Алгоритм решения интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям

Алгоритм

Для нахождения интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям используется формула интегрирования по частям, свойства интеграла, а также таблица интегралов.

Формула интегрирования по частям:

    \[\int udv = uv - \int vdu\]

Таблица основных интегралов

C – постоянная величина

    \[\int 0\cdot dx = C\]

    \[\int dx = x + C\]

    \[\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C\]

    \[\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)\]

    \[\int e^{x}dx = e^{x} + C\]

    \[\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C\]

    \[\int \cos{x}dx = \sin{x} + C\]

    \[\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C\]

    \[\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C\]

    \[\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C\]

    \[\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C\]

    \[\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C\]

Примеры решений интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int xe^{x}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = x,\ dv = e^{x}dx,\ du = dx,\ v = e^{x}\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int xe^{x}dx = xe^{x} - \int e^{x}dx = xe^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x -1) + C\]

Ответ

    \[\int xe^{x}dx = e^{x}(x -1) + C\]

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int x\sin{x}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = x,\ dv = \sin{x}dx,\ du = dx,\ v = -\cos{x}\]

Применяя формулу интегрирования по частям

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int x\sin{x}dx = -x\cos{x} + \int \cos{x}dx = -x\cos{x} + \sin{x} + C\]

Ответ

    \[\int x\sin{x}dx = -x\cos{x} + \sin{x} + C\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \ln{x}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = \ln{x},\ dv = dx,\ du = \frac{dx}{x},\ v = x\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

, получаем:

    \[\int \ln{x}dx = x\ln{x} - \int x\frac{dx}{x} = x\ln{x} - \int dx = x\ln{x} - x + C = x(\ln{x} - 1) + C\]

Ответ

    \[\int x\sin{x}dx = x(\ln{x} - 1) + C\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \ arctg{x}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = \ arctg{x},\ dv = dx,\ du = \frac{dx}{1 + x^{2}},\ v = x\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int \ arctg{x}dx = x\ arctg{x} - \int \frac{x}{1 + x^{2}}dx = x\ arctg{x} - \frac{1}{2}\ln{(1 + x^{2})} + C\]

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Ответ

    \[\int \ arctg{x}dx = x\ arctg{x} - \frac{1}{2}\ln{(1 + x^{2})} + C\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \arcsin{x}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = \arcsin{x},\ dv = dx,\ du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}},\ v = x\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int \arcsin{x}dx = x\arcsin{x} - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = x\arcsin{x} + \sqrt{1 - x^{2}} + C\]

Ответ

    \[\int \arcsin{x}dx = x\arcsin{x} + \sqrt{1 - x^{2}} + C\]

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int x\cos{x}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = x,\ dv = \cos{x}dx,\ du = dx,\ v = \sin{x}\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int x\cos{x}dx = x\sin{x} - \int \sin{x}dx = x\sin{x} + \cos{x} + C\]

Ответ

    \[\int x\cos{x}dx = x\sin{x} + \cos{x} + C\]

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int x^{3}\ln{x}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = \ln{x},\ dv = x^{3}dx,\ du = \frac{dx}{x},\ v = \frac{x^{4}}{4}\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int x^{3}\ln{x}dx = \ln{x}\frac{x^{4}}{4} - \int \frac{x^{4}}{4}\frac{dx}{x}\]

    \[\ln{x}\frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{4}\int x^{3}dx = \ln{x}\frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{4}\frac{x^{4}}{4} + C = \frac{x^{4}\ln{x}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + C\]

Ответ

    \[\int x^{3}\ln{x}dx = \frac{x^{4}\ln{x}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + C\]

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = \arcsin{x},\ dv = \frac{xdx}{\sqrt{1 - x^{2}}},\ du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}},\ v = -\sqrt{1 - x^{2}}\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = -\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin{x} - \int \frac{-\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\]

    \[\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = -\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin{x} + x + C\]

Ответ

    \[\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = -\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin{x} + x + C\]

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{\ln{x}}{x^{2}}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = \ln{x},\ dv = \frac{dx}{x^{2}},\ du = \frac{dx}{x},\ v = -\frac{1}{x}\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int \frac{\ln{x}}{x^{2}}dx = -\frac{\ln{x}}{x} - \int -\frac{dx}{x^{2}} = -\frac{\ln{x}}{x} - \frac{1}{x} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{\ln{x}}{x^{2}}dx = -\frac{\ln{x}}{x} - \frac{1}{x} + C\]

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx\]

Решение

Обозначим:

    \[u = \ln{\cos{x}},\ dv = \sin{x}dx,\ du = -\ tgxdx,\ v = -\cos{x}\]

Применяя формулу интегрирования по частям

    \[\int udv = uv - \int vdu,\]

получаем:

    \[\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = -\ln{\cos{x}}\cos{x} - \int (-\cos{x})\cdot(-\ tgx)dx\]

    \[\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = -\ln{\cos{x}}\cos{x} - \int \sin{x}dx\]

    \[\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = -\ln{\cos{x}}\cos{x} + \cos{x} + C\]

    \[\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = \cos{x}(1 - \ln|{\cos{x}}|) + C\]

Ответ

    \[\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = \cos{x}(1 - \ln|{\cos{x}}|) + C\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

355

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также