Алгоритм решения интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям
Для нахождения интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям используется формула интегрирования по частям, свойства интеграла, а также таблица интегралов. Формула интегрирования по частям: $$\int udv = uv – \int vdu$$
$ C $ – постоянная величина
$$\int 0\cdot dx = C$$
$$\int dx = x + C$$
$$\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)$$
$$\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n – 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C$$
$$\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C$$
$$\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)$$
$$\int e^{x}dx = e^{x} + C$$
$$\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C$$
$$\int \cos{x}dx = \sin{x} + C$$
$$\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C$$
$$\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C$$
$$\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C$$
$$\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C$$
$$\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{1 – x^{2}}} = \arcsin{x} + C$$
$$\int \frac{dx}{1 – x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 – x} \right | + C$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C$$
$$\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C$$
$$\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C$$
$$\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C$$
$$\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C$$
Примеры решений интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям
Задача
Вычислить интеграл: $$\int xe^{x}dx$$
Решение
Обозначим:
$$u = x,\ dv = e^{x}dx,\ du = dx,\ v = e^{x}$$
Применяя формулу интегрирования по частям $$\int udv = uv – \int vdu,$$ получаем:
$$\int xe^{x}dx = xe^{x} – \int e^{x}dx = xe^{x} – e^{x} + C = e^{x}(x -1) + C$$
Ответ
$$\int xe^{x}dx = e^{x}(x -1) + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int x\sin{x}dx$$
Решение
Обозначим:
$$u = x,\ dv = \sin{x}dx,\ du = dx,\ v = -\cos{x}$$
Применяя формулу интегрирования по частям $$\int udv = uv – \int vdu,$$ получаем:
$$\int x\sin{x}dx = -x\cos{x} + \int \cos{x}dx = -x\cos{x} + \sin{x} + C$$
Ответ
$$\int x\sin{x}dx = -x\cos{x} + \sin{x} + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int \ln{x}dx$$
Решение
Обозначим:
$$u = \ln{x},\ dv = dx,\ du = \frac{dx}{x},\ v = x$$
Применяя формулу интегрирования по частям $$\int udv = uv – \int vdu,$$, получаем:
$$\int \ln{x}dx = x\ln{x} – \int x\frac{dx}{x} = x\ln{x} – \int dx = x\ln{x} – x + C = x(\ln{x} – 1) + C$$
Ответ
$$\int x\sin{x}dx = x(\ln{x} – 1) + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int \ arctg{x}dx$$
Решение
Обозначим:
$$u = \ arctg{x},\ dv = dx,\ du = \frac{dx}{1 + x^{2}},\ v = x$$
Применяя формулу интегрирования по частям $$\int udv = uv – \int vdu,$$ получаем:
$$\int \ arctg{x}dx = x\ arctg{x} – \int \frac{x}{1 + x^{2}}dx = x\ arctg{x} – \frac{1}{2}\ln{(1 + x^{2})} + C$$
Ответ
$$\int \ arctg{x}dx = x\ arctg{x} – \frac{1}{2}\ln{(1 + x^{2})} + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int \arcsin{x}dx$$
Решение
Обозначим:
$$u = \arcsin{x},\ dv = dx,\ du = \frac{dx}{\sqrt{1 – x^{2}}},\ v = x$$
Применяя формулу интегрирования по частям $$\int udv = uv – \int vdu,$$ получаем:
$$\int \arcsin{x}dx = x\arcsin{x} – \int \frac{x}{\sqrt{1 – x^{2}}}dx = x\arcsin{x} + \sqrt{1 – x^{2}} + C$$
Ответ
$$\int \arcsin{x}dx = x\arcsin{x} + \sqrt{1 – x^{2}} + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int x\cos{x}dx$$
Решение
Обозначим:
$$u = x,\ dv = \cos{x}dx,\ du = dx,\ v = \sin{x}$$
Применяя формулу интегрирования по частям $$\int udv = uv – \int vdu,$$ получаем:
$$\int x\cos{x}dx = x\sin{x} – \int \sin{x}dx = x\sin{x} + \cos{x} + C$$
Ответ
$$\int x\cos{x}dx = x\sin{x} + \cos{x} + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int x^{3}\ln{x}dx$$
Решение
Обозначим:
$$u = \ln{x},\ dv = x^{3}dx,\ du = \frac{dx}{x},\ v = \frac{x^{4}}{4}$$
Применяя формулу интегрирования по частям $$\int udv = uv – \int vdu,$$ получаем:
$$\int x^{3}\ln{x}dx = \ln{x}\frac{x^{4}}{4} – \int \frac{x^{4}}{4}\frac{dx}{x}$$
$$\ln{x}\frac{x^{4}}{4} – \frac{1}{4}\int x^{3}dx = \ln{x}\frac{x^{4}}{4} – \frac{1}{4}\frac{x^{4}}{4} + C = \frac{x^{4}\ln{x}}{4} – \frac{x^{4}}{16} + C$$
Ответ
$$\int x^{3}\ln{x}dx = \frac{x^{4}\ln{x}}{4} – \frac{x^{4}}{16} + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 – x^{2}}}dx$$
Решение
Обозначим:
$$u = \arcsin{x},\ dv = \frac{xdx}{\sqrt{1 – x^{2}}},\ du = \frac{dx}{\sqrt{1 – x^{2}}},\ v = -\sqrt{1 – x^{2}}$$
Применяя формулу интегрирования по частям $$\int udv = uv – \int vdu,$$ получаем:
$$\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 – x^{2}}}dx = -\sqrt{1 – x^{2}}\arcsin{x} – \int \frac{-\sqrt{1 – x^{2}}}{\sqrt{1 – x^{2}}}dx$$
$$\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 – x^{2}}}dx = -\sqrt{1 – x^{2}}\arcsin{x} + x + C$$
Ответ
$$\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 – x^{2}}}dx = -\sqrt{1 – x^{2}}\arcsin{x} + x + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int \frac{\ln{x}}{x^{2}}dx$$
Решение
Обозначим:
$$u = \ln{x},\ dv = \frac{dx}{x^{2}},\ du = \frac{dx}{x},\ v = -\frac{1}{x}$$
Применяя формулу интегрирования по частям $$\int udv = uv – \int vdu,$$ получаем:
$$\int \frac{\ln{x}}{x^{2}}dx = -\frac{\ln{x}}{x} – \int -\frac{dx}{x^{2}} = -\frac{\ln{x}}{x} – \frac{1}{x} + C$$
Ответ
$$\int \frac{\ln{x}}{x^{2}}dx = -\frac{\ln{x}}{x} – \frac{1}{x} + C$$
Задача
Вычислить интеграл: $$\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx$$
Решение
Обозначим:
$$u = \ln{\cos{x}},\ dv = \sin{x}dx,\ du = -\ tgxdx,\ v = -\cos{x}$$
Применяя формулу интегрирования по частям $$\int udv = uv – \int vdu,$$ получаем:
$$\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = -\ln{\cos{x}}\cos{x} – \int (-\cos{x})\cdot(-\ tgx)dx$$
$$\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = -\ln{\cos{x}}\cos{x} – \int \sin{x}dx$$
$$\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = -\ln{\cos{x}}\cos{x} + \cos{x} + C$$
$$\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = \cos{x}(1 – \ln|{\cos{x}}|) + C$$
Ответ
$$\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = \cos{x}(1 – \ln|{\cos{x}}|) + C$$