Примеры решения интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям с ответами

Простое объяснение принципов решения интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Анатолий
0 2116
Помощь в написании работы

Алгоритм решения интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям

Алгоритм

Для нахождения интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям используется формула интегрирования по частям, свойства интеграла, а также таблица интегралов.

Формула интегрирования по частям:

    \[\int udv = uv - \int vdu\]

Таблица основных интегралов

C – постоянная величина

    \[\int 0\cdot dx = C\]

    \[\int dx = x + C\]

    \[\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C\]

    \[\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)\]

    \[\int e^{x}dx = e^{x} + C\]

    \[\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C\]

    \[\int \cos{x}dx = \sin{x} + C\]

    \[\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C\]

    \[\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C\]

    \[\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C\]

    \[\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C\]

    \[\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C\]

Примеры решений интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int xe^{x}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = x,\ dv = e^{x}dx,\ du = dx,\ v = e^{x}\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int xe^{x}dx = xe^{x} - \int e^{x}dx = xe^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x -1) + C\]

Ответ

    \[\int xe^{x}dx = e^{x}(x -1) + C\]

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int x\sin{x}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = x,\ dv = \sin{x}dx,\ du = dx,\ v = -\cos{x}\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int x\sin{x}dx = -x\cos{x} + \int \cos{x}dx = -x\cos{x} + \sin{x} + C\]

Ответ

    \[\int x\sin{x}dx = -x\cos{x} + \sin{x} + C\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \ln{x}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = \ln{x},\ dv = dx,\ du = \frac{dx}{x},\ v = x\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

, получаем:

    \[\int \ln{x}dx = x\ln{x} - \int x\frac{dx}{x} = x\ln{x} - \int dx = x\ln{x} - x + C = x(\ln{x} - 1) + C\]

Ответ

    \[\int x\sin{x}dx = x(\ln{x} - 1) + C\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \ arctg{x}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = \ arctg{x},\ dv = dx,\ du = \frac{dx}{1 + x^{2}},\ v = x\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int \ arctg{x}dx = x\ arctg{x} - \int \frac{x}{1 + x^{2}}dx = x\ arctg{x} - \frac{1}{2}\ln{(1 + x^{2})} + C\]

Ответ

    \[\int \ arctg{x}dx = x\ arctg{x} - \frac{1}{2}\ln{(1 + x^{2})} + C\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \arcsin{x}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = \arcsin{x},\ dv = dx,\ du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}},\ v = x\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int \arcsin{x}dx = x\arcsin{x} - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = x\arcsin{x} + \sqrt{1 - x^{2}} + C\]

Ответ

    \[\int \arcsin{x}dx = x\arcsin{x} + \sqrt{1 - x^{2}} + C\]

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int x\cos{x}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = x,\ dv = \cos{x}dx,\ du = dx,\ v = \sin{x}\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int x\cos{x}dx = x\sin{x} - \int \sin{x}dx = x\sin{x} + \cos{x} + C\]

Ответ

    \[\int x\cos{x}dx = x\sin{x} + \cos{x} + C\]

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int x^{3}\ln{x}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = \ln{x},\ dv = x^{3}dx,\ du = \frac{dx}{x},\ v = \frac{x^{4}}{4}\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int x^{3}\ln{x}dx = \ln{x}\frac{x^{4}}{4} - \int \frac{x^{4}}{4}\frac{dx}{x}\]

    \[\ln{x}\frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{4}\int x^{3}dx = \ln{x}\frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{4}\frac{x^{4}}{4} + C = \frac{x^{4}\ln{x}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + C\]

Ответ

    \[\int x^{3}\ln{x}dx = \frac{x^{4}\ln{x}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + C\]

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = \arcsin{x},\ dv = \frac{xdx}{\sqrt{1 - x^{2}}},\ du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}},\ v = -\sqrt{1 - x^{2}}\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = -\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin{x} - \int \frac{-\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\]

    \[\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = -\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin{x} + x + C\]

Ответ

    \[\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = -\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin{x} + x + C\]

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{\ln{x}}{x^{2}}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = \ln{x},\ dv = \frac{dx}{x^{2}},\ du = \frac{dx}{x},\ v = -\frac{1}{x}\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int \frac{\ln{x}}{x^{2}}dx = -\frac{\ln{x}}{x} - \int -\frac{dx}{x^{2}} = -\frac{\ln{x}}{x} - \frac{1}{x} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{\ln{x}}{x^{2}}dx = -\frac{\ln{x}}{x} - \frac{1}{x} + C\]

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = \ln{\cos{x}},\ dv = \sin{x}dx,\ du = -\ tgxdx,\ v = -\cos{x}\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = -\ln{\cos{x}}\cos{x} - \int (-\cos{x})\cdot(-\ tgx)dx\]

    \[\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = -\ln{\cos{x}}\cos{x} - \int \sin{x}dx\]

    \[\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = -\ln{\cos{x}}\cos{x} + \cos{x} + C\]

    \[\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = \cos{x}(1 - \ln|{\cos{x}}|) + C\]

Ответ

    \[\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = \cos{x}(1 - \ln|{\cos{x}}|) + C\]

Автор статьи

Анатолий Овруцкий
Анатолий Овруцкий
Автор научных статей и методических указаний, кэн

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *