Примеры решения первого замечательного предела с ответами

Простое объяснение принципов решения первого замечательного предела и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения первого замечательного предела

Теорема

Первым замечательным пределом называется предел вида

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$

Первый замечательный предел используется для вычисления пределов тригонометрических функций.

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решений первого замечательного предела

Пример 1

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{\cos^{2} x}$

Решение

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\sin x = \sin\frac{\pi}{2} = 1$

Если $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$ , то $1 - \sin x \rightarrow 0$

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\cos^{2} x = \cos^{2} \frac{\pi}{2} = 0$

Учитывая что $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x = (1 - \sin x)(1 + \sin x)$ , получаем:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{\cos^{2} x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} =$

$= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1}{1 + \sin x} = \frac{1}{1 + \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\sin x} = \frac{1}{1 + \sin\frac{\pi}{2}} =$

$= \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

Ответ

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{2}$

Пример 2

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\sin\frac{kx}{x},\ k = const$

Решение

Сделаем подстановку $kx = y.$ Отсюда следует, что $y \rightarrow 0$ , если $x \rightarrow 0$ , $x = \frac{y}{k}$

$\lim_{x \to 0}\sin\frac{kx}{x} = \lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{\frac{y}{k}} = \lim_{y \to 0}\frac{k\sin y}{y} = k\lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{y} = k,$

т.к.

$\lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{y} = 1$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\sin\frac{kx}{x} = k$

Пример 3

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\sin lx}$

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

$\frac{\sin kx}{\sin lx}$

на $x$

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\sin lx} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin kx}{x}}{\frac{\sin lx}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{x}}{\lim_{x \to 0}\frac{\sin lx}{x}} = \frac{k}{l}$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\sin lx} = \frac{k}{l}$

Пример 4

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 7x}$

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

$\frac{\sin 5x}{\sin 7x}$

на $x$

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 7x} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin 5x}{x}}{\frac{\sin 7x}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{x}}{\lim_{x \to 0}\frac{\sin 7x}{x}} = \frac{5}{7}$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 7x} = \frac{5}{7}$

Пример 5

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}$

Решение

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\cos kx} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{x}\lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos kx} =$

$k\frac{1}{\lim_{x \to 0}\cos kx} = k\frac{1}{\cos(\lim_{x \to 0}kx)} = k\frac{1}{\cos 0} = k\frac{1}{1} = k$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x} = k$

Пример 6

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx}$

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

$\frac{\ tg kx}{lx}$

на $x$

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\ tg kx}{x}}{\frac{lx}{x}} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\ tg kx}{x}}{l} =$

$= \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}}{\lim_{x \to 0}l} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}}{l}$

Вычислим

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}$

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\cos kx} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{x}\lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos kx} =$

$k\frac{1}{\lim_{x \to 0}\cos kx} = k\frac{1}{\cos(\lim_{x \to 0}kx)} = k\frac{1}{\cos 0} = k\frac{1}{1} = k$

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}}{l} = \frac{k}{l}$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx} = \frac{k}{l}$

Пример 7

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}ax}{x^{2}}$

Решение

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}ax}{x^{2}} = \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin ax}{x}\cdot\frac{\sin ax}{x}\right) =$

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin ax}{x}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin ax}{x} = a\cdot a = s^{2}$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}ax}{x^{2}} = a^{2}$

Пример 8

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos mx}{x^{2}}$

Решение

$1 - \cos mx = 2\sin^{2}\frac{mx}{2}$

$\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos mx}{x^{2}} = \lim_{x \to 0}\frac{2\sin^{2}\frac{mx}{2}}{x^{2}} = 2\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x} =$

$= 2\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x} = 2\frac{m}{2}\frac{m}{2} = \frac{m^{2}}{2}$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos mx}{x^{2}} = \frac{m^{2}}{2}$

Пример 9

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{2x}$

Решение

Обозначим

$3x = t$

. Тогда $t \rightarrow 0$ при $x \rightarrow 0$

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{2x} = \lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{2\cdot\frac{t}{3}} = \lim_{t \to 0}\frac{3}{2}\frac{\sin t}{t} =$

$= \frac{3}{2}\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t} = \frac{3}{2}\cdot 1 = \frac{3}{2}$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{2x} = \frac{3}{2}$

Пример 10

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x}$

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

$\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x}$

на $x$

$\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x} = \lim_{x \to 0}\frac{1 - \frac{\sin 5x}{x}}{2 + \frac{\sin 3x}{x}} =$

$= \frac{\lim_{x \to 0}\left(1 - \frac{\sin 5x}{x}\right)}{\lim_{x \to 0}\left(2 + \frac{\sin 3x}{x}\right)} = \frac{\lim_{x \to 0}1 - \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin 5x}{x}\right)}{\lim_{x \to 0}2 + \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin 3x}{x}\right)}$

$= \frac{1 - 5}{2 + 3} = -\frac{4}{5}$

Ответ

$\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x} = -\frac{4}{5}$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Елена М.

Редактор.

Сертифицированный копирайтер, автор текстов для публичных выступлений и презентаций.

Добавить комментарий Отменить ответ

Алексей Иванков на Все, что вам нужно знать о программе CorelDRAW: определение, основные функции и преимуществаПри всем уважении к автору. Но при чем здесь Photoshop, когда вы говорите об ограниченности COrel в работе с растровой
Елена на Уникальные методы активизации учения школьников: исследование Т. И. ШамовойПочему-то в последние годы упрочилась практика писать тексты без списков изученных публикаций и прочих источников и даже более или менее
Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная