Алгоритм решения производных

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Производная функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению её аргумента при стремлении последнего к нулю, при условии существования данного предела.

Для вычисления производных вам потребуется таблица производных. Кроме того, существуют формулы для нахождения сложных производных.

Процесс нахождения производный называется дифференцированием.

Таблица простых производных

  1. (c)' = 0;
  2. (x)' = 1;
  3. (u \pm v)' = u' \pm v';
  4. (cu)' = cu';
  5. (uv)' = u'v+v'u;
  6. (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - v'u}{v^{2}}
  7. (\frac{c}{x})' = -\frac{c}{x^{2}}
  8. (x^n)' = nx^{n-1}
  9. (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
  10. (c^{x})' = c^{x}\cdot\ln{c}; c>0, c \neq 1
  11. (e^{x})' = e^{x}; c>0, c \neq 1
  12. (\log_{c}{x})' = \frac{1}{x}\cdot\log_{c}{e} = \frac{1}{x\ln{c}}
  13. (\ln{u})' = \frac{1}{x}
  14. (\sin{x})' = \cos{x}
  15. (\cos{x})' = -\sin{x}
  16. (tg\ {x})' = \frac{1}{\cos^{2}{x}}
  17. (ctg\ {x})' = -\frac{1}{\sin^{2}{x}}
  18. (\sec{x})' = \sec{x}\cdot{tg\ {x}}
  19. (cosec\ {x})' = -cosec\ {x}\cdot{ctg\ {x}}
  20. (\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
  21. (\arccos{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
  22. (arctg\ {x})' = \frac{1}{1+x^{2}}
  23. (arcctg\ {x})' = -\frac{1}{1+x^{2}}

Формулы сложных производных

(a*u(x)))' = a*f'(x) \pm b * g'(x) – производная суммы (разницы).

(u(x) * v(x))' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x) – производная произведения.

(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)}{v^2(x)} – производная частного.

Примеры решений производных

Пример 1

Задача

Найти производную функции y = cos(3x+1)

Решение

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

y' = (cos(3x+1))' = -sin(3x+1)\cdot(3x+1)' = -sin(3x+1)\cdot(3\cdot1+0) = -3sin(3x+1)

Ответ

y' = -3sin(3x+1)

Пример 2

Задание

Найти производную функции y = (x^2-2x+3)^5

Решение

Обозначим y=u^5, где u = x^2-2x+3. Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:
y' = (u^5)'_u(x^2-2x+3)'_x = 5u^4(2x-1) = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4

Ответ

y' = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4

Пример 3

Задача

Найти производную функции y = \sqrt{x} при x = 4.

Решение

y' = x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}.

Ответ

y'(4) = \frac{1}{4}.

Пример 4

Задача

Найти производную функции y = x^3\sin x + 3x^2\cos x - 6\sin x - 6\cos x.

Решение

y' = 3x^2\sin x + x^3\cos x + 6\cos x - 3x^2\sin x - 6\sin x - 6x\cos x + 6\sin x.
После приведения подобных членов получаем:
y' = x^2\cos x.

Ответ

y’=x^3·cos(x)+6·x·cos(x)-6·cos(x)+6·sin(x).

Пример 5

Задача

Найти производную функции y = \sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}.

Решение

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы {\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x. Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
y' = \frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4].

Ответ

y' = \frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4].

Пример 6

Задача

Найти производную функции y = \frac{3\cosec x - 2\sin x}{5{\cos}^5 x} - \frac{16}{5}\ctg{2x}.

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
(\frac{3\cosec x - 2\sin x}{5{\cos}^5 x})' = \frac{1}{5}\frac{(3\cosec x - 2\sin x)'{\cos}^5 x - ({\cos}^5 x)'(3\cosec x - 2\sin x)}{{\cos}^{10} x} =
\frac{(-3\cosec x\ctg x - 2\cos x)\cdot{\cos}^5 x - (-5{\cos}^4 x)\sin x)\cdot(3\cosec-2sin x)}{{\cos}^{10} x}.
Применяя правила дифференцирования котангенса, получаем:
(\frac{16}{5}\ctg{2x})' = -\frac{16}{5}(-\frac{1}{{\sin}^2 2x}\cdot2) = \frac{32}{5}\frac{1}{{\sin}^2 2x}.
Учитывая, что \cosec x = \frac{1}{\sin x} и \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}, после упрощения получим:
y' = \frac{1}{{\sin}^2 x\cdot{\cos}^6 x}.

Ответ

y' = \frac{1}{{\sin}^2 x\cdot{\cos}^6 x}.

Пример 7

Задача

Найти производную функции y = \frac{a^2 - x^2}{a^2 + x^2}, a = const.

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
y' = \frac{(a^2 - x^2)'(a^2 + x^2) - (a^2 + x^2)'(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = \frac{-2x(a^2 + x^2) - 2x(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}.

Ответ

y' = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}.

Пример 8

Задача

Найти производную функции y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}.

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
y' = \frac{x'\sqrt{1 + x^2} - (\sqrt{1 + x^2})'x}{(\sqrt{1 + x^2})^2} = \frac{1\cdot\sqrt{1 + x^2} - \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}}\cdot2x\cdot x}{1 + x^2} = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^2)^3}}.

Ответ

y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^2)^3}}.

Пример 9

Задача

Найти производную функции y = \arcsin^2x.

Решение

Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:
y' = 2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

Ответ

y' = 2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

Пример 10

Задача

Найти производную функции y = e^{\sqrt{\sin x}}.

Решение

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием e, производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
y' = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x.

Ответ

y' = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x.

Средняя оценка 2.8 / 5. Количество оценок: 6

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

25724

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также