Алгоритм решения производных

Теорема

Производная функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению её аргумента при стремлении последнего к нулю, при условии существования данного предела.

Для вычисления производных вам потребуется таблица производных. Кроме того, существуют формулы для нахождения сложных производных.

Процесс нахождения производный называется дифференцированием.

Таблица простых производных

$(c)' = 0;$
$(x)' = 1;$
$(u \pm v)' = u' \pm v';$
$(cu)' = cu';$
$(uv)' = u'v+v'u;$
$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - v'u}{v^{2}}$
$(\frac{c}{x})' = -\frac{c}{x^{2}}$
$(x^n)' = nx^{n-1}$
$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$(c^{x})' = c^{x}\cdot\ln{c}; c>0, c \neq 1$
$(e^{x})' = e^{x}; c>0, c \neq 1$
$(\log_{c}{x})' = \frac{1}{x}\cdot\log_{c}{e} = \frac{1}{x\ln{c}}$
$(\ln{u})' = \frac{1}{x}$
$(\sin{x})' = \cos{x}$
$(\cos{x})' = -\sin{x}$
$(tg\ {x})' = \frac{1}{\cos^{2}{x}}$
$(ctg\ {x})' = -\frac{1}{\sin^{2}{x}}$
$(\sec{x})' = \sec{x}\cdot{tg\ {x}}$
$(cosec\ {x})' = -cosec\ {x}\cdot{ctg\ {x}}$
$(\arcsin{x})' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$(\arccos{x})' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$(arctg\ {x})' = \frac{1}{1+x^{2}}$
$(arcctg\ {x})' = -\frac{1}{1+x^{2}}$

Формулы сложных производных

$(a*u(x)))' = a*f'(x) \pm b * g'(x)$ – производная суммы (разницы).

$(u(x) * v(x))' = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)$ – производная произведения.

$(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)}{v^2(x)}$ – производная частного.

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решений производных

Пример 1

Задача

Найти производную функции $y = cos(3x+1)$

Решение

Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

$y' = (cos(3x+1))' = -sin(3x+1)\cdot(3x+1)' = -sin(3x+1)\cdot(3\cdot1+0) = -3sin(3x+1)$

Ответ

$y' = -3sin(3x+1)$

Пример 2

Задание

Найти производную функции $y = (x^2-2x+3)^5$

Решение

Обозначим $y=u^5$ , где $u = x^2-2x+3$ . Тогда, согласно правила вычисления производной сложной функции, получим:
$y' = (u^5)'_u(x^2-2x+3)'_x = 5u^4(2x-1) = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4$

Ответ

$y' = 10(x-1)(x^2-2x+3)^4$

Пример 3

Задача

Найти производную функции $y = \sqrt{x}$ при $x = 4$ .

Решение

$y' = x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .
$y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$ .

Ответ

$y'(4) = \frac{1}{4}$ .

Пример 4

Задача

Найти производную функции $y = x^3\sin x + 3x^2\cos x - 6\sin x - 6\cos x$ .

Решение

$y' = 3x^2\sin x + x^3\cos x + 6\cos x - 3x^2\sin x - 6\sin x - 6x\cos x + 6\sin x$ .
После приведения подобных членов получаем:
$y' = x^2\cos x$ .

Ответ

y’=x^3·cos(x)+6·x·cos(x)-6·cos(x)+6·sin(x).

Пример 5

Задача

Найти производную функции $y = \sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}$ .

Решение

В этом примере квадратный корень извлекается из суммы ${\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x$ . Поэтому сначала вычисляем производную от квадратного корня, а затем умножаем ее на производную от подкоренного выражения:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4]$ .

Ответ

$y' = \frac{1}{2\sqrt{{\sin}^2 x + 3{\cos}^3 4x}}[2\sin x\cos x + 3\cdot3{\cos}^2 4x\cdot(-\sin 4x)\cdot4]$ .

Пример 6

Задача

Найти производную функции $y = \frac{3\cosec x - 2\sin x}{5{\cos}^5 x} - \frac{16}{5}\ctg{2x}$ .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
$(\frac{3\cosec x - 2\sin x}{5{\cos}^5 x})' = \frac{1}{5}\frac{(3\cosec x - 2\sin x)'{\cos}^5 x - ({\cos}^5 x)'(3\cosec x - 2\sin x)}{{\cos}^{10} x} =$
$\frac{(-3\cosec x\ctg x - 2\cos x)\cdot{\cos}^5 x - (-5{\cos}^4 x)\sin x)\cdot(3\cosec-2sin x)}{{\cos}^{10} x}$ .
Применяя правила дифференцирования котангенса, получаем:
$(\frac{16}{5}\ctg{2x})' = -\frac{16}{5}(-\frac{1}{{\sin}^2 2x}\cdot2) = \frac{32}{5}\frac{1}{{\sin}^2 2x}$ .
Учитывая, что $\cosec x = \frac{1}{\sin x}$ и $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$ , после упрощения получим:
$y' = \frac{1}{{\sin}^2 x\cdot{\cos}^6 x}$ .

Ответ

$y' = \frac{1}{{\sin}^2 x\cdot{\cos}^6 x}$ .

Пример 7

Задача

Найти производную функции $y = \frac{a^2 - x^2}{a^2 + x^2}, a = const$ .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
$y' = \frac{(a^2 - x^2)'(a^2 + x^2) - (a^2 + x^2)'(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = \frac{-2x(a^2 + x^2) - 2x(a^2 - x^2)}{(a^2 + x^2)^2} = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}$ .

Ответ

$y' = -\frac{4a^2x}{(a^2 + x^2)^2}$ .

Пример 8

Задача

Найти производную функции $y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ .

Решение

Применяя правила дифференцирования дробей, получаем:
$y' = \frac{x'\sqrt{1 + x^2} - (\sqrt{1 + x^2})'x}{(\sqrt{1 + x^2})^2} = \frac{1\cdot\sqrt{1 + x^2} - \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}}\cdot2x\cdot x}{1 + x^2} = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^2)^3}}$ .

Ответ

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^2)^3}}$ .

Пример 9

Задача

Найти производную функции $y = \arcsin^2x$ .

Решение

Дифференцирование можно произвести в два этапа: вначале продифференцировать степень функции арксинус, а затем произвести дифференцирование самого арксинуса, перемножив результаты:
$y' = 2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ .

Ответ

$y' = 2\arcsin x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ .

Пример 10

Задача

Найти производную функции $y = e^{\sqrt{\sin x}}$ .

Решение

По правилам дифференцирования показательной функции с основанием $e$ , производная этой функции равна произведению самой функции на производную функции, являющейся показателем степени:
$y' = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x$ .

Ответ

$y' = e^{\sqrt{\sin x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x$ .

Неважно:

19 июля 2023 в 05:22

Пример 2 неправильный.почему производная равна 2x -1 а не 2x-2

Ответить
Олег:

22 июня 2023 в 14:40

Что означают “u”, ” v”, “c”, “x” и “c”?
я пытаюсь разобраться и не могу понять чем они друг от друга отличаются

Ответить
Ева:

07 апреля 2023 в 22:24

Зачем в 6 примере производная котангенса?

Ответить
Людмила:

07 апреля 2023 в 21:24

Зачем в 6 используется правило дифференциирования котангенса?

Ответить
Данил:

22 декабря 2021 в 18:01

Восьмой не правильный

Ответить
Александр Ванаев:

15 января 2020 в 16:43

пример 4-неверное решение
пример 5 -также неверное решение

Ответить
- Диана Харисова:
  
  20 января 2020 в 16:15
  
  Здравствуйте! А объяснить можете, почему решения неправильные?
- Наташа Сысоева:
  
  12 февраля 2020 в 21:25
  
  Правильное решение 4 примера: y’=x^3·cos(x)+6·x·cos(x)-6·cos(x)+6·sin(x)
- Тагир:
  
  13 февраля 2020 в 23:29
  
  Спасибо, исправим!
- Диана Харисова:
  
  17 февраля 2020 в 17:52
  
  Исправление внесли. Спасибо.

Добавить комментарий Отменить ответ

владимир алексеевич тюфанов на Как Петр I изменил медицину в России: влияние и достиженияУ Петра 1 действительно были признаки великого человека ,да к тому же он был царем ,не то ,что современные демагоги
Тагир на Энергия магнитного поля: основные принципы и применениеБольшое спасибо за замечание, исправили. Если будут замечания по другим материалам, обязательно пишите в комментариях!
Юрий на Энергия магнитного поля: основные принципы и применениеЕсть неточность в предложении:"Магнитное поле взаимодействует с заряженными частицами, оказывая на них силу Лоренца. Эта сила может изменять скорость и
всем пока на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно. калькулятор не работает.
Крисцина на Решить уравнение со степенями онлайнКрута

Примеры решения производных с ответами

Алгоритм решения производных

Примеры решений производных