Алгоритм решения первого замечательного предела

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема

Первым замечательным пределом называется предел вида

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}\]

.

Первый замечательный предел используется для вычисления пределов тригонометрических функций.

Примеры решений первого замечательного предела

Пример 1

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{\cos^{2} x}\]

Решение

    \[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\sin x = \sin\frac{\pi}{2} = 1\]

Если x \rightarrow \frac{\pi}{2}, то 1 - \sin x \rightarrow 0

    \[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\cos^{2} x = \cos^{2} \frac{\pi}{2} = 0\]

Учитывая что \cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x = (1 - \sin x)(1 + \sin x), получаем:

    \[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{\cos^{2} x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} =\]

    \[= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1}{1 + \sin x} = \frac{1}{1 + \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\sin x} = \frac{1}{1 + \sin\frac{\pi}{2}} =\]

    \[= \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{2}\]

Пример 2

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\sin\frac{kx}{x},\ k = const\]

Решение

Сделаем подстановку kx = y. Отсюда следует, что y \rightarrow 0, если x \rightarrow 0, x = \frac{y}{k}

    \[\lim_{x \to 0}\sin\frac{kx}{x} = \lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{\frac{y}{k}} = \lim_{y \to 0}\frac{k\sin y}{y} = k\lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{y} = k,\]

т.к.

    \[\lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{y} = 1\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\sin\frac{kx}{x} = k\]

Пример 3

Задача

Найти предел:

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\sin lx}\]

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

    \[\frac{\sin kx}{\sin lx}\]

на x

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\sin lx} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin kx}{x}}{\frac{\sin lx}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{x}}{\lim_{x \to 0}\frac{\sin lx}{x}} = \frac{k}{l}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\sin lx} = \frac{k}{l}\]

Пример 4

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 7x}\]

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

    \[\frac{\sin 5x}{\sin 7x}\]

на x

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 7x} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin 5x}{x}}{\frac{\sin 7x}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{x}}{\lim_{x \to 0}\frac{\sin 7x}{x}} = \frac{5}{7}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 7x} = \frac{5}{7}\]

Пример 5

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}\]

Решение

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\cos kx} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{x}\lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos kx} =\]

    \[k\frac{1}{\lim_{x \to 0}\cos kx} = k\frac{1}{\cos(\lim_{x \to 0}kx)} = k\frac{1}{\cos 0} = k\frac{1}{1} = k\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x} = k\]

Пример 6

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx}\]

Решение

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Разделим числитель и знаменатель дроби

    \[\frac{\ tg kx}{lx}\]

на x

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\ tg kx}{x}}{\frac{lx}{x}} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\ tg kx}{x}}{l} =\]

    \[= \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}}{\lim_{x \to 0}l} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}}{l}\]

Вычислим

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}\]

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\cos kx} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{x}\lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos kx} =\]

    \[k\frac{1}{\lim_{x \to 0}\cos kx} = k\frac{1}{\cos(\lim_{x \to 0}kx)} = k\frac{1}{\cos 0} = k\frac{1}{1} = k\]

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}}{l} = \frac{k}{l}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx} = \frac{k}{l}\]

Пример 7

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}ax}{x^{2}}\]

.

Решение

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}ax}{x^{2}} = \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin ax}{x}\cdot\frac{\sin ax}{x}\right) =\]

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin ax}{x}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin ax}{x} = a\cdot a = s^{2}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}ax}{x^{2}} = a^{2}\]

Пример 8

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos mx}{x^{2}}\]

Решение

    \[1 - \cos mx = 2\sin^{2}\frac{mx}{2}\]

    \[\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos mx}{x^{2}} = \lim_{x \to 0}\frac{2\sin^{2}\frac{mx}{2}}{x^{2}} = 2\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x} =\]

    \[= 2\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x} = 2\frac{m}{2}\frac{m}{2} = \frac{m^{2}}{2}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos mx}{x^{2}} = \frac{m^{2}}{2}\]

Пример 9

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{2x}\]

Решение

Обозначим

    \[3x = t\]

. Тогда t \rightarrow 0 при x \rightarrow 0

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{2x} = \lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{2\cdot\frac{t}{3}} = \lim_{t \to 0}\frac{3}{2}\frac{\sin t}{t} =\]

    \[= \frac{3}{2}\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t} = \frac{3}{2}\cdot 1 = \frac{3}{2}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{2x} = \frac{3}{2}\]

Пример 10

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x}\]

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

    \[\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x}\]

на x

    \[\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x} = \lim_{x \to 0}\frac{1 - \frac{\sin 5x}{x}}{2 + \frac{\sin 3x}{x}} =\]

    \[= \frac{\lim_{x \to 0}\left(1 - \frac{\sin 5x}{x}\right)}{\lim_{x \to 0}\left(2 + \frac{\sin 3x}{x}\right)} = \frac{\lim_{x \to 0}1 - \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin 5x}{x}\right)}{\lim_{x \to 0}2 + \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin 3x}{x}\right)}\]

    \[= \frac{1 - 5}{2 + 3} = -\frac{4}{5}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x} = -\frac{4}{5}\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

523

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также