{{u_{x}}'} = \frac{1}{\cos^{2}{u}}\cdot{3x^{2}} = \frac{3x^{2}}{\cos^{2}{(x^{3})}}$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = \frac{3x^{2}}{\cos^{2}{(x^{3})}}dx$

Ответ

$dy = \frac{3x^{2}}{\cos^{2}{(x^{3})}}dx$

Пример 9

Пример 9

Задача

Найти дифференциал функции $z = \sqrt{\sin{x}}$

Решение

Найдём производную данной функции.

Данная функция является сложной, т.к. подкоренным выражением является функция синус.

Найдём производную данной функции, как произведение производных корня и синуса:

$(\sqrt{\sin{x}})' = (\sqrt{\sin{x}})'\cdot{(\sin{x})'}$

$(\sqrt{\sin{x}})' = \frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}$

$(\sin{x})' = \cos{x}$

Окончательно получаем:

$(\sqrt{\sin{x}})' = \frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cos{x}$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = \frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cos{x}dx$

Ответ

$dy = \frac{1}{2\sqrt{\sin{x}}}\cos{x}dx$

Пример 10

Задача

Найти дифференциал функции $z = \cos{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}$

Решение

Найдём производную данной функции.

Процесс нахождения произвоной данной функции будет происходить в три этапа: на первом этапе требуется определить производную функции косинус, на втором – производную от корня, на третьем – производную от дроби подкоренного выражения.

Найдём производную $(\cos{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}})'$

По таблице производных определяем, что $(\cos{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}})' = -\sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}$

Т.к. аргумент косинуса сам является функцией от $x$ , то необходимо найти его производную по $x$ :
$(\sqrt{\frac{1}{1 + x}})' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}$

Подкоренное выражение является дробью, поэтому необходимо также найти производную этой дроби $(\frac{1}{1 + x})'$ :

$(\frac{1}{1 + x})' = -\frac{1}{(1 + x)^2}$

Перемножая найденные производные, получаем окончательный результат:

$(\cos{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}})' = -\sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}\cdot{\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}}\cdot{(-\frac{1}{(1 + x)^2})} = -\sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}\cdot{\frac{\sqrt{1 + x}}{2}}\cdot{(-\frac{1}{(1 + x)^2})} = \sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}\cdot{(\frac{\sqrt{1 + x}}{2(1 + x)^2})} = \sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}\cdot{\frac{1}{2}}\cdot{(1 + x)^{-\frac{3}{2}}} = \sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}\cdot{\frac{1}{2\cdot{(1 + x)^{\frac{3}{2}}}}}$

Дифференциал будет равен произведению данной функции на дифференциал независимого аргумента $x$ :

$dy = \sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}\cdot{\frac{1}{2\cdot{(1 + x)^{\frac{3}{2}}}}}dx$

Ответ

$dy = \sin{\sqrt{\frac{1}{1 + x}}}\cdot{\frac{1}{2\cdot{(1 + x)^{\frac{3}{2}}}}}dx$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Давид Б.

Редактор.

Кандидат экономических наук, автор множества научных публикаций РИНЦ и ВАК.

Алиса:

21 мая 2023 в 18:49

Вау, клёвые, подробные примеры разной сложности и с пояснением. Как раз то, что нужно для моей презентации по теме: “Дифференцируемость функции”

Ответить

Добавить комментарий Отменить ответ

Алексей Иванков на Все, что вам нужно знать о программе CorelDRAW: определение, основные функции и преимуществаПри всем уважении к автору. Но при чем здесь Photoshop, когда вы говорите об ограниченности COrel в работе с растровой
Елена на Уникальные методы активизации учения школьников: исследование Т. И. ШамовойПочему-то в последние годы упрочилась практика писать тексты без списков изученных публикаций и прочих источников и даже более или менее
Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная

Примеры решений дифференциала функции с ответами

Алгоритм решения дифференциала функции

Примеры решения дифференциала функции