Алгоритм решения первого замечательного предела

[stextbox id=’teorema’ caption=’Теорема’]

Первым замечательным пределом называется предел вида

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$

Первый замечательный предел используется для вычисления пределов тригонометрических функций.

[/stextbox]

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решений первого замечательного предела

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 1′]

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{\cos^{2} x}$

Решение

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\sin x = \sin\frac{\pi}{2} = 1$

Если $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$ , то $1 - \sin x \rightarrow 0$

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\cos^{2} x = \cos^{2} \frac{\pi}{2} = 0$

Учитывая что $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x = (1 - \sin x)(1 + \sin x)$ , получаем:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{\cos^{2} x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} =$

$= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1}{1 + \sin x} = \frac{1}{1 + \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\sin x} = \frac{1}{1 + \sin\frac{\pi}{2}} =$

$= \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

Ответ

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{2}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 2′]

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\sin\frac{kx}{x},\ k = const$

Решение

Сделаем подстановку $kx = y.$ Отсюда следует, что $y \rightarrow 0$ , если $x \rightarrow 0$ , $x = \frac{y}{k}$

$\lim_{x \to 0}\sin\frac{kx}{x} = \lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{\frac{y}{k}} = \lim_{y \to 0}\frac{k\sin y}{y} = k\lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{y} = k,$

т.к.

$\lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{y} = 1$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\sin\frac{kx}{x} = k$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 3′]

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\sin lx}$

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

$\frac{\sin kx}{\sin lx}$

на $x$

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\sin lx} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin kx}{x}}{\frac{\sin lx}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{x}}{\lim_{x \to 0}\frac{\sin lx}{x}} = \frac{k}{l}$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\sin lx} = \frac{k}{l}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 4′]

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 7x}$

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

$\frac{\sin 5x}{\sin 7x}$

на $x$

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 7x} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin 5x}{x}}{\frac{\sin 7x}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{x}}{\lim_{x \to 0}\frac{\sin 7x}{x}} = \frac{5}{7}$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 7x} = \frac{5}{7}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 5′]

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}$

Решение

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\cos kx} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{x}\lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos kx} =$

$k\frac{1}{\lim_{x \to 0}\cos kx} = k\frac{1}{\cos(\lim_{x \to 0}kx)} = k\frac{1}{\cos 0} = k\frac{1}{1} = k$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x} = k$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 6′]

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx}$

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

$\frac{\ tg kx}{lx}$

на $x$

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\ tg kx}{x}}{\frac{lx}{x}} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\ tg kx}{x}}{l} =$

$= \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}}{\lim_{x \to 0}l} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}}{l}$

Вычислим

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}$

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\cos kx} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{x}\lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos kx} =$

$k\frac{1}{\lim_{x \to 0}\cos kx} = k\frac{1}{\cos(\lim_{x \to 0}kx)} = k\frac{1}{\cos 0} = k\frac{1}{1} = k$

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}}{l} = \frac{k}{l}$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx} = \frac{k}{l}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 7′]

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}ax}{x^{2}}$

Решение

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}ax}{x^{2}} = \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin ax}{x}\cdot\frac{\sin ax}{x}\right) =$

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin ax}{x}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin ax}{x} = a\cdot a = s^{2}$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}ax}{x^{2}} = a^{2}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 8′]

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos mx}{x^{2}}$

Решение

$1 - \cos mx = 2\sin^{2}\frac{mx}{2}$

$\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos mx}{x^{2}} = \lim_{x \to 0}\frac{2\sin^{2}\frac{mx}{2}}{x^{2}} = 2\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x} =$

$= 2\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x} = 2\frac{m}{2}\frac{m}{2} = \frac{m^{2}}{2}$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos mx}{x^{2}} = \frac{m^{2}}{2}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 9′]

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{2x}$

Решение

Обозначим

$3x = t$

. Тогда $t \rightarrow 0$ при $x \rightarrow 0$

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{2x} = \lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{2\cdot\frac{t}{3}} = \lim_{t \to 0}\frac{3}{2}\frac{\sin t}{t} =$

$= \frac{3}{2}\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t} = \frac{3}{2}\cdot 1 = \frac{3}{2}$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{2x} = \frac{3}{2}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 10′]

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x}$

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

$\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x}$

на $x$

$\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x} = \lim_{x \to 0}\frac{1 - \frac{\sin 5x}{x}}{2 + \frac{\sin 3x}{x}} =$

$= \frac{\lim_{x \to 0}\left(1 - \frac{\sin 5x}{x}\right)}{\lim_{x \to 0}\left(2 + \frac{\sin 3x}{x}\right)} = \frac{\lim_{x \to 0}1 - \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin 5x}{x}\right)}{\lim_{x \to 0}2 + \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin 3x}{x}\right)}$

$= \frac{1 - 5}{2 + 3} = -\frac{4}{5}$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x} = -\frac{4}{5}$

[/stextbox]

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CTRL + Enter

сагдиана на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно!
акмарал на Более 50 основных формул по физике с пояснениема эти формулы обычно используют в олимпиядах
всем пока на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно. калькулятор не работает.
Великий гей Никола Тесла на Более 50 основных формул по физике с пояснениемСайт параша, я пытался списать ЕГЭ по физике с помощью них, я блять сдал его на 99999 балов, и теперь
некто на Примеры решения матриц с ответамиНеправильные ответы, учите матрицу гении

Примеры решения первого замечательного предела с ответами

Алгоритм решения первого замечательного предела

Примеры решений первого замечательного предела

Авторизуйтесь