Примеры решения интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям с ответами

Простое объяснение принципов решения интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям

Алгоритм

Для нахождения интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям используется формула интегрирования по частям, свойства интеграла, а также таблица интегралов.

Формула интегрирования по частям:

$\int udv = uv - \int vdu$

Таблица основных интегралов

$C$ – постоянная величина

$\int 0\cdot dx = C$

$\int dx = x + C$

$\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)$

$\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C$

$\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C$

$\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)$

$\int e^{x}dx = e^{x} + C$

$\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}dx = \sin{x} + C$

$\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C$

$\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C$

$\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C$

$\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C$

$\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C$

$\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C$

$\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C$

$\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C$

$\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C$

$\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C$

Примеры решений интегралов функций с использованием метода интегрирования по частям

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

$\int xe^{x}dx$

Решение

Обозначим:

$u = x,\ dv = e^{x}dx,\ du = dx,\ v = e^{x}$

Применяя формулу интегрирования по частям

$\int udv = uv - \int vdu,$

получаем:

$\int xe^{x}dx = xe^{x} - \int e^{x}dx = xe^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x -1) + C$

Ответ

$\int xe^{x}dx = e^{x}(x -1) + C$

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

$\int x\sin{x}dx$

Решение

Обозначим:

$u = x,\ dv = \sin{x}dx,\ du = dx,\ v = -\cos{x}$

Применяя формулу интегрирования по частям

$\int udv = uv - \int vdu,$

получаем:

$\int x\sin{x}dx = -x\cos{x} + \int \cos{x}dx = -x\cos{x} + \sin{x} + C$

Ответ

$\int x\sin{x}dx = -x\cos{x} + \sin{x} + C$

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \ln{x}dx$

Решение

Обозначим:

$u = \ln{x},\ dv = dx,\ du = \frac{dx}{x},\ v = x$

Применяя формулу интегрирования по частям

$\int udv = uv - \int vdu,$

, получаем:

$\int \ln{x}dx = x\ln{x} - \int x\frac{dx}{x} = x\ln{x} - \int dx = x\ln{x} - x + C = x(\ln{x} - 1) + C$

Ответ

$\int x\sin{x}dx = x(\ln{x} - 1) + C$

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \ arctg{x}dx$

Решение

Обозначим:

$u = \ arctg{x},\ dv = dx,\ du = \frac{dx}{1 + x^{2}},\ v = x$

Применяя формулу интегрирования по частям

$\int udv = uv - \int vdu,$

получаем:

$\int \ arctg{x}dx = x\ arctg{x} - \int \frac{x}{1 + x^{2}}dx = x\ arctg{x} - \frac{1}{2}\ln{(1 + x^{2})} + C$

Ответ

$\int \ arctg{x}dx = x\ arctg{x} - \frac{1}{2}\ln{(1 + x^{2})} + C$

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \arcsin{x}dx$

Решение

Обозначим:

$u = \arcsin{x},\ dv = dx,\ du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}},\ v = x$

Применяя формулу интегрирования по частям

$\int udv = uv - \int vdu,$

получаем:

$\int \arcsin{x}dx = x\arcsin{x} - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = x\arcsin{x} + \sqrt{1 - x^{2}} + C$

Ответ

$\int \arcsin{x}dx = x\arcsin{x} + \sqrt{1 - x^{2}} + C$

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

$\int x\cos{x}dx$

Решение

Обозначим:

$u = x,\ dv = \cos{x}dx,\ du = dx,\ v = \sin{x}$

Применяя формулу интегрирования по частям

$\int udv = uv - \int vdu,$

получаем:

$\int x\cos{x}dx = x\sin{x} - \int \sin{x}dx = x\sin{x} + \cos{x} + C$

Ответ

$\int x\cos{x}dx = x\sin{x} + \cos{x} + C$

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

$\int x^{3}\ln{x}dx$

Решение

Обозначим:

$u = \ln{x},\ dv = x^{3}dx,\ du = \frac{dx}{x},\ v = \frac{x^{4}}{4}$

Применяя формулу интегрирования по частям

$\int udv = uv - \int vdu,$

получаем:

$\int x^{3}\ln{x}dx = \ln{x}\frac{x^{4}}{4} - \int \frac{x^{4}}{4}\frac{dx}{x}$

$\ln{x}\frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{4}\int x^{3}dx = \ln{x}\frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{4}\frac{x^{4}}{4} + C = \frac{x^{4}\ln{x}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + C$

Ответ

$\int x^{3}\ln{x}dx = \frac{x^{4}\ln{x}}{4} - \frac{x^{4}}{16} + C$

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx$

Решение

Обозначим:

$u = \arcsin{x},\ dv = \frac{xdx}{\sqrt{1 - x^{2}}},\ du = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}},\ v = -\sqrt{1 - x^{2}}$

Применяя формулу интегрирования по частям

$\int udv = uv - \int vdu,$

получаем:

$\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = -\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin{x} - \int \frac{-\sqrt{1 - x^{2}}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx$

$\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = -\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin{x} + x + C$

Ответ

$\int \frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = -\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin{x} + x + C$

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \frac{\ln{x}}{x^{2}}dx$

Решение

Обозначим:

$u = \ln{x},\ dv = \frac{dx}{x^{2}},\ du = \frac{dx}{x},\ v = -\frac{1}{x}$

Применяя формулу интегрирования по частям

$\int udv = uv - \int vdu,$

получаем:

$\int \frac{\ln{x}}{x^{2}}dx = -\frac{\ln{x}}{x} - \int -\frac{dx}{x^{2}} = -\frac{\ln{x}}{x} - \frac{1}{x} + C$

Ответ

$\int \frac{\ln{x}}{x^{2}}dx = -\frac{\ln{x}}{x} - \frac{1}{x} + C$

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx$

Решение

Обозначим:

$u = \ln{\cos{x}},\ dv = \sin{x}dx,\ du = -\ tgxdx,\ v = -\cos{x}$

Применяя формулу интегрирования по частям

$\int udv = uv - \int vdu,$

получаем:

$\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = -\ln{\cos{x}}\cos{x} - \int (-\cos{x})\cdot(-\ tgx)dx$

$\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = -\ln{\cos{x}}\cos{x} - \int \sin{x}dx$

$\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = -\ln{\cos{x}}\cos{x} + \cos{x} + C$

$\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = \cos{x}(1 - \ln|{\cos{x}}|) + C$

Ответ

$\int \sin{x}\cdot\ln{\cos{x}}dx = \cos{x}(1 - \ln|{\cos{x}}|) + C$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Филипп Х.

Редактор.

Копирайтер, коммерческий автор, писатель, сценарист и автор-универсал в широком смысле.

Чел:

23 апреля 2023 в 16:31

Там в 10 вроде лишний, минус на минус же дает плюс

Ответить

Добавить комментарий Отменить ответ

Алексей Иванков на Все, что вам нужно знать о программе CorelDRAW: определение, основные функции и преимуществаПри всем уважении к автору. Но при чем здесь Photoshop, когда вы говорите об ограниченности COrel в работе с растровой
Елена на Уникальные методы активизации учения школьников: исследование Т. И. ШамовойПочему-то в последние годы упрочилась практика писать тексты без списков изученных публикаций и прочих источников и даже более или менее
Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная