Алгоритм решения производных

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Производная функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению её аргумента при стремлении последнего к нулю, при условии существования данного предела.

Для вычисления производных вам потребуется таблица производных. Кроме того, существуют формулы для нахождения сложных производных.

Процесс нахождения производный называется дифференцированием.

Таблица простых производных

  1. (c)' = 0;
  2. (x)' = 1;
  3. (u \pm v)' = u' \pm v';
  4. (cu)' = cu';
  5. (uv)' = u'v+v'u;
  6. (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - v'u}{v^{2}}
  7. (\frac{c}{x})' = -\frac{c}{x^{2}}
  8. (x^n)' = nx^{n-1}
  9. (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
  10. (c^{x})' = c^{x}\cdot\ln{c}; c>0, c \neq 1
  11. (e^{x})' = e^{x}; c>0, c \neq 1
  12. (\log_{c}{x})' = \frac{1}{x}\cdot\log_{c}{e} = \frac{1}{x\ln{c}}
  13. (\ln{u})' = \frac{1}{x}
  14. (\sin{x})' = \cos{x}
  15. (\cos{x})' = -\sin{x}
  16. (tg\ {x})' = \frac{1}{\cos^{2}{x}}
  17. (ctg\ {x})' = -\frac{1}{\sin^{2}{x}}
  18. (\sec{x})' = \sec{x}\cdot{tg\ {x}}
  19. (cosec\ {x})' = -cosec\ {x}\cdot{ctg\ {x}}
  20. (\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
  21. (\arccos{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
  22. (arctg\ {x})' = \frac{1}{1+x^{2}}
  23. (arcctg\ {x})' = -\frac{1}{1+x^{2}}

Формулы сложных производных

(a*u(x)))' = a*f'(x) \pm b * g'(x) – производная суммы (разницы).

(u(x) * v(x))' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x) – производная произведения.

(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)}{v^2(x)} – производная частного.

Примеры решений производных

Пример 1

Задача

Найти производную функции y = cos(3x+1)

Решение

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

y' = (cos(3x+1))' = -sin(3x+1)\cdot(3x+1)' = -sin(3x+1)\cdot(3\cdot1+0) = -3sin(3x+1)

Ответ

y' = -3sin(3x+1)

Пример 2

Задание

Найти производную функции y = (x^2-2x+3)^5

Решение

Обозначим y=u^5, где u = x^2-2x+3. Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:
y' = (u^5)'_u(x^2-2x+3)'_x = 5u^4(2x-1) = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4

Ответ

y' = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4

Пример 3

Задача

Найти производную функции y = \sqrt{x} при x = 4.

Решение

y' = x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}.

Ответ

y'(4) = \frac{1}{4}.

Пример 4

Задача

Найти производную функции y = x^3\sin x + 3x^2\cos x - 6\sin x - 6\cos x.

Решение

y' = 3x^2\sin x + x^3\cos x + 6\cos x - 3x^2\sin x - 6\sin x - 6x\cos x + 6\sin x.
После приведения подобных членов получаем:
y' = x^2\cos x.

Ответ

y’=x^3·cos(x)+6·x·cos(x)-6·cos(x)+6·sin(x).

Пример 5

Задача

Найти производную функции y = \sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}.

Решение

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы {\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x. Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
y' = \frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4].

Ответ

y' = \frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4].

Пример 6

Задача

Найти производную функции y = \frac{3\cosec x - 2\sin x}{5{\cos}^5 x} - \frac{16}{5}\ctg{2x}.

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
(\frac{3\cosec x - 2\sin x}{5{\cos}^5 x})' = \frac{1}{5}\frac{(3\cosec x - 2\sin x)'{\cos}^5 x - ({\cos}^5 x)'(3\cosec x - 2\sin x)}{{\cos}^{10} x} =
\frac{(-3\cosec x\ctg x - 2\cos x)\cdot{\cos}^5 x - (-5{\cos}^4 x)\sin x)\cdot(3\cosec-2sin x)}{{\cos}^{10} x}.
Применяя правила дифференцирования котангенса, получаем:
(\frac{16}{5}\ctg{2x})' = -\frac{16}{5}(-\frac{1}{{\sin}^2 2x}\cdot2) = \frac{32}{5}\frac{1}{{\sin}^2 2x}.
Учитывая, что \cosec x = \frac{1}{\sin x} и \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}, после упрощения получим:
y' = \frac{1}{{\sin}^2 x\cdot{\cos}^6 x}.

Ответ

y' = \frac{1}{{\sin}^2 x\cdot{\cos}^6 x}.

Пример 7

Задача

Найти производную функции y = \frac{a^2 - x^2}{a^2 + x^2}, a = const.

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
y' = \frac{(a^2 - x^2)'(a^2 + x^2) - (a^2 + x^2)'(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = \frac{-2x(a^2 + x^2) - 2x(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}.

Ответ

y' = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}.

Пример 8

Задача

Найти производную функции y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}.

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
y' = \frac{x'\sqrt{1 + x^2} - (\sqrt{1 + x^2})'x}{(\sqrt{1 + x^2})^2} = \frac{1\cdot\sqrt{1 + x^2} - \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}}\cdot2x\cdot x}{1 + x^2} = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^2)^3}}.

Ответ

y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^2)^3}}.

Пример 9

Задача

Найти производную функции y = \arcsin^2x.

Решение

Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:
y' = 2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

Ответ

y' = 2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

Пример 10

Задача

Найти производную функции y = e^{\sqrt{\sin x}}.

Решение

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием e, производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
y' = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x.

Ответ

y' = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x.

Средняя оценка 3.8 / 5. Количество оценок: 4

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

18129

Решение для вас

Помощь с работой Список услуг

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также