Примеры решения первого замечательного предела с ответами

Простое объяснение принципов решения первого замечательного предела и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Анатолий
0 4685
Помощь в написании работы

Алгоритм решения первого замечательного предела

Теорема

Первым замечательным пределом называется предел вида

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}\]

.

Первый замечательный предел используется для вычисления пределов тригонометрических функций.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решений первого замечательного предела

Пример 1

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{\cos^{2} x}\]

Решение

    \[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\sin x = \sin\frac{\pi}{2} = 1\]

Если x \rightarrow \frac{\pi}{2}, то 1 - \sin x \rightarrow 0

    \[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\cos^{2} x = \cos^{2} \frac{\pi}{2} = 0\]

Учитывая что \cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x = (1 - \sin x)(1 + \sin x), получаем:

    \[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{\cos^{2} x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} =\]

    \[= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1}{1 + \sin x} = \frac{1}{1 + \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\sin x} = \frac{1}{1 + \sin\frac{\pi}{2}} =\]

    \[= \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{1 - \sin x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{2}\]

Пример 2

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\sin\frac{kx}{x},\ k = const\]

Решение

Сделаем подстановку kx = y. Отсюда следует, что y \rightarrow 0, если x \rightarrow 0, x = \frac{y}{k}

    \[\lim_{x \to 0}\sin\frac{kx}{x} = \lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{\frac{y}{k}} = \lim_{y \to 0}\frac{k\sin y}{y} = k\lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{y} = k,\]

т.к.

    \[\lim_{y \to 0}\frac{\sin y}{y} = 1\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\sin\frac{kx}{x} = k\]

Пример 3

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\sin lx}\]

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

    \[\frac{\sin kx}{\sin lx}\]

на x

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\sin lx} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin kx}{x}}{\frac{\sin lx}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{x}}{\lim_{x \to 0}\frac{\sin lx}{x}} = \frac{k}{l}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\sin lx} = \frac{k}{l}\]

Пример 4

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 7x}\]

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

    \[\frac{\sin 5x}{\sin 7x}\]

на x

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 7x} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin 5x}{x}}{\frac{\sin 7x}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{x}}{\lim_{x \to 0}\frac{\sin 7x}{x}} = \frac{5}{7}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 7x} = \frac{5}{7}\]

Пример 5

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}\]

Решение

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\cos kx} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{x}\lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos kx} =\]

    \[k\frac{1}{\lim_{x \to 0}\cos kx} = k\frac{1}{\cos(\lim_{x \to 0}kx)} = k\frac{1}{\cos 0} = k\frac{1}{1} = k\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x} = k\]

Пример 6

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx}\]

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

    \[\frac{\ tg kx}{lx}\]

на x

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\ tg kx}{x}}{\frac{lx}{x}} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\ tg kx}{x}}{l} =\]

    \[= \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}}{\lim_{x \to 0}l} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}}{l}\]

Вычислим

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}\]

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{\cos kx} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin kx}{x}\lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos kx} =\]

    \[k\frac{1}{\lim_{x \to 0}\cos kx} = k\frac{1}{\cos(\lim_{x \to 0}kx)} = k\frac{1}{\cos 0} = k\frac{1}{1} = k\]

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx} = \frac{\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{x}}{l} = \frac{k}{l}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\ tg kx}{lx} = \frac{k}{l}\]

Пример 7

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}ax}{x^{2}}\]

.

Решение

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}ax}{x^{2}} = \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin ax}{x}\cdot\frac{\sin ax}{x}\right) =\]

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin ax}{x}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin ax}{x} = a\cdot a = s^{2}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}ax}{x^{2}} = a^{2}\]

Пример 8

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos mx}{x^{2}}\]

Решение

    \[1 - \cos mx = 2\sin^{2}\frac{mx}{2}\]

    \[\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos mx}{x^{2}} = \lim_{x \to 0}\frac{2\sin^{2}\frac{mx}{2}}{x^{2}} = 2\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x} =\]

    \[= 2\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x}\cdot\lim_{x \to 0}\frac{\sin\frac{mx}{2}}{x} = 2\frac{m}{2}\frac{m}{2} = \frac{m^{2}}{2}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos mx}{x^{2}} = \frac{m^{2}}{2}\]

Пример 9

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{2x}\]

Решение

Обозначим

    \[3x = t\]

. Тогда t \rightarrow 0 при x \rightarrow 0

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{2x} = \lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{2\cdot\frac{t}{3}} = \lim_{t \to 0}\frac{3}{2}\frac{\sin t}{t} =\]

    \[= \frac{3}{2}\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{t} = \frac{3}{2}\cdot 1 = \frac{3}{2}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{2x} = \frac{3}{2}\]

Пример 10

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x}\]

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби

    \[\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x}\]

на x

    \[\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x} = \lim_{x \to 0}\frac{1 - \frac{\sin 5x}{x}}{2 + \frac{\sin 3x}{x}} =\]

    \[= \frac{\lim_{x \to 0}\left(1 - \frac{\sin 5x}{x}\right)}{\lim_{x \to 0}\left(2 + \frac{\sin 3x}{x}\right)} = \frac{\lim_{x \to 0}1 - \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin 5x}{x}\right)}{\lim_{x \to 0}2 + \lim_{x \to 0}\left(\frac{\sin 3x}{x}\right)}\]

    \[= \frac{1 - 5}{2 + 3} = -\frac{4}{5}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin 5x}{2x + \sin 3x} = -\frac{4}{5}\]

Автор статьи

Анатолий Овруцкий
Анатолий Овруцкий
Автор научных статей и методических указаний, кэн

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *